内蒙古通辽市2016年高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年内蒙古通辽市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 6 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若集合 M= 2， 1， 0， 1， 2， N=x| 1，则 MN 等于（ ） A 1 B 0， 1 C 1， 2 D 2， 1， 0， 1 2复数 z= 3+（ 1+i） 2 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列函数中，不是偶函数的是 （ ） A y=1 y= y= y=3x+3 x 4双曲线 =1 的左焦点到右顶点的距离为（ ） A 1 B 2 C 4 D 5 5已知变量 x 与 y 线性相关，且由观测数据算得样本平均数分别为 =4， =3，则由该观测数据算得的线性回归方程不可能是（ ） A = = = =若变量 x、 y 满足约束条件 则 z=4x+y 的最大值为（ ） A 8 B 10 C 12 D 15 7某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积等于（ ） A B 2 C D 3 8在 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边， 3B+C） =1， a= ，B= ，则 b 等于（ ） A B 3 C 2 D 9执行如图所示的程序框图，若输入 n=10，则输出的 S=（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 10已知函数 f（ x） =2x+） （ 0 | ）的图象如图所示，则函数 y=f（ x）+ 的对称中心坐标为（ ） A（ ， ）（ k Z） B（ 3， ）（ k Z） C（ ， ）（ k Z） D（ ， ）（ k Z） 11设 为锐角，则 “2”是 “ 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 12若直线 y=a 与函数 y=| |的图象恰有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围为（ ） A B（ 0， ） C（ ， e） D（ ， 1） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡中的横线上） 13设 与 的夹角为 60，且 | |=2 ， | |= ，则 = 14（ 1 ） 7 的展开式中 系数为 第 3 页（共 19 页） 15过原点且与直线 平行的直线 l 被圆 所截得的弦长为 16在底面为正方形的四棱锥 S ， B=D，异面直线 成的角为 60， ，则四棱锥 S 外接球的表面积为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设 等比数列 前 n 项和， ， （ 1）求 （ 2）若 ， 等差数列，求 n 的值 18为调查了解某药物使用后病人的康复时间，从 1000 个使用该药的病人的康复时间中抽取了 24 个样本，数据如下图中的茎叶图（单位：周）专家指出康复时间在 7 周之内（含 7周）是快效时间 （ 1）求这 24 个样本中达到快效时间的频率； （ 2）以（ 1）中的频率作为概率，从这 1000 个病人中随机选取 3 人，记这 3 人中康复时间达到快效时间的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 19如图，在四棱锥 A ， 等边三角形，平面 平面 ，四边形 高为 的等腰梯形， O 为 中点 （ 1）求证： （ 2）求二面角 F B 的正弦值 20设椭圆 =1（ a b 0）的离心率为 ，且左焦点在抛物线 x 的准线上 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若在 y 轴上的截距为 4 的直线 l 与椭圆分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点，且直线斜率之和等于 2，求直线 斜率 21已知函数 f（ x） = （ a 0） （ 1）若 a ，且曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线的斜率为 ，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）求证：当 x 1 时， f（ x） 第 4 页（共 19 页） 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答， 选修 4何证明选择 22如图，圆 O 的直径 ，圆周上过点 C 的切线与 延长线交于点 E，过 点 B 作平行线交 延长线于点 P （ 1）求证： C （ 2）若 ，求 长 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在直角坐标系 ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，圆 N 的方程为 2 6 8 （ 1）求圆 N 的直角坐标方程； （ 2）判断直线 l 与圆 N 的位置关系 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x a|+|x 2| （ 1）当 a=2 时，求不等式 f（ x） 14 的解集； （ 2）若 f（ x） x R 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年内蒙古通辽市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 6 