山东省济宁市2016年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

山东省济宁市 2016 年高考数学二模试卷（理科） （解析版） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=x|0 x 2， N=x|x 1，则 M（ =（ ） A（ 0， 1 B 0， 1） C（ 1， 2） D 1， 2） 2设 i 是虚数单位，在复平面内复数 的共轭复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3由曲线 y= ，直线 y=x 所围成的封闭曲线的面积是（ ） A B C D 1 4若（ x+ ） 9 的二项展开式中含 的系数是 36，则实数 a=（ ） A 1 B 1 C D 4 5 有下列三种说法： 命题 “ x R， x 0”的否定是 “ x R， x 0”； “p q 为真 ”是 “ p 为假 ”的必要不充分条件； 在区间 0， 上随机取一个数 x，则事件 “”发生的概率是 其中正确说法的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A B 1 C D 7执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 3，则输入的实数 x 的值是（ ） A 2 B 2 C 7 D 2 或 7 8奇函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的图象向右平移 个单位得到的图象 关于 y 轴对称，则 的值可以为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 9平面直角坐标系 ，双曲线 =1（ a 0， b 0）的渐近线与抛物线 C2：p 0）交于点 O， A， B，若 重心为 焦点，则 渐近线方程为（ ） A y= x B y= x C y= 2 x D y= x 10已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） k（ x 1）恰有 4 个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A ， ） （ ， B 1， ） （ ， 1 C（ ， D ， ） 二、填空题：本大题共 5 小题。每 小题 5 分。共 25 分 11一个总体中有 80 个个体，随机编号为 0， 1， 2， ， 79，依编号顺序平均分成 8 个小组，组号依次为 1， 2， 3， ， 8现用系统抽样方法抽取一个容量为 8 的样本，若在第 1 组随机抽取的号码为 5，则在第 6 组中抽取的号码是 12设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=y 2x 的最小值为 13已知向量 ， ，其中 | |=1， | |=2，且（ ） ，则 |2 |= 14不等式 |x+1|+|x 2| 5 的解集为 15（ 5 分）（ 2016 江苏模拟）若函数 f（ x） =|在 0， 1上单调递减，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题。共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（ 12 分）（ 2016 济宁二模）已知函数 f（ x） =x ） （ ）当 x 0， 时，求函数 f（ x）的值域； （ ）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f（ A） = ， a= ，且 面积 17（ 12 分）（ 2016 济宁二模）某校高一年级开设 A， B， C， D， E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选 A 课程，不选 B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程 （ ）求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率； （ ）用 X 表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和，求 X 的分布列和数学期望 18（ 12 分）（ 2016 济宁二模）如图，在四棱锥 A ， 0， F 足为 F， 平面 ， ， （ ）求证： （ ）求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 19（ 12 分）（ 2016 济宁二模）已知数列 前 n 项和为 Sn=n，在等比数列 ，b1+ b4+0 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 ，设数列 前 n 项和为 20（ 13 分）（ 2016 济宁二模）已知函数 f（ x） =（ x m）（ 1） +x+1， m R （ 1）求 f（ x）在 0， 1上的最小值； （ 2）若 m 为整数，当 x 0 时， f（ x） 0 恒成立，求 m 的最大值 