福建省宁德市2015-2016学年高二下期末数学试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的 1复数 z= 对应的点 z 在复数平面的（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2设 B（ n， p），若有 ， ，则 n， p 的值分别为（ ） A 16 和 B 15 和 C 18 和 D 20 和 3 “因为指数函数 y=增函数，而 y=（ ） x 是指数函数，所以 y=（ ） x 是增函数 ”，导致上面推理错误的原因是（ ） A大前提错 B小前提错 C推理形式错 D大前提和小前提都错 4三个人独立破译一密码，他们能独立 破译的概率分别是 、 、 ，则此密码被破译的概率为（ ） A B C D 5 3 男 3 女共 6 名学生排成一列，同性者相邻 的排法种数为（ ） A 2 种 B 9 种 C 36 种 D 72 种 6给出下列类比推理命题（其中 Q 为有理数集， R 为实数集， C 为复数集），其中类比结论错误的是（ ） A “若 a， b R，则 a b=0a=b”类比推出 “若 a， b C，则 a b=0a=b” B “若 a， b R，则 a b 0a b”类比推出 “若 a， b C，则 a b 0a b” C “若 a， b， c， d R，则复数 a+bi=c+dia=c， b=d”类比推出 “若 a， b， c， d Q，则实数a+ b=c+ da=c， b=d” D “若 a， b R，则 |a+b| |a|+|b|”类比推出 “若 a， b C，则 |a+b| |a|+|b|” 7将三颗骰子各掷一次，设事件 A 为 “恰好出现一个 6 点 ”，事件 B 为 “三个点数都不相同 ”，则概率 P（ B|A）的值为（ ） A B C D 8如图由曲线 y=x 与 y=2x+1 所围成的阴影部分的面积是（ ） 第 2 页（共 16 页） A 0 B C D 2 9方程 39x 5=0 的实根个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 10若 S=1 1!+2 2!+3 3!+2016 2016!，则 S 的个位数字是（ ） A 0 B 1 C 3 D 9 11某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据： 单价 x（元） 3 4 5 6 7 销量 y（件） 78 72 69 68 63 由表中数据，求得线性回归直线方程为 = 6x+ 若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为（ ） A B C D 12若定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ 0） = 1，其导函数 f（ x）满足 f（ x） m 1，则下列结论中一定错误的是（ ） A f（ ） B f（ ） C f（ ） D f（ ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置 13 （ 2x 14设随机变量 N（ 4， 9），若 P（ c+3） =P（ c 3），则 c= 15（ +2） 5 展开式中 的系数为 16如图所示的三角形数阵叫 “莱布尼兹调和三角形 ”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为 （ n 2），每个数是它下一行左右相邻两数之和，如 = + ， = + ， = + ， ，则第 n（ n 4）行倒数第四个数（从右往左数）为 第 3 页（共 16 页） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知 z1=i， 2m 3） + i， m R， i 为虚数单位且 z1+纯虚数 （ ）求实数 m 的值 （ ）求 的值 18已知函数 f（ x） =（ x2+a） （ 0， f（ 0）处的切线与直线 y= 8x 平行 （ ）求 a 的值 （ ）求 f（ x）的单调区间和极值 19若（ x+ ）（ 3x ） n 的展开式中各项的系数之和为 64 （ ）求 n 的值 （ ）求展开式中的常数项 20记 +2+3+n， 2+22+32+ （ ）试计算 ， ， 的值，并猜想 的通项公式 （ ）根据（ ）的猜想试计算 通项公式，并用数学归纳法证明之 21某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取 20 名男女用户，汇总数据如表 不满意 满意 合计 男 1 4 5 女 合计 20 由于部分数据丢失，根据原始资料只查得：从满意的人数中任意抽取 2 人，都是男生的概率是 （ ）根据条件完成以上 2 2 列联表，并据此判断有多大以上的 把握认为 “用户满意度 ”与性别有关 （ ）从以上男性用户中抽取 2 人，女性用户中抽取 1 人，其中满意的人数为 X，求 X 的分布列和期望 E（ X） 附： 2= ， P（ 2 k） k 2已知函数 f（ x） = +k 0） （ ）若 f（ x） 0 在（ 1， +）上恒成立，求 k 的最大整数值 （ ）若 e， 使 f（ k f（ 立，求 k 