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若集合 M= 2， 1， 0， 1， 2， N=x| 1，则 MN 等于（ ） A 1 B 0， 1 C 1， 2 D 2， 1， 0， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 解不等式求出集合 N，结合已知中集合 M，和集合的交集运算，可得答案 【解答】 解： 集合 M= 2， 1， 0， 1， 2， N=x| 1=1， 2）， MN=1， 故选： A 2复数 z= 3+（ 1+i） 2 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的 代数表示法及其几何意义 【分析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简复数 z，求出复数 z 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解：由 z= 3+（ 1+i） 2， 得 z= 3+2i 则复数 z= 3+（ 1+i） 2 在复平面内对应的点的坐标为：（ 3， 2），位于第二象限 故选： B 3下列函数中，不是偶函数的是（ ） A y=1 y= y= y=3x+3 x 【考点】 函数奇偶性的判断 【分析】 根据函数奇偶性的定义进行判断即可 【解答】 解： y=定义域内是 奇函数，其余都是偶函数， 故选： B 4双曲线 =1 的左焦点到右顶点的距离为（ ） A 1 B 2 C 4 D 5 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 a， b，由 c= ，可得 c，即可得到左焦点和右顶点，进而得到它们的距离 【解答】 解：双曲线 =1 的 a=2， b= ， 第 6 页（共 19 页） c= =3， 可得右顶点为（ 2， 0），左焦点为（ 3， 0）， 可得左焦点到右顶点的距离为 5 故选： D 5已知变量 x 与 y 线性相关，且由观测数据算得样本平均数分别为 =4， =3，则由该观测数据算得的线性回归方程不可能是（ ） A = = = =考点】 线性回归方程 【分析】 将样本平均数代入回归方程逐一验证 【解答】 解：由最小二乘法原理可知样本平均数（ 4， 3）在线性回归方程上 对于 A，当 x=4 时， y=， 对于 B，当 x=4 时， y=， 对于 C，当 x=4 时， y=， 对于 D，当 x=4 时， y=2+3 故选： D 6若变量 x、 y 满足约束条件 则 z=4x+y 的最大值为（ ） A 8 B 10 C 12 D 15 【考点】 简单线性规划 【分析】 利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由 z=4x+y 得 y= 4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=4x+y 得 y= 4x+z，平移直线 y= 4x+z，由图象可知当直线经过点 A 时，直线的截距最大，此时 z 最大， 由 ，解得 ，即 A（ 4， 1），代入 z=4x+y 得最大值为 z=16 1=15 故选： D 第 7 页（共 19 页） 7某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积等于（ ） A B 2 C D 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为四棱柱与三棱柱的组合体 【解答】 解：由三视图可知该几何体上部分为四棱柱，下部分为三棱柱，四棱柱的底面为边长为 1 的正方形，高为 2，三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为 1，三棱柱的高为 1， 所以几何体的体积 V=1 1 2+ = 故选 C 8在 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边， 3B+C） =1， a= ，B= ，则 b 等于（ ） A B 3 C 2 D 【考点】 两角和与差的余弦函数；余弦定理 【分析】 由条件利用诱导公式，同角三角函数的基本关系求得 值，利用正弦定理求得 b 的值 【解答】 解： ，由 3B+C） =3， 可得 ， = 再根据 a= ， B= ，利用正弦定理可得 = ，即 = ， 求得 b=2 ， 故选： C 9执行如图所示的程序框图，若输入 n=10，则输出的 S=（ ） 第 8 页（共 19 页） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由 = （ ），模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出 S= （ 1 ） + （ ） + （ ） + （ ） + （ ）的值，用裂项法计算即可得解 【解答】 解： = = （ ）， 模拟执行程序，可得 n=10， S=0， i=2 满足条件 i 10， S= = （ 1 ）， i=4 满足条件 i 10， S= （ 1 ） + （ ）， i=6 满足条件 i 10， S= （ 1 ） + （ ） + （ ）， i=8 满足条件 i 10， S= （ 1 ） + （ ） + （ ） + （ ）， i=10 满足条件 i 10， S= （ 1 ） + （ ） + （ ） + （ ） + （ ），i=12 第 9 页（共 19 页） 不满足条件 i 10，退出循环，输出 S= （ 1 ） + （ ） + （ ） + （ ）+ （ ） = （ 1 ） = 故选： A 10已知函数 f（ x） =2x+）（ 0 | ）的图象如图所示，则函数 y=f（ x）+ 的对称中心坐标为（ ） A（ ， ）（ k Z） B（ 3， ）（ k Z） C（ ， ）（ k Z） D（ ， ）（ k Z） 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 