北京市西城区2015-2016学年高二下期末数学理科试题含答案

北京 市西城区 2015年下学期 期末考试 高二 数学 试卷 （理科） 试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 。 在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合要求的 。 1. 在复平面内，复数 z=应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在 （ x+2） 4 的展开式中， 系数为 A. 24 B. 12 C. 6 D. 4 3. 已知函数 f（ x） = f（ x） = A. 将一枚均匀硬币随机掷 4 次，恰好出现 2 次正面向上的概率为 A. 41B. 83C. 21D. 855. 函数 f（ x） =极值点是 A. x= B. x=x=1 D. x=216. 5 名大学生被分配到 4 个地区支教，每个地区至少分配 1 人，其中甲、乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为 A. 120 B. 144 C. 216 D. 240 7. 设 a， b， c 是正整数，且 a 70， 80） ， b 80， 90） ， c 90， 100。 当数据 a， b， c 的方差最小时， a+b+c 的值为 A. 252 或 253 B. 253 或 254 C. 254 或 255 D. 267 或 268 8. 已知函数 f（ x） =ex+中 a R。 若对于任意的 1， + ） ，且 的最大值为 _。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 。 15. （ 本小题满分 13 分 ） 在数 列 ， ， an=n. n=2， 3， 4，。 （ I） 计算 值； （ ） 根据计算结果，猜想 通项公式，并用数学归纳法加以证明。 16. （ 本小题满分 13 分 ） 已知函数 f（ x） = （ I） 求 f（ x） 的单调区间； （ ） 若函数 f（ x） 在区间 c上的最小值为 c 的取值范围。 17. （ 本小题满分 13 分 ） 甲参加 A， B， C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表 。 假设三个 科目的考试甲是否成绩合格相互独立。 科目 A 科目 B 科目 C 甲 322143（ I） 求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率； （ ） 设甲参加考试成绩合格的科目数量为 X， 求 X 的分布列和数学期望。 18. （ 本小题满分 13 分 ） 口袋中装有 2 个白球和 n（ n 2， n N*） 个红球 。 每次从袋中摸出 2 个球 （ 每次摸球后把这 2个球放回口袋中 ） ，若摸出的 2 个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖 。 （ I） 用含 n 的代数式表示 1 次摸球中奖的概率； （ ） 若 n=3，求 3 次摸球中恰有 1 次中奖的概率； （ 记 3 次摸球中恰有 1 次中奖的概率为 f（ p）。 当 f（ p） 取得最大值时，求 n 的值 。 19. （ 本小题满分 14 分 ） 已知函数 f（ x） =中 b R。 （ I） 证明：对于任意 （ -， 0，都有 f（ 2 （ ） 讨论函数 f（ x） 的零点个数 （ 结论不要求证明 ）。 20. （ 本小题满分 14 分 ） 设 L 为曲线 C： y=点 （ 0， 1）处的切线。 （ I） 证明：除切点 （ 0， 1） 之外，曲线 C 在直线 L 的上方； （ ） 设 h（ x） =x+1），其中 a R。 若 h（ x） 1 对 x 0， + ） 恒成立，求 a 的取值范围。 参考答案 一、选择题：本大题共 10 小 题，每小题 4 分，共 40 分。 1. A 2. A 3. D 4. B 5. C 6. C 7. B 8. D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9. 3211. 27 12. 8 13. 2 B C C B B C 14. f（ 5） f（ 0） = 所以 f（ x） 在区间 （ - ， 0上的最小值为 f（ 0） = 8 分 所以对 （ - ， 0，都有 f（ x） x） =2 9 分 （ 当 ，函数 f（ x） 的零点个数为 1； 12 分 当 b=2，函数 f（ x） 的零点个数为 2； 13 分 当 00（ x R， x 0）。 2 分 g（ x） 满足 g（ 0） =0，且 g（ x） =f（ x） -1= 当 ， g（ x） 0，故 g（ x） 单调递增 。 4 分 所以， g（ x） g（ 0） =0（ x R， x 0）。 所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的上方 。 5 分 （ h（ x） 的定义域是 x x 且 h（ x） =。 7 分 当 a 2 时，由 （ I） 得 x+1， 所以 h（ x） =a x+1+1a 20。 所以 h（ x） 在区间 0， + ） 上单调递增， 所以 h（ x） h（ 0） =1 恒成立，符合题意 。 9 分 当 a2 时，由 x 0， + ） ， 且 h（ x）的导数 h（ x） =x(1 = 21x( 1e)1x( 0， 所以 h（ x） 在区间 0， + ） 上单调递增 。 10 分 因为 h（ 0） =2 于是存在 （ 0， + ） ，使得 h（ =0。 12