新乡市2015-2016学年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（每题 5 分） 1直线 y+a=0（ a 为常数）的斜率为（ ） A B C D 2复数 =（ ） A 2+i B 2 i C 1+i D 1 i 3某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1， 2， ，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间 481， 720的人数为（ ） A 11 B 12 C 13 D 14 4在锐角 ，角 A， B 所对的边长分别为 a， b若 2b，则角 A 等于（ ） A B C D 5设集合 M=x|x 2011， N=x|0 x 1，则下列关系中正确的是（ ） A M N=R B MN= C N N D MN=x|0 x 1 6已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 60，则 “m=1”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7双曲线 的顶点到渐近线的距离等于（ ） A B C D 8已知函数 f（ x） =2x+），其中 0 2，若 x= 是函数的一条对称轴，且 f（ ） f（ ），则 等于（ ） A B C D 9设 m， n 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，有以下四个命题： 其中，真命题是（ ） A B C D 10 4 （ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 2 1 11对具有线性相关关系的变量 x， y 测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为 =，据此模型来预测当 x=20时， y 的估计值为（ ） A 210 B 212 D 2函数 y=f（ x）的最小正周期为 2，且 f（ x） =f（ x）当 x 0， 1时， f（ x） = x+1，那么在区间 3， 4上，函数 y=f（ x）的图象与函数 的图象的交点个数是（ ） A 8 B 7 C 6 D 5 二、填空题（每题 5 分） 13设等比数列 公比 ，前 n 项和为 = 14已知不等式组 表示的平面区域为 S，点 P（ x， y） S，则 z=2x+y 的最大值为 15如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间 2， 内，则输入的实数 x 的取值范围是 16 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 第 3 页（共 19 页） 三、解答题 17已知等差数列 足 ， a5+6，数列 前 n 项和 （ ）求 （ ）令 （ n N*），求数列 前 n 项和 18某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组 90， 100）， 100， 110）， ， 140， 150后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （ 1）求分数在 120， 130）内的频率； （ 2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间 100， 110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分； （ 3）用分层抽样的方法在分数段为 110， 130）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 人，求至多有 1 人在分数段 120， 130）内的 概率 19如图已知四棱锥 P 底面 边长为 2 的正方形， 底面 E，F 分别为棱 中点 （ 1）若 ，求异面直线 成角的余弦值； （ 2）若四棱锥 P 体积为 ，求四棱锥 P 面积 第 4 页（共 19 页） 20设函数 f（ x） =x+线 y=f（ x）过 P（ 1， 0），且在 P 点处的切线 斜率为 2 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）设函数 g（ x） =f（ x） 2x+2，求 g（ x）在其定义域上的最值 21已知椭圆 点（ 2， 0），（ ， ），抛物线 焦点在 x 轴上，过点（ 3， 2 ） （ 1）求 标准方程； （ 2）请问是否存在直线 l 满足条件： 过点 焦点 F； 与 不同两点 M、 N，且满足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 选修 4何证明选讲 | 22如图， O 是等腰三角形 外接圆， C，延长 点 D，使 C，连接 O 于点 E，连接 于点 F （ 1）判断 否平分 说明理由； （ 2）若 ， ，求 长 选修 4标系与参数方程 | 23已知曲线 （ 为参 数）与曲线 =4 1）写出曲线 普通方程和曲线 直角坐标方程； （ 2）求曲线 共弦的长度 选修 4等式选讲 | 24（选做题）已知 f（ x） =|x+1|+|x 1|，不等式 f（ x） 4 的解集为 M （ 1）求 M； （ 2）当 a， b M 时，证明： 2|a+b| |4+ 第 5 页（共 19 页） 2015年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5 分） 1直线 y+a=0（ a 为常数）的斜率为（ ） A B C D 【考点】 直线的斜率 