浙江省杭州市西湖区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 25 页） 2015年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷 一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案 . 1二次函数 y=31 图象的顶点坐标是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 0） C（ 1， 0） D（ 0， 1） 2如图，点 A， B， C 是 O 上的三点，且 ， ， 0，则 O 的直径为（ ） A 5 B 6 C 8 D 10 3如图， ， ： 3，则下列结论中正确的（ ） A = B = C = D = 4如图，在 ， 斜边 的中线，已知 ， ，则 值是（ ） A B C D 5从 2 种不同款式的衬衣和 2 种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一条裙子搭配，有（ ）种可能 A 1 B 2 C 3 D 4 6如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆 知观测点 C 到旗杆的距离 m，测得旗杆的顶部 A 的仰角 0，旗杆底部 B 的俯角 5，则旗杆 髙度是（ ） m 第 2 页（共 25 页） A 8 +24 B 8 +8 C 24+8 D 8+8 7如图，已知 是等边三角形，点 D 在边 （不与 A、 C 重合）， ，则图中有（ ）对相似三角形 A 2 B 3 C 4 D 5 8若抛物线 y=（ a 0）上有 A（ ， B（ ， C（ ， 点，则大小关系为（ ） A 如图， O 的内接正三角形，弦 过 的中点 D，且 ，则长为（ ） A +1 B 2 2 C 2 2 D +1 10在 ，已知 ，且 + =0，则 B=（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 第 3 页（共 25 页） 二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 . 11任意写出一个偶数和一个奇数，两数之和是奇数的概率是 ，两数之和是偶数的概率是 12两个数 4+ 与 4 的比例中项是 13若二次函数的图象经过点（ 2， 0），且在 x 轴上截得的线段长为 4，那么这个二次函数图象顶点的横 坐标为 14如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得 为 30m， 为 20 m，斜坡 坡比为 1：3，斜坡 坡比为 1： 2，则坝底的宽 m 15在 ， ， ， B 为锐角且 ，则 16己知抛物线 y=n 与 x 轴没有交点，则 m+n 的取值范围是 三、全面答一答（本题有 7 个小题，共 66 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤 么把自己能写出的解答写出一部分也可以 . 17平面上有 3 个点的坐标： A（ 0， 3）， B（ 3， 0）， C（ 1， 4） （ 1）在 A， B， C 三个点中任取一个点，这个点既在直线 y1=x 3 上又在抛物线上 y2=2x 3 上的概率是多少？ （ 2）从 A， B， C 三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线 y2=2x 3 上的概率 18如图， O 的直径，四边形 矩形， D 是 O 上的点， 于点C，己知 5， O 的半径为 30，求 的长 19如图， P 的圆心为 P（ 2， 1），半径为 2，直线 点 M（ 2， 3）， N（ 4， 1） （ 1）请你在图中作出 P 关于 y 轴对称的 P（不要求写作法）； 第 4 页（共 25 页） （ 2）请判断（ 1）中 P与直线 位置关系，并说明理由 20如图，一张正方形纸板的边长为 2它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分）设F=H=边形 面积为 （ 1）求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围； （ 2）求四边形 面积为 3的 x 值； （ 3）四边形 面积可以为 ？请说明理由 21如图，在 ， 0， C， M 是边 中点， H （ 1）试求 值； （ 2）问 否相似？请说明理由； （ 3）连结 证： 5 22如图，点 A， B， C， D， E 在 O 上， ， ， ， H 为 长线上一点，且 ， 第 5 页（共 25 页） （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若点 D 是弧 中点，且 点 F，求证： A； （ 3）在（ 2）的条件下，求 长 23已知二次函数 y=（ m+l） x m+1以下四个结论： 不论 m 取何值，图象始终过点（ ， 2 ）； 当 3 m 0 时，抛物线与 x 轴没有交点： 当 x m 2 时， y 随 x 的增大而增大； 当 m= 时，抛物线的顶点达到最高位置 请你分别判断四个结论的真假，并给出理由 第 6 页（共 25 页） 2015年浙江省杭州市 西湖区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案 . 