21（ 14 分）（ 2016 济宁二模）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，过椭圆 C 的左焦点且倾斜角为 60的直线与圆 x2+y2=交，所得弦的长度为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设椭圆 C 的上顶点为 M，若直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 交于两点 A， B（ A， B 都不是上顶点），且直线 斜率之积为 （ a）求证：直线 l 过定点； （ b）求 积的最大值 2016 年山东省济宁市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=x|0 x 2， N=x|x 1，则 M（ =（ ） A（ 0， 1 B 0， 1） C（ 1， 2） D 1， 2） 【分析】 求出 N 的补集，从而求出其和 M 的交集即可 【解答】 解： M=x|0 x 2， x|x 1， 则 M（ =x|0 x 1 故选： A 【点评】 本题考查了集合的运算，考查补集以及交集的定义，是一道基础题 2设 i 是虚数单位，在复平面内复数 的共轭复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解：在复平面内复数 = = 的 共轭复数 对应的点 位于第三象限 故选： C 【点评】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3由曲线 y= ，直线 y=x 所围成的封闭曲线的面积是（ ） A B C D 1 【分析】 联立方程组求出定积分的上下限，再根据定积分的几何意义即可求出 【解答】 解：联立方程组得到 或 ， 故由曲线 y= ，直线 y=x 所围成的封闭曲线的面积是 （ x） ）| = = ， 故选： A 【点评】 本题考查了定积分在几何中的应用，关键是求出被积函数，属于基础题 4若（ x+ ） 9 的二项展开式中含 的系数是 36，则实数 a=（ ） A 1 B 1 C D 4 【分析】 写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 6 求得 r 值，得到二项展开式中含 是第 2 项，由系数为 36 求得 a 值 【解答】 解：由 ， 令 9 3r=6，得 r=1， （ x+ ） 9 的二项展开式中含 是第 2 项，系数为 9a， 由 9a=36，得 a=4 故选： D 【点评】 本题考查二 项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题 5有下列三种说法： 命题 “ x R， x 0”的否定是 “ x R， x 0”； “p q 为真 ”是 “ p 为假 ”的必要不充分条件； 在区间 0， 上随机取一个数 x，则事件 “”发生的概率是 其中正确说法的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【分析】 根据含有量词的命题的否定进行判断 根据复合命题的真 假关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断 根据几何概型的概率公式进行计算 【解答】 解： 命题 “ x R， x 0”的否定是 “ x R， x 0”；正确， 当 p 假 q 真时，满足 p q 为真，但 p 为假不成立，即充分性不成立， 若 p 为假，则 p 为真命题则 p q 为真，即必要性成立，即 “p q 为真 ”是 “ p 为假 ”的必要不充分条件；正确； 在区间 0， 上，由 ，得 x ， 则对应的概率 P= ，则在区间 0， 上随机取一个数 x，则事件 “”发生的概率是 ，错误 故选： C 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的判断以及几何概型的概率计算，涉及的知识点较多 ，但难度不大 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A B 1 C D 【分析】 由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥， 由俯视图和侧视图知，底面是一个 直角三角形，两条直角边分别是 2、 1， 由正视图知，三棱锥的高是 1， 该几何体的体积 V= = ， 故选： C 【点评】 本题考查三视图求几何体的体积以，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 7执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 3，则输入的实数 x 的值是（ ） A 2 B 2 C 7 D 2 或 7 【分析】 根据题中程序 框图的含义，得到分段函数 f（ x） = ， 再令 f（ x） =3，求出 x 的值即可 【解答】 解：根据题意，该执行该程序框图的结果是 当 x 0 时，输出函数 y=2 x 1； 当 x 0 时，输出函数 y=x+1）； 因此，当输出结果为 3 时， 若 x 0，则 y=2 x 1=3，解得 x= 2； 