f（ x）的解析式；再利用正弦函数的图象的对称性，求得 y=f（ x） + 的对称中心坐标 【解答】 解：根据函数 f（ x） =2x+）（ 0 | ）的图象， 可得 = ， = 再根据五点法作图可得 += ，求得 = ， f（ x） =2x+ ） 则函数 y=f（ x） +=2x+ ） + ， 令 x+ =得 x= ， k Z， 故函数 y=f（ x） +=的对称中心坐标为（ ， ）， k Z， 故选： D 11设 为锐角，则 “2”是 “ 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的图象和性质以及一元二次不等式的解法进行求解即可 第 10 页（共 19 页） 【解答】 解：由 2， 为锐角得 60 90，则 120 2 180则 2 0，而 2= 0，所以，有 “ 0”； 充分性成立 为锐角， 0 2 180， 0， 90 2 180，则 45 90，则 1 由 0 得 ， 即 （ 1 2 即 232 0， 解得 2 或 舍），即必要性成立， 故 “2”是 “ 0”的充分必要条件， 故选： C 12若直线 y=a 与函数 y=| |的图象恰有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围为（ ） A B（ 0， ） C（ ， e） D（ ， 1） 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数的图象 【分析】 先求得函数 y=| |的定义域为（ 0， +），再分段 y=|= ，从而分别求导确定函数的单调性，从而解得 【解答】 解：函数 y=| |的定义域为（ 0， +）， y=| |= ， 当 x （ 0， e 1）时， y= ， x （ 0， e 1）， 1， 第 11 页（共 19 页） y= 0， y=| |在（ 0， e 1）上是减函数； 当 x （ e 1， +）时， y= ， 当 x （ e 1， ）时， y 0， 当 x （ ， +）时， y 0， y=| |在（ e 1， ）上是增函数， 在（ ， +）上是减函数； 且 | |=+， f（ e 1） =0， f（ ） = ， | |=0， 故实数 a 的取值范围为（ 0， ）， 故选 B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答 案填在答题卡中的横线上） 13设 与 的夹角为 60，且 | |=2 ， | |= ，则 = 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量数量积的定义计算 【解答】 解： =2 = 故答案为： 14（ 1 ） 7 的展开式中 系数为 7 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得展开式中 系数 【解答】 解：由于（ 1 ） 7 的展开式的通项公式为 = （ 1） r ， 令 =2，求得 r=6，可得展开式中 系数为 =7， 故答案为： 7 15过原点且与直线 平行的直线 l 被圆 所截得的弦长为 2 第 12 页（共 19 页） 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 先求出直线 l： =0，再求出圆 的圆心、半径和圆心（ 0， ）到直线 l： =0 的距离 d，由此能求出直线 l 被圆所截得的弦长 【解答】 解：设与直线 平行的直线 l 为 +c=0， l 过原点， c=0， 直线 l： =0， 圆 的圆心（ 0， ），半径 r= ， 圆心（ 0， ）到直线 l： =0 的距离 d= =1， 直线 l 被圆 所截得的弦长 |2 =2 =2 故答案为： 2 16在底面为正方形的四棱锥 S ， B=D，异面直线 成的角为 60， ，则四棱锥 S 外接球的表面积为 8 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 作出直观图，根据所给条件寻找外接球的球心位置，计算球的半径，即可求出四棱锥 S 外接球的表面积为 【解答】 解：取 底面中心 O， 点 E，连结 ，B=D= ， 平面 异面直线 成的角，即 0， C， 等边三角形， B=2， ， = B=D= O 为四棱锥 S 外接球球心 外接球的表面积 S=4 （ ） 2=8 故答案为： 8 第 13 页（共 19 页） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设 等比数列 前 n 项和， ， （ 1）求 （ 2）若 ， 等差数列，求 n 的值 【考点】 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 （ 2）由 ， 等差数列，可得 2（ ） =a3+利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）设等比数列 公比为 q， ， q= =3 n 1 = （ 2） ， 等差数列， 2（ ） =a3+ 3n 1+10=32+34， 化为 3n=34， 解得 n=4 18为调查了解某药物使用后病人的康复时间，从 1000 个使用该药的病人的康复时间中抽取了 24 个样本，数据如下图中的茎叶图（单位：周）专家指出康复时间在 7 周之内（含 7周）是快效时间 （ 1）求这 24 个样本中达到快效时间的频率； （ 2）以（ 1）中的频率作为概率，从这 1000 个病人中随机选取 3 人，记这 3 人中康复时间达到快效时间的人数为 X，求 X 的分布列及 数学期望 【考点】 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）由茎叶图得 24 个样本中，康复时间在 7 周之内（含 7 周）的样本个数为 8 个，由此能求出这 24 个样本中达到快效时间的频率 （ 2）由已知得 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， X