1二次函数 y=31 图象的顶点坐标是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 0） C（ 1， 0） D（ 0， 1） 【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可 【解答】解：二次函数 y=31 的图象的顶点坐标是（ 0， 1） 故选 A 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练 掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键 2如图，点 A， B， C 是 O 上的三点，且 ， ， 0，则 O 的直径为（ ） A 5 B 6 C 8 D 10 【考点】圆周角定理；勾股定理 【分析】由点 A， B， C 是 O 上的三点， 0，根据 90的圆周角对的弦是直径，可得 后由勾股定理求得答案 【解答】解： 0， 直径， ， ， =5， 第 7 页（共 25 页） 即 O 的直径为 5 故选 A 【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理注意得到 直径是解此题的关键 3如图， ， ： 3，则下列结论中正确的（ ） A = B = C = D = 【考点】平行线分线段成比例 【分析】运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可 【解答】解： ： 3， = ， = = ， A 错误， B 正确； = = ， C 错误； = = ， D 错误 故选： B 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键 4如图，在 ， 斜边 的中线，已知 ， ，则 值是（ ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线 第 8 页（共 25 页） 【专题】计算题 【分析】在 ， 斜边 的中线，已知 ，则斜边 ，则即可求得值 【解答】解：在 ， 斜边 的中线， ， 故选 C 【点评】本题主要运用了直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），并考查了正 弦函数的定义 5从 2 种不同款式的衬衣和 2 种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一条裙子搭配，有（ ）种可能 A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】列表法与树状图法 【专题】计算题 【分析】用 2 种不同款式的衬衣用 A、 B 表示， 2 种不同款式的裙子用 a、 b 表示，然后画树状图可展示所有 4 种等可能的结果数 【解答】解：用 2 种不同款式的衬衣用 A、 B 表示， 2 种不同款式的裙子用 a、 b 表示， 画树状图为： 共有 4 种等可能的结果数 故选 D 【点评】本题 考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率 6如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆 知观测点 C 到旗杆的距离 m，测得旗杆的顶部 A 的仰角 0，旗杆底部 B 的俯角 5，则旗杆 髙度是（ ） m 第 9 页（共 25 页） A 8 +24 B 8 +8 C 24+8 D 8+8 【考点】解直角三角形的应用 【分析】利用 正切值可求得 用 正切值可求得 E+ 【解答】解：在 ，有 C 8 m， 在 ，有 C 8m， +8（ m） 故选 D 【点评】本题考查了解直角三角形的应用俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形 7如图，已知 是等边三角形，点 D 在边 （不与 A、 C 重合）， ，则图中有（ ）对相似三角形 A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】相似三角形的判定；等边三角形的性质 【分析】只要求写出相 似的三角形，不必写出求证过程，根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的三个角分别相等，可推出 据对应角相等推出 【解答】解：图中的相似三角形是 故选： C 第 10 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，证明结论 8若抛物线 y=（ a 0）上有 A（ ， B（ ， C（ ， 点，则大小关系为（ ） A 考点】二次函数图象上点的坐标特征 【专题】探究型 【分析】根据抛物线 y=（ a 0）可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有对称性，从而可以解答本题 【 解答】解： 抛物线 y=（ a 0）， 对称轴为： x= ， 当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大，当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小， A（ ， B（ ， C（ ， 抛物线上， ， 故 选 C 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的单调性不一样 9如图， O 的内接正三角形，弦 过 的中点 D，且 ，则长为（ ） A +1 B 2 2 C 2 2 D +1 【考点】垂径定理；等边三角形的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 第 11 页（共 25 页） 【分析】由相交弦定理可得 F=C=16， G=C=16， ，由此可得结果 【解答】解： O 的内接正三角形，弦 过 的中点 D，且 ， 由相交弦定理可得 F=C=16， G=C=16， ， 4+=16， 4+=16， G=2 2， 故选 B 【点评】本题考查了线段长的求法，利用相交弦定理是解答此题的关键 10在 ，已知 ，且 + =0，则 B=（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 【考点】解直角三角形 【分析】做出三角形的三个内角的平分线，相交于 O，过 O 作三边的垂线，最后用三角函数即可 【解答】解：如图： 作 平分线相交于点 O，过 O 作 设 AF=m， BF=n， E=OF=r， AE=m BD=n， ， D=5 m， 第 12 页（共 25 页） 在 ， ， ， 同理： ， ， + =0， ， n=1， C=m+n+n+5 m=2n+5=7， 故选 B 【点评】此题是解直角三角形，主要考查了三角形的角平分线的意义，三角函数，解本题的关键是构造直角三角形 二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 . 