若 x 0，则 x+1） =8，解得 x=7； 综上，可输入的实数 x 的值是 2 或 7 故选： D 【点评】 本题考查了程序框图的应用问题，着重考查了对分段函数和程序框图的理 解与应用问题，是基础题 8奇函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的图象向右平移 个单位得到的图象关于 y 轴对称，则 的值可以为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 函数是奇函数，求出 ，通过函数图象向左平移 个单位得到的图象关于原点对称，求出函数的周期，然后求出 的值，即可得到选项 【解答】 解：函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）为奇函数， 所以 = ； f（ x） = 函数图象向右平移 个单位得到的图象关于 y 轴对称， f（ x） = （ x ） =） = x ， = +k Z， =2， 故选： B 【点评】 本题考查三角函数的图象的平移，函数的奇偶性函数的周期性，考查逻辑推理能力，计算能力 9平面直角坐标系 ，双曲线 =1（ a 0， b 0）的渐近线与抛物线 C2：p 0）交于点 O， A， B，若 重心为 焦点，则 渐近线方程为（ ） A y= x B y= x C y= 2 x D y= x 【分析】 联立方程组求出 A， B 的坐标，结合三角形的重心坐标公式建立方程组关系求出=，即可得到渐近线的方程 【解答】 解：双曲线 =1（ a 0， b 0）的渐近线方程为 y= x， 与抛物线 立，可得 x=0 或 x= ， 当 x= 时， y= x= = 取 A（ ， ）， B（ ， ）， 抛物线 焦点（ ， 0）， 即三角形的重心 G（ ， 0）， 则由重心坐标公式得 = ， 即 = ， 即 = ，即 = = ， 则 = = ， 则双曲线的渐近线为 y= x= x， 故选： B 【点评】 本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形的重心坐标公式是解决本题的关键，考查学生的计算能力 10已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） k（ x 1）恰有 4 个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A ， ） （ ， B 1， ） （ ， 1 C（ ， D ， ） 【分析】 根据条件作出函数 f（ x）的图象，利用数形结合建立 h（ x） =k（ x 1）与 f（ x）的大小关系即可得到结论 【解答】 解：当 2 x 3 时， 1 x 1 2， 则 f（ x） =f（ x 1） =|（ x 1） 2 1|， 函数 f（ x）是偶函数，作出函数 f（ x）的图象如图： 若方程 f（ x） =k（ x 1）恰有 4 个不同的根， 则等价为函数 h（ x） =k（ x 1）在 间或在 间（包含 C， A）， f（ 5） =f（ 4） =f（ 3） =f（ 2） =3 要使 f（ x） =k（ x 1）恰有 4 个不同的根，则满足 或 求得 k 1，或 1 k ， 故选： B 【点评】 本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 二、填空题：本大题共 5 小题。每小题 5 分。共 25 分 11一个总体中有 80 个个体，随机编号为 0， 1， 2， ， 79，依编号顺序平均分成 8 个小组，组号依次为 1， 2， 3， ， 8现用系统抽样方法抽取一个容量为 8 的样本，若在第 1 组随机抽取的号码为 5，则在第 6 组中抽取的号码是 55 【分析】 由总体容量及组数求出间隔号，再用 5 加上 10 5 可得对应抽取的号码 【解答】 解：总体为 80 的个体，依 编号顺序平均分成 8 个小组，其间隔为 =10， 且第 1 组抽取的号码为 5， 所以在第 6 组中抽取的号码为 5+10 5=55 故答案为： 55 【点评】 本题考查了系统抽样的应用问题，系统抽样是根据分组情况求出间隔号，然后采用简单的随机抽样在第一组随机抽取一个个体，其它的只要用第一组抽到的号码依次加上间隔号即可 12设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=y 2x 的最小值为 6 【分析】 画出满 足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出 z 的最小值即可 【解答】 解：在坐标系中画出可行域三角形，如图示： 由 ，解得 A（ 4， 2）， 移直线 y 2x=0 经过点 A（ 4， 2）时， y 2x 最小，最小值为： 6， 则 z=y 2x 的最小值为 6 故答案为： 6 【点评】 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题 13已知向量 ， ，其中 | |=1， | |=2，且（ ） ，则 |2 |= 2 【分析】 由（ ） ，得（ ） =0，由此求得 ，再由 |2 |= ，然后展开数量积公式得答案 【解答】 解：由 | |=1， | |=2，且（ ） ， 得（ ） = ， ， 