天津市河北区2016年高考数学三模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（ 共 21 页） 2016 年天津市河北区高考数学三模试卷（理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1集合 A=x|（ x 1）（ x+2） 0， B=x|x 0，则 A B=（ ） A（ ， 0 B（ ， 1 C 1， 2 D 1， +） 2若实数 x， y 满足条件 ，则 z=x 3y 的最小值为（ ） A 5 B 3 C 1 D 4 3运行如图所示的程序框图，若输出的结果为 ，则判断框中应填入的条件是（ ） A i 4？ B i 4？ C i 5？ D i 5？ 4若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A 24 B 40 C 36 D 48 5下列结论错误的是（ ） A若 “p q”为假命题，则 p， q 均为假命题 B “a b”是 “充分不必要条件 C命题： “ x R， x 0”的否定是 “ x R， x 0” D命题： “若 3x+2=0，则 x=2”的逆否命题为 “若 x 2，则 3x+2 0” 第 2 页（ 共 21 页） 6设曲线 y=直线 y=1 所围成的封闭图形区域 D，不等式组 所确定的区域为 E，在区域 E 内随机取一点，该点恰好在区域 D 内的概率为（ ） A B C D 7双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点是抛物线 x 焦点 F，两曲线的一个公共点为 P，且 |5，则此双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 8已知函数 ，则下列关于函数 y=ff（ x） +1 的零点个数的判断正确的是（ ） A当 k 0 时，有 3 个零点；当 k 0 时，有 2 个零点 B当 k 0 时，有 4 个零点；当 k 0 时，有 1 个零点 C无论 k 为何值，均有 2 个零点 D无论 k 为何值，均有 4 个零点 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知 i 为虚数单位，复数 = 10已知 于点 C 和 D， 的点 P 处的切线交 A、 B 点，交直线点 E， M 是 的一点，若 ， ， 0，那么 半径为 11在锐角 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 ， a=2， ，则 b 的值为 12已知曲线 极坐标方程为 =2线 极坐标方程为 = （ R），曲线交于点 M， N，则弦 长为 13已知 边长为 2 的正三角形， 外接圆 O 的一条直径， M 为 边上的动点，则 的最大值为 14设函数 f（ x）与 g（ x）是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若对任意的 x a， b，都有 |f（ x） g（ x） | 1，则称 f（ x）与 g（ x）在 a， b上是 “密切函数 ”， 区间 a， b称第 3 页（ 共 21 页） 为 “密切区间 ”若 f（ x） = g（ x） = 在 ， e上是 “密切函数 ”，则实数 m 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知函数 f（ x） =1 2x+ ） x+ ） x+ ） ， x R （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）求函数 f（ x+ ）在区间 ， 0上的最大值和最小值 16集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为 ， ， ，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路 E 所需费用为 100元 （ ）求集成电路 E 需要维修的概率； （ ）若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成，设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求 X 的分布列和期望 17直三棱柱 ， B=， E， F 分别是 中点， D 为棱 的点 （ 1）证明： （ 2）是否存在一点 D，使得平 面 平面 成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点 D 的位置，若不存在，说明理由 18已知圆 E： y ） 2= 经过椭圆 C： + =1（ a b 0）的左右焦点 与椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 E， A 三点共线，直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点，且 = （ 0） （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）当三角形 面积取得最大值时，求直线 l 的方程 第 4 页（ 共 21 页） 19已知数列 公比为正整数的等比数列，若 