B（ 3， ），由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ 1）由茎叶图得 24 个样本中，康复时间在 7 周之内（含 7 周）的样本个数为8 个， 这 24 个样 本中达到快效时间的频率 p= （ 2）由已知得 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， X B（ 3， ）， 第 14 页（共 19 页） P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P =1 19如图，在四棱锥 A ， 等边三角形，平面 平面 ，四边形 高为 的等腰梯形， O 为 中点 （ 1）求证： （ 2）求二面角 F B 的正弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）推导出 从而 平面 此能证明 （ 2）取 点 D，以 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 F B 的正弦值 【解答】 证明：（ 1） 在四棱锥 A ， 等边三角形， O 为 中点， 平面 平面 面 平面 F， 平面 面 解：（ 2）取 点 D，以 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， A（ 0， 0， ）， E（ 1， 0， 0）， F（ 1， 0， 0）， B（ 2， ， 0）， =（ 1， 0， ）， =（ 2， ， ）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ， 取 z=1，得 =（ ， 1， 1）， 第 15 页（共 19 页） 平面 法向量 =（ 0， 1， 0）， 设二面角 F B 的平面角为 ， 则 = ， = 二面角 F B 的正弦值为 20设椭圆 =1（ a b 0）的离心率为 ，且左焦点在抛物线 x 的准线上 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若在 y 轴上的截距为 4 的直线 l 与椭圆分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点，且直线斜率之和等于 2，求直线 斜率 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）根据抛物线的性质求得其准线方程，即可求得椭圆的焦点坐标，跟据离心率的定义，求得可求 a 和 b，求得椭圆方程； （ 2）根据椭圆方程，设出直线 方程，代入椭圆消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用判别式 0，求得 k 的取值范围，根据韦达定理求得 x1+ x1别求得直线 斜率，根据斜率之和等于 2，即可求得 k 的值 【解答】 解：（ 1）由抛物线 x 的准线为， x= ， 椭圆 =1（ a b 0）的左焦点坐标为（ ， 0）， c= ，由 e= = ， a=2， 由 a2=b2+得 b=1， 故椭圆的方程为： ， 设椭圆 =1（ a b 0）的离心率为 ，且左焦点在抛物线 x 的准线上 第 16 页（共 19 页） （ 2）设直线 y=， A（ B（ 将直线方程代入椭圆方程整理得：（ 1+420=0， =（ 32k） 2 240（ 1+4 0，解得 k 或 k ， 由韦达定理可知 x1+ ， x1， + = =2k+4 =2k+4 ， 直线 斜率之和等于 2，即 2k+4 =2，解得 k= 15， 直线 斜率 15 21已知函数 f（ x） = （ a 0） （ 1）若 a ，且曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线的斜率为 ，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）求证：当 x 1 时， f（ x） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得 a=1，由导数大于 0，可得增区间，由导数小于 0，可得减区间； （ 2）要证当 x 1 时， f（ x） （ a 0），即证当 x 1 时， （ a 0），即有当 x 1 时， 9+9x令 g（ x） =9+9x（ x 1），求出导数，判断单调性，即可得证 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） = 的导数为 f（ x） = ， 即有在点（ 2， f（ 2）处的切线的斜率为 = ， 解得 a= （舍去）或 a=1， 即有 f（ x） = 的导数为 f（ x） = ， 由 f（ x） 0，可得 1 x 1，由 f（ x） 0，可得 x 1 或 x 1 则 f（ x）的增区间为（ 1， 1），减区间为（ ， 1），（ 1， +）； （ 2）证明：要证当 x 1 时， f（ x） （ a 0）， 第 17 页（共 19 页） 即证当 x 1 时， （ a 0）， 即有当 x 1 时， 9+9x 令 g（ x） =9+9x（ x 1）， g（ x） = 9 0，即有 g（ x）在（ 1， +）递减， 则 g（ x） g（ 1） =0，即有当 x 1 时， 9+9x 故当 x 1 时， f（ x） 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答， 选修 4何证明选择 22如图，圆 O 的直径 ，圆周上过点 C 的切线与 延长线交于点 E，过点 B 作平行线交 延长线于点 P （ 1）求证： C （ 2）若 ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）证明： 可证明 C （ 2）由题意可得 AA（ B），即可解得 值 【解答】 解：（ 1）证明： 圆 O