则 |2 |= = 故答案 为： 2 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算，关键是熟记数量积公式，是基础题 14不等式 |x+1|+|x 2| 5 的解集为 2， 3 【分析】 对 x 分 x 1， 1 x 2 与 x 2 范围的讨论，去掉原不等式左端的绝对值符号，从而易解不等式 |x+1|+|x 2| 5 的解集 【解答】 解：当 x 1 时， |x+1|+|x 2| 5 x 1+2 x 5， 解得： 2 x 1； 当 1 x 2 时， |x+1|+|x 2| 5x+1+2 x=3 5 恒成立， 1 x 2； 当 x 2 时， |x+1|+|x 2| 5x+1+x 2=2x 1 5， 解得： 2 x 3 综上所述，不等式 |x+1|+|x 2| 5 的解集为 2， 3 故答案为： 2， 3 【点评】 本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题 15（ 5 分）（ 2016 江苏模拟）若函数 f（ x） =|在 0， 1上单调递减，则实数 a 的取值范围是 （ ， +） 【分析】 可看出，为去掉绝对值号，需讨论 a：（ 1） a 0 时，得出 ，求导数，根据题意 f（ x） 0 在 x 0， 1上恒成立，从而得到 a x 0， 1上恒成立，从而得出 a 2） a=0 时，显然不满足题意；（ 3） a 0 时，可看出函数 在 R 上单调递增，而由 可解得 ，从而得出 f（ x）在 上单调递减，从而便可得出 ，这又可求出一个 a 的范围，以上 a 的范围求并集便是实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）当 a 0 时， ， ； f（ x）在 0， 1上单调递减； x 0， 1时， f（ x） 0 恒成立； 即 x 0， 1时， a 成立； y= 0， 1上的最大值为 a （ 2）当 a=0 时， f（ x） = 0， 1上单调递增，不满足 0， 1上单调递减； a 0； （ 3）当 a 0 时， 在 R 上单调递增； 令 得， ； f（ x）在 上为减函数，在 上为增函数； 又 f（ x）在 0， 1上为减函数； ； a 综上得，实数 a 的取值范围为（ ， +） 故答案为：（ ， +） 【点评】 本题考查指数函数的值域，函数单调性和函数导数符号的关系，考查增函数和减函数的定义、反比例函数的单调性、以及对数的运算性质 三、解答题：本大题共 6 小题。共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（ 12 分）（ 2016 济宁二模）已知函数 f（ x） =x ） （ ）当 x 0， 时，求函数 f（ x）的值域； （ ）在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f（ A） = ， a= ，且 面积 【分析】 （ I）利用倍角公式、和差公式可得：函数 f（ x） = 由于 x 0， ， ，可得 ，即可得出 （ 于 f（ A） = ，代入可得 = ，化为： =1，可得 A由于 用正弦定理可得： b=2c再利用余弦定理可得： a2=b2+得 c， b，即可得出 【解答】 解：（ I）函数 f（ x） =x ） = = x 0， ， ， 函数 f（ x）的值域为 （ f（ A） = ， = ，化为： =1， A （ 0， ）， = ，解得 A= b=2c a2=b2+2 2=54，解得 c= S = = 【点评】 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 17（ 12 分）（ 2016 济宁二模）某校高一年级开设 A， B， C， D， E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选 A 课程，不选 B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程 （ ）求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率； （ ）用 X 表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和，求 X 的分布列和数学期望 【分析】 （ ）设事件 A 为 “甲同学选中 C 课程 ”，事件 B 为 “乙同学选中 C 课程 ”求出 A，B 的概率，然后求解甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率 （ ） X 的可能取值为： 0， 1， 2， 3求出概率，得到 X 为分布列，然后求解期望 【解答】 （共 13 分） 解：（ ）设事件 A 为 “甲同学选中 C 课程 ”，事件 B 为 “乙同学选中 C 课程 ” 则 ， 因为事件 A 与 B 相互独立， 所以甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率为 （ 4 分） （ ）设事件 C 为 “丙同学选中 C 课程 ” 则 X 的可能取值为： 0， 1， 2， 3 = = X 为分布列为： X 0 1 2 3 P （ 13 