【分析】 根据题意，由直线的方程可得 y= x+a，即可求出直线的斜率 【解答】 解：根据题意，直线 y+a=0 可以变形为 y= x+a， 其斜率 k= ， 故选： B 2复数 =（ ） A 2+i B 2 i C 1+i D 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：复数 = ， 故选： C 3某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1， 2， ，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间 481， 720的人数为（ ） A 11 B 12 C 13 D 14 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，那么从 20 人抽取 1 人从而得出从编号 481 720 共 240 人中抽取的人数即可 【解答】 解：使用系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，即从 20 人抽取 1 人 所以从编号 1 480 的人中，恰好抽取 =24 人，接着从编号 481 720 共 240 人中抽取=12 人 故： B 4在锐角 ，角 A， B 所对的边长分别为 a， b若 2b，则角 A 等于（ ） A B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理可求得 合题意可求得角 A 【解答】 解： 在 ， 2b， 第 6 页（共 19 页） 由正弦定理 = =2R 得： 2 ，又 锐角三角形， A= 故选 D 5设集合 M=x|x 2011， N=x|0 x 1，则下列关系中正确的是（ ） A M N=R B MN= C N N D MN=x|0 x 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据集合 M 和集合 N 之间的关系，然后根据交集，并集的定义进行求解，最后进行判定即可 【解答】 解： M=x|x 2011， N=x|0 x 1， N M， MN=x|0 x 1， M N=x|x 2011， 故选 D 6已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 60，则 “m=1”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C 充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 由已知中平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 60，分别判断 “m=1”“ ”与 “ ”“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论 【解答】 解： 向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 60， =1， =1 当 m=1 时， = = =0 故 当 时， m =1 m=0， 故 m=1 故 “m=1”是 “ ”的充要条件 故选 C 7双曲线 的顶点到渐近线的距离等于（ ） 第 7 页（共 19 页） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质；点到直线的距离公式 【分析】 由对称性可取双曲线 的顶点（ 2， 0），渐近线 ，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离 【解答】 解：由对称性可取双曲线 的顶点（ 2， 0），渐近线 ， 则顶点到渐近线的距离 d= 故选 C 8已知函数 f（ x） =2x+），其中 0 2，若 x= 是函数的一条对称轴，且 f（ ） f（ ），则 等于（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由 x= 是函数的一条对称轴，可得 =；再根据 f（ ） f（ ），可得 0，从而求得 的值 【解答】 解：由题意可得， 2 +=， k Z，即 =， 再根据 f（ ） =+） = f（ ） =2+） =得 0， 故 = ， 故选： C 9设 m， n 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，有以下四个命题： 其中，真命题是（ ） A B C D 【考点】 命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论 【分析】 对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可 【解答】 解： 对于 利用平面与平面平行的性质定理可证 ， ，则 ， 正确 第 8 页（共 19 页） 对于 面 面 面 时 面 正确 对应 m 内有一直线与 m 平行，而 m ， 根据面面垂直的判定定理可知 ，故正确 对应 m 有可能在平面 内，故不正确， 故选 C 10 4 （ ） A B C D 2 1 【考点】 两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦 【分析】 原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果 【解答】 解： 4 4 = = = = = 故选 C 11对具有线性相关关系的变量 x， y 测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为 =，据此模型来预测当 