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2015年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的 1复数 z= 对应的点 z 在复数平面的（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表 示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】 解：复数 z= = = 对应的点 z 在复数平面的第二象限 故选： B 2设 B（ n， p），若有 ， ，则 n， p 的值分别为（ ） A 16 和 B 15 和 C 18 和 D 20 和 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【分析】 由已知利用二项分布的性质的合理运用 【解答】 解： B（ n， p）， ， ， ， 解得 n=16， p= 故选： A 3 “因为指数函数 y=增函数，而 y=（ ） x 是指数函数，所以 y=（ ） x 是增函数 ”，导致上面推理错误的原因是（ ） A大前提错 B小前提错 C推理形式错 D大前提和小前提都错 【考点】 演绎推理的基本方法 【分析】 对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当 a 1 时，函数是一个增函数，当 0 a 1 时，指数函数是一个减函数 y=增函数这个大前提是错误的，得到结论 【解答】 解： 当 a 1 时，函数是一个增函数， 当 0 a 1 时，指数函数是一个减函数 y=增函数这个大前提是错误的， 从而导致结论错 第 5 页（共 16 页） 故选 A 4三个人独立破译一密码，他们能独立破译的概率分别是 、 、 ，则此密码被破译的概率为（ ） A B C D 【考点】 互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式 【分析】 先求出他们都不能译出的概率，用 1 减去此值，即得该密码被破译的概率 【解答】 解：他们不能译出的概率分别为 1 、 1 、 1 ， 则他们都不能译出的概率为 （ 1 ）（ 1 ）（ 1 ） = ， 故则该密码被破译的概率是 1 = ， 故选： C 5 3 男 3 女共 6 名学生排成一列，同性者相邻的排法种数为（ ） A 2 种 B 9 种 C 36 种 D 72 种 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 分别把 3 男 3 女各看作一个复合元素，把这两个复合元素全排，问题得以解决 【解答】 解：分别把 3 男 3 女各看作一个复合元素，把这两个复合元素全排， 3 男 3 女内部也要全排， 故有 2 种， 故选： D 6给出下列类比推理命题（其中 Q 为有理数集， R 为实数集， C 为复数集），其中类比结论错误的是（ ） A “若 a， b R，则 a b=0a=b”类比推出 “若 a， b C，则 a b=0a=b” B “若 a， b R， 则 a b 0a b”类比推出 “若 a， b C，则 a b 0a b” C “若 a， b， c， d R，则复数 a+bi=c+dia=c， b=d”类比推出 “若 a， b， c， d Q，则实数a+ b=c+ da=c， b=d” D “若 a， b R，则 |a+b| |a|+|b|”类比推出 “若 a， b C，则 |a+b| |a|+|b|” 【考点】 类比推理 【分析】 在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性 质不能传递，故而合理的进行发散联想以及合理的外推，是解得本题的关键另外，否定一个结论只需举一个反例即可 【解答】 解： A根据复数相等的充要条件，可得 a， b C 时，则 a b=0，则两个复数的实部和虚部均相等，故 a=b，即 A 正确； B当 a， b C，两个复数的虚部相等且不为 0，即使 a b 0，这两个虚数仍无法比较大小，故 B 错误； C若 a， b， c， d Q，则实数 a+ b=c+ da=c， b=d”可以 得知 C 正确； D若 a， b C，则 |a+b| |a|+|b|”，可知 D 正确 故选： B 第 6 页（共 16 页） 7将三颗骰子各掷一次，设事件 A 为 “恰好出现一个 6 点 ”，事件 B 为 “三个点数都不相同 ”，则概率 P（ B|A）的值为（ ） A B C D 【考点】 条件概率与独立事件 【分析】 根据条件概率 的含义， P（ B|A）其含义为在 A 发生的情况下， B 发生的概率，即在 “恰好出现一个 6 点 ”的情况下， “三个点数都不相同 ”的概率，分别求得 “恰好出现一个 6点 ”与 “三个点数都不相同 ”的情况数目，进而相比可得答案 【解答】 解：根据条件概率的含义， P（ B|A）其含义为在 A 发生的情况下， B 发生的概率， 即在 “恰好出现一个 6 点 ”的情况下， “三个点数都不相同 ”的概率， “恰好出现一个 6 点 ”的情况数目为 6 5 5=150， “三个点数都不相同 ”，共 6 5 4=120 种， 故 P（ B|A） = = 故选： A 8如图由曲线 y=x 与 y=2x+1 