分） 【点评】 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力 18（ 12 分）（ 2016 济宁二模）如图，在 四棱锥 A ， 0， F 足为 F， 平面 ， ， （ ）求证： （ ）求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 【分析】 （ ）以 A 为原点， x 轴， y 宙，过 A 作平面 垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能示出平面 平面成的锐二面角的余 弦值 【解答】 证明：（ ）以 A 为原点， x 轴， y 宙，过 A 作平面 垂线为z 轴， 建立空间直角坐标系， 0， 足为 F， 平面 ， ， ， ， ， ， ， ， E（ 2 ， 0， 3）， F（ ， ， 0）， A（ 0， 0， 0）， D（ 0， 2， 1）， =（ ， ， 3）， =（ 0， 2， 1）， =0+3 3=0， 解：（ ） =（ 0， 2， 1）， =（ 2 ， 0， 3）， =（ ， ， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x= ，得 =（ ， 1， 2） 设平面 法向量 =（ a， b， c）， 则 ，取 a= ，得 =（ ， 1， 2）， = = = ， 平面 平面 成的锐二面角的余弦值为 【点评】 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余 弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 19（ 12 分）（ 2016 济宁二模）已知数列 前 n 项和为 Sn=n，在等比数列 ，b1+ b4+0 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 ，设数列 前 n 项和为 【分析】 （ 1）数列 前 n 项和为 Sn=n，当 n=1 时， ； n 2 时， n 1，即可得出 等比数列 公比为 q，利用 b4+b6=b1+=40解得 q，即可得出 （ 2） ，可得： n 为奇数时， = 当 n 为偶数时， cn=n 1分别利用 “裂项求和 ”方法、等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）数列 前 n 项和为 Sn=n， 当 n=1 时， ； n 2 时， n 1=n （ n 1） 2+2（ n 1） =2n+1， n=1 时也成立 n+1 设等比数列 公比为 q， b1+ b4+0 b4+b6=b1+=40解得 q=2， 1+22） =5，解得 n 1 （ 2） ， n 为奇数时， = 当 n 为偶数时， cn=n 1 数 列 前 2n 项和 c1+1） +（ c2+ = + + + +（ 2+23+22n 1） =1 + = + 【点评】 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “裂项求和 ”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20（ 13 分）（ 2016 济宁二模）已知函数 f（ x） =（ x m）（ 1） +x+1， m R （ 1）求 f（ x）在 0， 1上的最小值； （ 2）若 m 为整数，当 x 0 时， f（ x） 0 恒成立，求 m 的最大值 【分析】 （ 1）求出函数的导函数，讨论 m 的取值，研究函数在 0， 1上的单调性进行求解即可得到结 论 （ 2）把当 x 0 时 f（ x） 0 恒成立，转化为 m +x，构造函数 g（ x） = +x，利用导数求得函数 g（ x）的最小值的范围得答案 【解答】 解：（ 1）函数的导数 f（ x） =（ 1） +（ x m） =（ x+1 m） 由 f（ x） =0 得 x=m 1， 由 f（ x） 0 得 x m 1，此时函数 f（ x）为增函数， 由 f（ x） 0 得 x m 1，此时函数 f（ x）为减函数， 即当 x=m 1 时，函数取 得极小值， f（ m 1） =） =（ 1 1） +m， 若 m 1 0 即 m 1 时，函数 f（ x）在 0， 1上是增函数，此时函数的最小值为 f（ 0） =1， 若 m 1 1 即 m 2 时，函数 f（ x）在 0， 1上是减函数，此时函数的最小值为 f（ 2） =（ 2 m）（ 1） +3， 若 0 m 1 1，即 1 m 2 时，函数的最小值为 f（ m 1） =） =（ 1 1） +m； （ 2）当 x 0 时， 1 0， 不等式 f（ x） 0，等价为（ x m）（ 1） +x+1 0，即 m +x 令 g（ x） = +x，则 g（ x） = ， 函数 h（ x） =x 2 在（ 0， +）上单调递增，而 h（ 1） 0， h（ 2） 0， h（ x）在（ 0， +）上存在唯一的零点， 故 g（ x）在（ 0， +）上存在唯一的零点 设此零点为 a，则 a （ 1， 2） 当 x （ 0， a）时， g（ x） 0；当 x （ a， +）时， g（ x） 0； g（ x）在（ 0， +）上的最小值为 g（ a）由 g（ a）