且 ， 等差数列， （ ）求数列 通项 （ ）定义： 为 n 个正数 ， n N*）的 “均倒数 ”， （ ）若数列 n 项的 “均倒数 ”为 （ n N*），求数列 通项 （ ）试比较 + + 与 2 的大小，并说明理由 20已知函数 （ ）若 a=1，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）若函数 f（ x）在其定义域内为增函数，求 a 的取值范围； （ ）在（ ）的条件下，设函数 ，若在 1， e上至少存在一点 得 f（ g（ 立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（ 共 21 页） 2016 年天津市河北区高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 . 1集合 A=x|（ x 1）（ x+2） 0， B=x|x 0，则 A B=（ ） A（ ， 0 B（ ， 1 C 1， 2 D 1， +） 【考点】 并集及其运算 【分析】 通过解二次不等式求出集合 A，求出 B 的补集，然后求解它们的并集 【解答】 解：因为集合 A=x|（ x 1）（ x+2） 0=x|1 x 2， 所以 B=x|x 0 所以 A B=x|x 1， 故选 B 2若实数 x， y 满足条件 ，则 z=x 3y 的最小值为（ ） A 5 B 3 C 1 D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，变形目标函数，平移直线 y= x 可得当直线经过点 A（ 1， 2）时，截距 z 取最大值， z 取最小值，代值计算可得 【解答】 解：作出约束条件 所对应的可行域（如图）， 变形目标函数可得 y= x z，平移直线 y= x 可知， 当直线经过点 A（ 1， 2）时，截距 z 取最大值， z 取最小值， 代值计算可得 z 的最小值为 z=1 3 2= 5 故选： A 第 6 页（ 共 21 页） 3运行如图所示的程序框图，若输出的结果为 ，则判断框中应填入的条件是（ ） A i 4？ B i 4？ C i 5？ D i 5？ 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出变量 P 的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果 【解答】 解：模拟程序的运行，可得： i=1， T=0， P=15 满足判断框内的条件，执行循环体， i=2， T=1， P=5 满足判断框内的条件，执行循环体， i=3， T=2， P=1 满足判 断框内的条件，执行循环体， i=4， T=3， P= 满足判断框内的条件，执行循环体， i=5， T=4， P= 此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的结果为 ， 即 i=5 时退出循环，故继续循环的条件应为： i 5？ 故选： D 第 7 页（ 共 21 页） 4若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A 24 B 40 C 36 D 48 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为三棱柱切去两个小棱锥得到的，用棱柱的体积减去两个小棱锥的体积即可 【解答】 解：由三视图可知该几何体为三棱柱切去两个大小相等的小棱锥得到的， 三棱柱的底面为侧视图中三角形，底面积 S= =6，三棱柱的高 h=8， V 三棱柱 =8， 切去的小棱锥的底面与棱柱的底面相同，小棱锥的高 h=2， V 棱锥 = 4， 几何体的体积 V=V 三棱柱 2V 棱锥 =48 2 4=40 故选： B 5下列结论错误的是（ ） A若 “p q”为假命题，则 p， q 均为假命题 B “a b”是 “充分不必要条件 C命题： “ x R， x 0”的否定是 “ x R， x 0” D命题： “若 3x+2=0，则 x=2”的逆否命题为 “若 x 2，则 3x+2 0” 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据 p q 的真假判断，一真即真，全假为假，判断 A； c=0 时，由 “a b”不能得出 “即可判断 B； 根据命题 “ x R， x 1 0”是特称命题，其否定为全称命题，即 x R， x 1 0，即可判断 C 根据命题 “若 p，则 q”的逆否命题是 “若 q，则 p”，判断 D 【解答】 解：根据 p q 的真假判断，一真即真，全假为假，利用 “p q”为假命题，则 p， 确； c=0 时，由 “a b”不能得出 “不正确； 命题： “ x R， x 0”是特称命题， 否定命题是 “ x R， x 0”，正确； 根据命题 “若 p，则 q”的逆否命题是 “若 q，则 p”，可 得命题： “若 3x+2=0，则 x=2”的逆否命题为 “若 x 2，则 3x+2 0”，正确， 故选： B 6设曲线 y=直线 y=1 所围成的封闭图形区域 D，不等式组 所确定的区域为 E，在区域 E 内随机取一点，该点恰好在区域 D 内的概率为（ ） 第 8 页（ 共 21 页） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，用定积分表示出曲线y=直线 