所围成的阴影部分的面积是（ ） A 0 B C D 2 【考点】 定积分在求面积中的应用 【分析】 利用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，然后计算 【解答】 解：由题意由曲线 y=x 与 y=2x+1 所围成的阴影部分的面积是= = = ； 故选 C 9方程 39x 5=0 的实根个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 由方程 39x 5=0 的实根的个数，等于函数 f（ x） =39x 5 零点的个数，利用导数 法求出函数 f（ x） =39x 5 的极值，分析后即可得到结论 【解答】 解：令 f（ x） =39x 5， 则 f（ x） =36x 9=3（ x+1）（ x 3） 由 f（ x） 0 得 x 3 或 x 1， 第 7 页（共 16 页） 由 f（ x） 0 得 1 x 3 f（ x）的单调增区间为（ 3， +），（ ， 1），单调减区间为（ 1， 3）， f（ x）在 x= 1 处取极大值，在 x=3 处取极小值， 又 f（ 1） =0， f（ 3） = 32 0， 函数 f（ x）的图象与 x 轴有两个交点， 即方程 39x 5=0 有两个实 根 故选： C 10若 S=1 1!+2 2!+3 3!+2016 2016!，则 S 的个位数字是（ ） A 0 B 1 C 3 D 9 【考点】 排列及排列数公式 【分析】 分别算出 1!， 2!， 3!， 4!， 5!， 6!的尾数，从而发现规律 【解答】 解： 1 1!=1， 2 2!=4， 3 3!=18， 4 4!的末位数字是 6， 以后的每位数的末位数字都是 0， 1+4+8+6=19， 故 S 的个位数字是 9， 故选： D 11某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据： 单价 x（元） 3 4 5 6 7 销量 y（件） 78 72 69 68 63 由表中数据，求得线性回归直线方程为 = 6x+ 若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；线性回归方程 【分析】 根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件两点恰好在回归直线下方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案 【解答】 解： = ， = ， 线性回归直线方程为 = 6x+ 70= 6 ，解得 =100， 线性回归直线方程为 = 6x+100， 数据（ 3， 78），（ 4， 72），（ 5， 69），（ 6， 68），（ 7， 63） 5 个点中有 3 个点在直线的下侧，即（ 3， 78），（ 4， 72），（ 5， 69） 则其这些样本点中任取 1 点，共有 6 种不同的取法， 第 8 页（共 16 页） 故在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为 p= 故选： C 12若定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ 0） = 1，其导函数 f（ x）满足 f（ x） m 1，则下列结论中一定错误的是（ ） A f（ ） B f（ ） C f（ ） D f（ ） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 根据导数的概念得出 m 1，用 x= 代入可判断出 f（ ） ，即可判断答案 【解答】 解； f（ x） = ， f（ x） m 1， m 1， 即 m 1， 当 x= 时， f（ ） +1 m= ， 即 f（ ） 1= ， 故 f（ ） ， 所以 f（ ） ，一定出错， 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置 13 （ 2x 0 【考点】 定积分 【分析】 观察被积函数为奇函数，并且积分的上限与下限关 于原点对称，得到所求 【解答】 解：因为被积函数为奇函数，并且积分的上限与下限关于原点对称， 所以原式为 0； 故答案为： 0 14设随机变量 N（ 4， 9），若 P（ c+3） =P（ c 3），则 c= 4 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 第 9 页（共 16 页） 【分析】 随机变量 服从正态分布 N（ 4， 9），得到曲线关于 x=4 对称，根据 P（ c+3）=P（ c 3），结合曲线的对称性得到点 c+3 与点 c 3 关于点 4 对称的，从而做出常数 【解答】 解： 随机变量 服从正态分布 N（ 4， 9）， 曲 线关于 x=4 对称， P（ c+3） =P（ c 3）， c+3+c 3=8， c=4 故答案为： 4 15（ +2） 5 展开式中 的系数为 120 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 变形（ +2） 5= ，利用二项式定理的通项公式即可得出 【解答】 解：（ +2） 5= ， 其通项公式 = = 2r， 令 10 2r=4，解得 