x=20时， y 的估计值为（ ） A 210 B 212 D 考点】 线性回归方程 【分析】 求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当 x=20 时， y 的估计值 【解答】 解：由题意可知： = =5， 第 9 页（共 19 页） = =54 因为回归直线方程经过样本中心，所以 54=5+ ， = 回归直线方程为： = 当 x=20 时， y 的估计值为： 20+ 故选： B 12函数 y=f（ x）的最小正周期为 2，且 f（ x） =f（ x）当 x 0， 1时， f（ x） = x+1，那么在区间 3， 4上，函数 y=f（ x）的图象与函数 的图象的交点个数是（ ） A 8 B 7 C 6 D 5 【考点】 函数的周期性；指数函数的图象与性质 【分析】 本题只要由函数的性质，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，即可的答案 【解答】 解：由题意可知，函数 y=f（ x）周期为 2，且为偶函数，函数 为偶函数，在同一个坐标系中作出它们的图象，可得交点个数为 6， 故选 C 二、填空题（每题 5 分） 13设等比数列 公比 ，前 n 项和为 = 15 【考点】 等比数列的性质 【分析】 先通过等比数列的求和公式，表示出 知 a4=而把 q 代入 约分化简可得到答案 【解答】 解：对于 ， 第 10 页（共 19 页） 14已知不等式组 表示的平面区域为 S，点 P（ x， y） S，则 z=2x+y 的最大值为 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 A 时，直线 y= 2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由 ，解得 ，即 A（ 2， 2）， 代入目标函数 z=2x+y 得 z=2 2+2=6 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 6 故答案为： 6 第 11 页（共 19 页） 15如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间 2， 内，则输入的实数 x 的取值范围是 （ ， 1 ， 【考点】 程序框图 【分析】 由程序框图得出函数 y=f（ x）的解析式，并根据其单调性求出相应的自变量 x 的取值范围即可 【解答】 解：由程序框图可知： f（ x） = ， 输出的函数值在区间 2， 内， 必有当 x 0 时， 0 2x ； 当 x 0 时， 2 解得 x 1 或 x 故答案为：（ ， 1 ， 16一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 16 【考点】 由三视图求面积、体积 第 12 页（共 19 页） 【分析】 由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 3 的正三角形，侧棱长是 2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积 【解答】 解：由三视图知，几何体是一个三棱柱 三棱柱的底面是边长为 3 的正三角形 棱长是 2， 三棱柱的两个底面的中心连接的线段 中点 O 与三棱柱的顶点 A 的连线 是外接球的半 径， 边长为 3 的等边三角形， ， ， ， 这个球的半径 r= =2， 这个球的表面积 S=4 22=16， 故答案为： 16 三、解答题 17已知等差数列 足 ， a5+6，数列 前 n 项和 （ ）求 （ ）令 （ n N*），求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和 【分析】 （ I）设等差数列 公差为 d，由 ， a5+6，可得 ，解出利用等差数列的前 n 项和公式即可得出； （ ） = = ，利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：（ I）设等差数列 公差为 d， ， a5+6， ，解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n+1 第 13 页（共 19 页） 数列 前 n 项和 =n （ ） = = ， 数列 前 n 项和 + + = 18某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组 90， 100）， 100， 110）， ， 140， 150后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答 下列问题： （ 1）求分数在 120， 130）内的频率； （ 2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间 100， 110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分； （ 3）用分层抽样的方法在分数段为 110， 130）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 人，求至多有 1 人在分数段 120， 130）内的概率 【考点】 频率分布直方图；分层抽 样方法 【分析】 （ 1）根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为 1，求出分数在 120， 130）内的频率； （ 2）由频率分布直方图计算出平均分； （ 3）计算出 110， 120）与 120， 