y=1 围成的封闭图形的面积，再求出不等式组 所确定的区域的面积为 2，即可求得结论 【解答】 解：联立曲线 y=直线 y=1，解得 x= 1， 曲线 y=直线 y=x 围成的封闭图形的面积为 S= =（ ）= 不等式组 所确定的区域的面积为 2， 在区域 E 内随机取一点，该点恰好在区域 D 内的概率为 = ， 故选： D 7双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点是抛物线 x 焦点 F，两曲线的一个公共点为 P，且 |5，则此双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得 c=2，根据抛物线的定义可以求出 P 的坐标，运用双曲线的定义求得 2a=2，然后求得离心率 e 【解答】 解：抛物线 x 焦点 F（ 2， 0），准线方程为 x= 2， 设 P（ m， n）， 由抛物线的定义可得 |m+2=5， 解得 m=3， 则 4，即有 P（ 3， 2 ）， 可得左焦点 F为（ 2， 0）， 由双曲线的定义可得 2a=| | =7 5=2，即 a=1， 即有 e= =2 故选 C 第 9 页（ 共 21 页） 8已知函数 ，则下列关于函数 y=ff（ x） +1 的零点个数的判断正确的是（ ） A当 k 0 时，有 3 个零点；当 k 0 时，有 2 个零点 B当 k 0 时，有 4 个零点；当 k 0 时，有 1 个零点 C无论 k 为何值，均有 2 个零点 D无论 k 为何值，均有 4 个零点 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 因为函数 f（ x）为分段函数，函数 y=f（ f（ x） +1 为复合函数，故需要分类讨论，确定函数 y=f（ f（ x） +1 的解析式，从而可得函数 y=f（ f（ x） +1 的零点个数； 【解答】 解：分四种情况讨论 （ 1） x 1 时， 0， y=f（ f（ x） +1=+1， 此时的零点为 x= 1； （ 2） 0 x 1 时， 0， y=f（ f（ x） +1=，则 k 0 时，有一个零点， k 0 时， 0 没有零点； （ 3）若 x 0， 0 时， y=f（ f（ x） +1=k+1，则 k 0 时， 1， k，可得 k 0， y 有一个零点， 若 k 0 时，则 k 0， y 没有零点， （ 4）若 x 0， 0 时， y=f（ f（ x） +1=） +1，则 k 0 时，即 y=0 可得 = ，y 有一个零点， k 0 时 0， y 没有零点， 综上可知，当 k 0 时，有 4 个零点；当 k 0 时，有 1 个零点； 故选 B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知 i 为虚数单位，复数 = 3+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： = 故答案为： 3+i 10已知 于点 C 和 D， 的点 P 处的切线交 A、 B 点，交直线点 E， M 是 的一点，若 ， ， 0，那么 半径为 3 第 10 页（ 共 21 页） 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 根据切割线定理 和割线定理，证出 A入题中数据解得 ，从而得到 再在 利用正弦定理加以计算，即可得出 半径 【解答】 解： 点 P， C 两条割线， D=B A 22=1 ， 因此， B ， 0，设 半径为 R， 由正弦定理，得 ，即 2R= ，解之得 R=3 故答案为： 3 11在锐角 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 ， a=2， ，则 b 的值为 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 题设条件中只给出 ， a=2， ，欲求 b 的值，可由这些 条件建立关于 b 的方程，根据所得方程进行研究，判断出解出其值的方法 【解答】 解： ，即 = ， 又 ， a=2，锐角 得 由余弦定理得 4=b2+2b2+2 3 ，解得 b2+ 由 解得 b=c，代入 得 b=c= 故答案为 12已知曲线 极坐标方程为 =2线 极坐标方程为 = （ R），曲线交于点 M， N，则弦 长为 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 将两曲线极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 d，再由半径 r 的值，利用垂径定理及勾股定理求出 长即可 【解答】 解： =2 2=2 第 11 页（ 共 21 页） 又 ，且 2=x2+ x2+y，即 y 1） 2=1； 曲线 直角坐标系中是过原点且倾斜角为 的直线，即 y= x， 圆心（ 0， 1）到直线 y= x 的距离 d= ， 圆的半径 r=1， 由勾股定理可得， = ， 则弦 长为 故答案为： 13已知 边长为 2 的正三角形， 外接圆 O 的一条直径， M 为 边上的动点，则 的最大值为 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 