11任意写出一个偶数和一个奇数，两数之和是奇数的概率是 1 ，两数之和是偶数的概率是 0 【考点】列表法与树状图法 【专题】计算题 【分析】利用不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1 求解 【解答】解：一个奇数与一个偶数的和为奇数， 所以任意 写出一个偶数和一个奇数，两数之和是奇数的概率是 1，两数之和是偶数的概率为 0 故答案为 1， 0 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率也考查了确定事件的概率 12两个数 4+ 与 4 的比例中项是 【考点】比例线 段 第 13 页（共 25 页） 【分析】设它们的比例中项是 x，根据比例的基本性质得出 4+ ）（ 4 ），再进行计算即可 【解答】解：设它们的比例中项是 x， 则 4+ ）（ 4 ）， 解得 x= 故答案为 【点评】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项根据比例的基本性质进行计算 13若二次函数的图象经过点（ 2， 0），且在 x 轴上截得的线段长为 4，那么这个二次函数图象顶点的横坐标为 4 或 0 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】数形结合 【分析】由于二次函数的图象与 x 轴的一个交点坐标为（ 2， 0），且在 x 轴上截得的线段长为 4，则可确定二次函数的图象与 x 轴的另一个交点坐标为（ 6， 0）或（ 2， 0），然后根据抛物线与 称轴对称，则可得到抛物线的对称轴方程，从而得到这个二次函数图象顶点的横坐标 【解答】解： 二次函数的图象与 x 轴的一个交点坐标为（ 2， 0），且在 x 轴上截得的线段长为4， 二次函数的图象与 x 轴的另一个交点坐标为（ 6， 0）或（ 2， 0）， 当二次函数的图象与 x 轴的两个交点为（ 6， 0）和（ 2， 0），则二次函数图象的对称轴为直线x= 4， 当二次函数的图象与 x 轴的两个交点为（ 2， 0）和（ 2， 0），则二次函数图象的对称轴为直线 x=0， 即这个二次函数图象顶点的横坐标为 4 或 0 故答案为 4 或 0 【点评 】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：由二次函数的交点式 y=a（ x x a， b， a 0）可直接得到抛物线与 x 轴的交点坐标（ 0），（ 0） 14如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得 为 30m， 为 20 m，斜坡 坡比为 1：3，斜坡 坡比为 1： 2，则坝底的宽 130 m 第 14 页（共 25 页） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】作 E， F，根据坡度的概念分别求出 合图形计算即可 【解答】解：作 E， F， 斜坡 坡比为 1： 2，即 = ， 0 m， 0m， 0m， 由题意得，四边形 矩形， F=20m， C=30m， 斜坡 坡比为 1： 3， = ，即 0m， E+F=130m， 故答案为： 130m 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用 15在 ， ， ， B 为锐角且 ，则 【考点】解直角三角形 【专题】推理填空题 【分析】作 点 D，根据在 ， ， ， B 为锐角且 ，可以求得 D、 值，从而可以求得 值 【解答】解：如下图所示： 第 15 页（共 25 页） 作 点 D， 在 ， ， ， B 为锐角且 ， ， ， C 4=2， ， ， = ， 故答案为： 【点评】本题考查解直角三角形，解题 的关键是明确题意，作出合适的辅助线，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件 16己知抛物线 y=n 与 x 轴没有交点，则 m+n 的取值范围是 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】计算题 【分析】由抛物线 y=n 与 x 轴没有交点，得到 a=1 0，推出函数值 y 0，得到 n 0，求出抛物线的对称轴 x= = ，于是 得到 y=n= m n= （ m+n） 0，即可得到结论 【解答】解： 抛物线 y=n 与 x 轴没有交点， a=1 0， 函数值 y 0， n 0， n 0， 抛物线的对称轴 x= = ， y=n= m n= （ m+n） 0， m+n 故答案为： 第 16 页（共 25 页） 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，注：当抛物线 y=bx+c 与轴有两个交点时，一元二次方程 bx+c=0 有两个不等的实数根即 0；当抛物线 y=bx+c 与轴有一个交点时，一元二次方程 bx+c=0 有两个相等的实数根即 =0；当抛物线 y=bx+c 与轴无交点时，一元二次方程 bx+c=0 无实数根即 0 三、全面答一答（本题有 7 个小题，共 66 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤 么把自己能写出的解答写出一部分也可以 . 17平面上有 3 个点的坐标： A（ 0， 3）， B（ 3， 0）， C（ 1， 4） （ 1）在 A， B， C 三个点中任取一个点，这个点既在直线 y1=x 3 上又在抛物线上 y2=2x 3 上的概率是多少？ （ 2）从 A， B， C 三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线 y2=2x 3 上的概率 【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；概率公式 【专题】计算题 【分析】（ 1）先根据一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征可判断 A、 B、C 都在直线上， A、 B 两点在抛物线上， C 点不在抛物线上，然后根据概率公式求解； （ 2）先画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出两点都落在抛物线 y2=2x 3 上的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：（ 1）当 x=0 时， y1=x 3= 3， y2=2x 3= 3，则 A 点在直线和抛物线上； 当 x=3 时， y1=x 3=0， y2=2x 3=0，则 B 点在直线和抛物线上； 当 x= 1 时， y1=x 3= 4， y2=2x 3=0，则 C 点在直线上，不在抛物线上， 所以在 A， B， C 三个点中任取一个点，这个点既在直线 y1=x 3 上又在抛物线上 y2=2x 3 上的概率 = ； （ 2）画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中两点都落在抛物线 y2=2x 3 上的结果数为 2， 所以两点都落在抛 物线 y2=2x 3 上的概率 = = 第 17 页（共 25 页） 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率也考查了一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征 18如图， O 的直径，四边形 矩形， D 是 O 上的点， 于点C，己知 5， O 的半径为 30， 求 的长 【考点】弧长的计算；含 30 度角的直角三角形；矩形的性质 【分析】利用矩形的性质以及锐角三角形函数关系，得出 值进而求出 度数，再利用弧长公式求出即可 【解答】解：连接 长 点 E， O 的直径，四边形 矩形， D 是 O 上一点， 5 O=15 0 = ， 0， = （ 【点评】本题考查了直角三角形的性质，弧长的计算、矩形的性质等知识，熟练掌握基本知识得出 度数是解题关键 第 18 页（共 25 页） 19如图， P 的圆心为 P（ 2， 1），半径为 2，直线 点 M（ 2， 3）， N（ 4， 1） （ 1）请你在图中作出 P 关于 y 轴对称的 P（不要求写作法）； （ 2）请判断（ 1）中 P与直线 位置关系，并说明理由 【考点】作图 复杂作图；直线与圆的位置关系 【分析】（ 1）结合圆的半径利用 P 点关于 y 轴对称得出 P的坐标，进而得出答案； （ 2）根据 M， N， P的坐标得出 P到直线 距离，进而得出答案 【解答】解：（ 1）如图所示： P即为所求； （ 2）直线 P相交， 理由：过点 P作 PB 点 B， M（ 2， 3）， N（ 4， 1）， P（ 2， 1）， PM=PN=2， 是等腰直角三角形， PB=1， P的半径为 2， 直线 P相交 【点评】此题主要考查了复杂作图以及直线与圆的位置关系，正确得出 P的位置是解题关键 第 19 页（共 25 页） 20如图，一张正方形纸板的边长为 2它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分）设F=H=边形 面积为 （ 1）求 y 关于 x 的函 数表达式和自变量 x 的取值范围； （ 2）求四边形 面积为 3的 x 值； （ 3）四边形 面积可以为 ？请说明理由 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】（ 1）先证出四边形 正方形，用未知数 x 表示其任一边长，根据正方形面积公式即可解决问题； （ 2）代入 y 值，解一元二次方程即可； （ 3）将面积 y=24x+4 改写成完全平方的形式，可得知 y 2，故不能为 【解答】解： （ 1） 在正方形纸上剪去 4 个全等的直角三角形， 0， E， 80 0，四边形 正方形， 在 ， AE=x， E= x， A=90， H2= 2 x） 2=24x+4， 正方形 面积 y=4x+4， 能为负， 0 x 2， 故 y 关于 x 的函数表达式为： y=24x+4，自变量 x 的取值范围 0， 2 （ 2）将 y=3 代入 y=24x+4 中，整理得： 24x+1=0， 第 20 页（共 25 页） 解得： + ， ， 故四边形 面积为 3的 x 的值为 1+ 或 1 （ 3）四边形 面积为： y=24x+4=2（ x 1） 2+2，（ 0 x 2）， （ x 1） 2 0， y 2， 四边形 面积不能为 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只要将关系式转化成完全平方的形式，即可看出结论 21如图，在 ， 0， C， M 是边 中点， H （ 1）试求 值； （ 2）问 否相似？请说明理由； （ 3）连结 证： 5 【考点】相似形综合题 【分析】（ 1）设 C=2a，由 M 是边 中点得出 M=a，根据勾股定理求出 长，再由 0， 0可得出 而可得出结论； （ 2）根据 H， 0可得出 0，由 公共角即可得出结论； （ 3）由（ 2）可知， = ，再由 M 可知 = ，根据 公共角可得出 可得出结论 【解答】（ 1）解：设 C=2a， M 是边 中点， M=a， = = a 第 21 页（共 25 页） 0， H， 0， 0， = = ； （ 2）解： 理由： H， 0 0， 0 公共角， （ 3）证明： 在 ， 0， C， 5 由（ 2）知， = M 是边 中点， M， = 公共角， 5 第 22 页（共 25 页） 【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，在解答此题时要 注意等腰直角三角形两个锐角是 45，此题难度适中 22如图，点 A， B， C， D， E 在 O 上， ， ， ， H 为 长线上一点，且 ， （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若点 D 是弧 中点，且 点 F，求证： A； （ 3）在（ 2）的条件下，求 长 【考点】圆的综合题 【分析】（ 1）连接 知 圆 O 的直径，由同弧所对的圆周角相等可知 C= D，于是得到 ，故此可知 ，在 ，由勾股定理得： 0，从而可得到勾股定理的逆定理可知 此可知 圆 O 的切线； （ 2）连接 弦切角定理可知 D 是 的中点，可证明 同弧