130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本， 求出 “从样本中任取 2 人，至多有 1 人在分数段 120， 130）内 ”概率即可 【解答】 解：（ 1）分数在 120， 130）内的频率为 1（ =1 （ 2）估计平均分为 =95 05 15 25 35 45 21； （ 3）依题意， 110， 120）分数段的人数为 60 （人）， 120， 130）分数段的人数为 60 8（人）； 用分层抽样的方法在分数段为 110， 130）的学生中抽取一个容量为 6 的样本， 需在 110， 120）分数段内抽取 2 人，并分别记为 m， n； 在 120， 130）分数段内抽取 4 人，并分别记为 a， b， c， d； 设 “从样本中任取 2 人， 至多有 1 人在分数段 120， 130）内 ”为事件 A， 第 14 页（共 19 页） 则基本事件有（ m， n），（ m， a）， ，（ m， d），（ n， a）， ，（ n， d），（ a， b）， ，（ c， d）共 15 种； 则事件 A 包含的基本事件有（ m， n），（ m， a），（ m， b），（ m， c），（ m， d），（ n， a），（ n，b），（ n， c），（ n， d）共 9 种； P（ A） = = 19如图已知四棱锥 P 底面 边长为 2 的正方形， 底面 E，F 分别为棱 中点 （ 1）若 ，求异面直线 成角的余弦值； （ 2）若四棱锥 P 体积为 ，求四棱锥 P 面积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角 【分析】 （ 1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到 ，利用余弦定理求出角的余弦值 （ 2）利用四棱锥 P 体积为 ，求出 出 C=2 ，即可求出四棱锥 P 面积 【解答】 解：（ 1） E， F 分别为棱 中点， 边长为 2 的正方形 E 平行四边形 所成角 ， ， ， ， ， 异面直线 成角的余弦值为 ； （ 2）设 PD=a，则 四棱锥 P 体积为 ， = ， a=2， D=D， 平面 第 15 页（共 19 页） 同理 从而 C=2 ， 四棱锥 P 面积 S=2 =8+4 20设函数 f（ x） =x+线 y=f（ x）过 P（ 1， 0），且在 P 点处的切线斜率为 2 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）设函数 g（ x） =f（ x） 2x+2，求 g（ x）在其定义域上的最值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用 导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，由题意可得 f（ 1） =0， f（ 1） =2，解方程可得 a， b 的值； （ 2）求得 f（ x）， g（ x）的解析式，求出导数，求得单调区间和极值、最值 【解答】 解：（ 1） f（ x） =x+导数 f（ x） =1+2a+ （ x 0）， 由题意可得 f（ 1） =1+a=0， f（ 1） =1+2a+b=2， 得 ； （ 2）证明： f（ x） =x g（ x） =f（ x） 2x+2=3x+2（ x 0）， g（ x） = 2x 1= ， x （ 0， 1） 1 （ 1， +） g（ x） + 0 g（ x） 极大值 g（ x）在（ 0， 1）递增，在（ 1， +）递减， 可得 g（ x） g（ 1） = 1 1+2=0，无最小值 21已知椭圆 点（ 2， 0），（ ， ），抛物线 焦点在 x 轴上，过点（ 3， 2 ） （ 1）求 标准方程； （ 2）请问是否存在直线 l 满足条件： 过点 焦点 F； 与 不同两点 M、 N，且满足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）设抛物线 p 0），则点（ 3， 2 ）代入，可得 p=2；设椭圆方程为 ，利用椭圆 点（ 2， 0），（ ， ），求出 m， n，可得椭圆方程 （ 2）容易验证直线 l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线 l 斜率存在时，假设存在直线 （ 1， 0），设其方程为 y=k（ x 1），与 交点坐标为 M（ N（ x2，由 y=k（ x 1）代入椭圆方程消掉 y，得（ 1+48（ 1） =0，再由韦达定理能够导出存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为： y=2x 2 或 y= 2x+2 【解答】 解：（ 1）设抛物线 p 0），则点（ 3， 2 ）代入，可得 p=2， x； 设椭圆方程为 ， 椭圆 点（ 2， 0），（ ， ）， 第 16 页（共 19 页） 4m=1， 2m+ n=1， m= ， n=1， 椭圆方程为 x2+； （ 2）容易验证直线 l 的斜率不存在时，不满足题意； 当直线 l 斜率存在时，假设存在直线 l 过抛物线焦点 F（ 1， 0）， 设其方程为 y=k（ x 1），与 交点坐标为 M（ N（ 由 y=k（ x 1）代入椭圆方程，消掉 y，得（ 1+48（ 1） =0， 于是 x1+， k（ 1） k（ 1） =k2 x1+1= 由 ，得 （ *）， 将 、 代入（ *）式，得 =0 解得 k= 2； 所以存在 直线 l 满足条件，且 l 的方程为： y=2x 2 或 y= 2x+2 选修 4何证明选讲 | 22如图， O 是等腰三角形 外接圆， C，延长 点 D，使 C，连接 O 于点 E，连接 于点 F （ 1）判断 否平分 说明理由； （ 2）若 ， ，求 长 【考点】 与圆有关