首先，建立平面直角坐标系，然 后，对点 M 的取值情况分三种情形进行讨论，然后，求解其最大值 【解答】 解：如下图所示，以边 在直线为 x 轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 该正三角形 边长为 2 ， A（ ， 0）， B（ ， 0）， C（ 0， 3）， E（ 0， 1）， F（ 0， 3）， 当点 M 在边 时，设点 M（ 0），则 ， =（ 1）， =（ 3）， = ， ， 的最大值为 3， 当点 M 在边 时， 直线 斜率为 ， 直线 方程为： ， 设点 M（ 3 则 0 ， =（ 4）， =（ =24 ， 0 ， 的最大值为 0， 当点 M 在边 时， 直线 斜率为 ， 直线 方程为： ， 设点 M（ 3+ 则 0， =（ 4）， =（ = 44 ， 第 12 页（ 共 21 页） 0， 的最大值为 3， 综上，最大值为 3， 故答案为： 3 14设函数 f（ x）与 g（ x）是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若对任意的 x a， b，都有 |f（ x） g（ x） | 1，则称 f（ x）与 g（ x）在 a， b上是 “密切函数 ”，区间 a， b称为 “密切区间 ”若 f（ x） = g（ x） = 在 ， e上是 “密切函数 ”，则实数 m 的取值范围是 e 【考点】 函数与方程的综合运用 【分析】 由 “e 度和谐函数 ”，得到对任意的 x ， e，都有 |f（ x） g（ x） | 1，化简整理得 m e m+e， 令 h（ x） =（ x e），求出 h（ x）的最值，只要 m 1 不大于最小值，且 m+1 不小于最大值即可 【解答】 解： 函数 f（ x） = g（ x） = 在 ， e， 对任意的 x ， e，都有 |f（ x） g（ x） | 1， 即有 | 1，即 m 1 m+1， 令 h（ x） =（ x e）， h（ x） = = ， x 1 时， h（ x） 0， x 1 时， h（ x） 0， 第 13 页（ 共 21 页） x=1 时， h（ x）取极小值 1，也为最小值， 故 h（ x）在 ， e上的最小值是 1，最大值是 e 1 m 1 1 且 m+1 e 1， e 2 m 2 故答案为： e 2， 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知函数 f（ x） =1 2x+ ） x+ ） x+ ） ， x R （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）求函数 f（ x+ ）在区间 ， 0上的最大值和最小值 【考点】 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值 【分析】 （ ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） = 据三角函数周期公式即可求解 （ ）由（ ）知， f（ x+ ） = 2x+ ），由 x ， 0，利用余弦函数的图象和性质即可得解 【解答】 （本小题满分 13 分） 解：（ ） f（ x） =1 2x+ ） x+ ） x+ ） =1 2x+ ） +2x+ ） x+ ） =2x+ ） +2x+ ） = f（ x）的最小正周期 T= （ ）由（ ）知， f（ x+ ） = 2x+ ）， 令 g（ x） = 2x+ ）， g（ x）在 ， 上为增函数，在 ， 0上为减函数， 且 g（ ） = ） = 1， g（ ） = ， g（ 0） = 1， g（ x）在区间 ， 0上的最大值为 ，最小值为 1， 即 f（ x+ ）在区间 ， 0上的最大值为 ，最小值为 1 16集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为 ， ， ，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至第 14 页（ 共 21 页） 少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路 E 所需费用为 100元 （ ）求集成电路 E 需要维修的概率； （ ）若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成，设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求 X 的分布列和期望 【考点】 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差 【分析 】 （ ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得 3 个元件都不能正常工作的概率 值， 3 个元件中的 2 个不能正常工作的概率 值，再把 加，即得所求 （ ）设 为维修集成电路的个数，则 服从 B（ 2， ），求得 P（ X=100） =P（ =k） 的值，可得 X 的分布列，从而求得 X 的期望 【解答】 解：（ ）三个电子元件能正常工作分别记为事件 A， B， C，则 P（ A） = ， P（ B）= ， P（ C） = 依题意，集成电路 