r=3 展开式中 的系数 = = =120 故答案为： 120 16如图所示的三角形数阵叫 “莱布尼兹调和三角形 ”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为 （ n 2），每个数是它下一行左右相邻两数之和，如 = + ， = + ， = + ， ，则第 n（ n 4）行倒数第四个数（从右往左数）为 或 【考点】 归纳推理 第 10 页（共 16 页） 【分析】 根据 “莱布尼兹调和三角形 ”的特征，每个数是它下一个行左右相邻 两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数 换成分数 ，就得到一个莱布尼兹三角形，从而可求出第 n（ n 4）行倒数第四个数（从右往左数） 【解答】 解：将杨晖三角形中的每一个数 换成分数 ， 就得到莱布尼兹三角形 杨晖三角形中第 n（ n 4）行倒数第四个数（从右往左数） 13， 则 “莱布尼兹调和三角形 ”第 n（ n 4）行倒数第四个数（从右往左数）是 或 故答案为： 或 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知 z1=i， 2m 3） + i， m R， i 为虚数单位且 z1+纯虚数 （ ）求实数 m 的值 （ ）求 的值 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 （ ）求出 z1+据纯虚数的定义求出 m 的值即可； （ ）求出 ，从而求出 的值 【解答】 解：（ ） ， z1+纯虚数， ， 则 m=1； （ ）由（ ）得 ， ， 则 ， = = = 第 11 页（共 16 页） 18已知函数 f（ x） =（ x2+a） （ 0， f（ 0）处的切线与直线 y= 8x 平 行 （ ）求 a 的值 （ ）求 f（ x）的单调区间和极值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出 f（ x）的导数，得到 f（ 0） = 8，解出 a 的值即可； （ ）求出 f（ x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =2x x2+a） x+a） 依题意得 f（ 0） = 8， 故 a= 8 （ ） f（ x） =（ x 8） f（ x） =0 则 x 8=0 解得 x= 4 或 x=2 列出 x， f（ x）， f（ x）的符号变化表如下： x （ ， 4） 4 （ 4，2） 2 （ 2，+） f（ x） + 0 0 + f（ x） 极大值 （ 极小值 f（ x）的单调递增区间：（ ， 4）和（ 2， +）单调递减区间：（ 4， 2） 19若（ x+ ）（ 3x ） n 的展开式中各项的系数之和为 64 （ ）求 n 的值 （ ）求展开式中的常数项 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 （ ）令 x=1，则 展开式中各项系数和为 2n+1=64，解出 n 即可得出 （ ）由（ ）知， = ，要求展开式的常数项，只需求 展开式中含 的项，利用通项公式即可得出 【解答】 解：（ ）令 x=1，则 展开式中各项系数和为 2n+1=64， 解得： n=5 （ ）由（ ）知， = ， 要求展开式的常数项，只需求 展开式中含 的项 由通项 公式得 ， 令 5 2r= 1，得 r=2 或 r=3 第 12 页（共 16 页） 所以该展开式中的常数项为 20记 +2+3+n， 2+22+32+ （ ）试计算 ， ， 的值，并猜想 的通项公式 （ ）根据（ ）的猜想试计算 通项公式，并用数学归纳法证明之 【考点】 数学归纳法；归纳推理 【分析】 （ ）代值计算即可，由此猜想 ， （ ）由（ ）可以猜想 均成立，利用归纳法进行证明，检验 n=1 时等式成立，假设 n=k 时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成 【解答】 解：（ ） 猜想： ， （ ）根据（ ）的猜想： 又 ， 故 （ n N*）， 证明： 当（ ）时，左边 ，右边 = 左边 =右边，猜想成立 假设 n=k 时，猜想成立即 成立 则当 n=k+1 时， = ， = = ， = = ， 当 n=k+1 时，猜想也成立 由 知对于任意的 n N*， 均成立 21某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取 20 名男女用户，汇总数据如表 不满意 满意 合计 第 13 页（共 16 页） 男 1 4 5 女 合计 20 由于部分数据丢失，根据原始资料只查得：从满意的人数中任意抽取 2 人，都是男生的概率是 （ ）根据条件完成以上 2 2 列联表，并据此判断有多大以上的把握认为 “用户满意度 ”与性别有关 （ ）从以上男性用户中抽取 2 人，女性用户中抽取 1 人，其中满意的人数为 X， 求 X 的分布列和期望 E（ X） 附： 2= ， P（ 2 k） k 考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ ）求出 n，完成 2 2 列联表，求出 临界值比较，可得有多大以上的把握认为 “用户