E 需要维修有两种情形： 3 个元件都不能正常工作，概率为 （ ） =P（ ） P（ ） P（ ） = = 3 个元件中的 2 个不能正常工作，概率为 （ A ） +P（ B ） +P（ C） = + + = 所以，集成电路 E 需要维修的概率为 2= + = （ ）设 为维修集成电路的个数，则 服从 B（ 2， ），而 X=100， P（ X=100） =P（ =k） = ， k=0， 1， 2 X 的分布列为： X 0 100 200 P +100 +200 = 17直三棱柱 ， B=， E， F 分别是 中点， D 为棱 的点 （ 1）证明： （ 2）是否存在一点 D，使得平面 平面 成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点 D 的位置，若不存在，说明理由 第 15 页（ 共 21 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）先证明 后以 A 为原点建立空间直角坐标系 A 能写出各点坐标，由 与 共线可得 D（ ， 0， 1），所以 =0，即 （ 2）通过计算，面 法向量为 可写成 =（ 3， 1+2， 2（ 1 ），又面 法 向量 =（ 0， 0， 1），令 |， |= ，解出 的值即可 【解答】 （ 1）证明： 又 ， 面 又 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A 则有 A（ 0， 0， 0）， E（ 0， 1， ）， F（ ， ， 0）， 0， 0， 1）， 1， 0， 1）， 设 D（ x， y， z）， 且 0， 1，即（ x， y， z 1） =（ 1， 0， 0）， 则 D（ ， 0， 1），所以 =（ ， ， 1）， =（ 0， 1， ）， = =0，所以 （ 2）结论：存在一点 D，使得平面 平面 成锐二面角的余弦值为 理由如下： 设面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， =（ ， ， ）， =（ ， 1）， ，即 ， 令 z=2（ 1 ），则 =（ 3， 1+2， 2（ 1 ） 由题可知面 法向量 =（ 0， 0， 1）， 平面 平面 成锐二面角的余弦值为 ， 第 16 页（ 共 21 页） |， |= = ，即 = ， 解得 或 （舍），所以当 D 为 点时满足要求 18已知圆 E： y ） 2= 经过椭圆 C： + =1（ a b 0）的左右焦点 与椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 E， A 三点共线，直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点，且 = （ 0） （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）当三角形 面积取得最大值时，求直线 l 的方程 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出 c，再由条件得 圆 E 的直径求出|3，根据勾股定理求出 |根据椭圆的定义和 a2=b2+次求出 a 和 b 的值，代入椭圆方程即可； （ 2）由（ 1）求出 A 的坐标，根据向量共线的条件求出直线 斜率，设直线 l 的方程和M、 N 的坐标，联立直线和椭圆方程消去 y，利用韦达定理和弦长公式求出 |由点到直线的距离公式求出点 A 到直线 l 的距离，代入三角形的面积公式求出 面积 S 的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的 m，代入直线 l 的方程即可 【解答】 解：（ 1）如图圆 E 经过椭圆 C 的左右焦点 0 ） 2= ，解得 c= ， E， A 三点共线， 圆 E 的直径，则 |3， = =9 8=1， 第 17 页（ 共 21 页） 2a=|3+1=4， a=2 由 a2=b2+， b= ， 椭圆 C 的方程是 ； （ 2）由（ 1）得点 A 的坐标（ ， 1）， （ 0）， 直线 l 的斜率为 ， 则设直线 l 的方程为 y= x+m，设 M（ N（ 由 得， ， x1+， 2， 且 =24 0，解得 2 m 2， | | = = ， 点 A 到直线 l 的距离 d= = ， 面积 S= = = = ， 当且仅当 4 m2= m= ，直线 l 的方程为 19已知数列 公比为正整数的等比数列，若 且 ， 等差数列， （ ）求数列 通项 第 18 页（ 共 21 页） （ ）定义： 为 n 个正数 ， n N*）的 “均倒数 ”， （ ）若数列 n 项的 “均倒数 ”为 （ n N*），求数列 通项 （ ）试比较 + + 与 2 的大小，并说明理由 【考点】 数列与不等式的综合；等比数列的性质 【分析】 （ ）设数列 公比为 q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得 q=2，进而得到所求通项； （ ） （ ）由新定义，可得： ，整理，再将 n 换成 n 1，相减即可得到所求； （ ）判断： 2，由放缩法，可得 ，再由累加法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得 到