广东省韶关市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年广东省韶关市高一（下）期末数学试卷 一、选择题 2 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=1， 2， 3， 4， B=x R|1 x 4，则 AB=（ ） A 1， 2， 3， 4 B 2， 4 C 2， 3， 4 D x|1 x 4 2已知向量 =（ 1， 2）， =（ x， 4），若 ，则实数 x 的值为（ ） A 8 B 2 C 2 D 8 3已知 ， 是第四象限角，则 2 ） =（ ） A B C D 4已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） = +x+1），则 f（ 1） =（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 5若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A 92 C 91 和 92 和 92 6执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A 26 B 11 C 4 D 1 7过点 P（ 2， 4）作圆 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=5 的切线，则切线方程为（ ） A x y=0 B 2x y=0 C x+2y 10=0 D x 2y 8=0 8已知点 A（ ， ），将 坐标原点 O 逆时针旋转 至 点 B 的坐标为（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 第 2 页（共 17 页） 9某游戏规则如下：随机地往半径为 l 的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于 ，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于 ，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于 且小于 ，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（ ） A B C D 10如图，网格纸是边长为 1 的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A 4 B 8 C 16 D 20 11将函数 h（ x） =22x+ ）的图象向右平移 个单位，再向上平移 2 个单位，得到函数 f（ x）的图象，则函数 f（ x）的图象（ ） A关于直线 x=0 对称 B关于直线 x= 对称 C关于点（ ， 0）对称 D关于点（ ， 2）对称 12已知点 C 为线段 一点， P 为直线 一点， 的平分线， I 为 足 = +（ + ）（ 0）， ， ，则的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若直线 x 2y+5=0 与直线 2x+6=0 互相垂直，则实数 m= 14某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表： 广告费用 x（万元） 3 4 5 6 销售额 y（万元） 25 30 40 45 根据上表可得回归方程 = x+ ，其中 =7，则 = ，据此模型预报广告费为 7 万元时销售额为 15已知 =3，则 + ） = 第 3 页（共 17 页） 16若一三角形三边所在的直线方程分别为 x+2y 5=0， y 2=0， x+y 4=0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为 三解答题（本大题共 6 题，满分 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17已知函数 f（ x） = x+ ）（ 0）的最小正周期为 （ ）求 的值及其 f（ x）的单调递增区间； （ ）若 x 0， ，求函数 f（ x）的最大值和最小值 18为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于 45 至 70 之间将数据分成以下 5 组：第 1 组 45， 50），第 2组 50， 55），第 3 组 55， 60），第 4 组 60， 65），第 5 组 65， 70，得到如图所示的频率分布直方图现采用分层抽样的方法，从第 3， 4， 5 组中随机抽取 6 名学生做初检 （ ）求每组抽取的学生人数； （ ）若从 6 名学生中再次随机抽取 2 名学生进行复检，求这 2 名学生不在同一组的概率 19已知 | |=2， | |=1，（ 2 3 ） （ 2 + ） =17 （ ）求 与 的夹角和 | + |的值； （ ）设 =m +2 ， =2 ，若 与 共线，求实数 m 的值 20如图，已知正方形 矩形 在的平面互相垂直， ， ， M 是线段 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ） 求 A 点到面 距离 21已知以点 C（ t， ）（ t R， t 0）为圆心的圆过原点 O （ ） 设直线 3x+y 4=0 与圆 C 交于点 M、 N，若 |求圆 C 的方程； （ ） 在（ ）的条件下，设 B（ 0， 2），且 P、 Q 分别是直线 l： x+y+2=0 和圆 C 上的动点，求 | |最大值及此时点 P 的坐标 第 4 页（共 17 页） 22已知二次函数 f（ x） =x2+bx+c（其中 b， c 为实常数） （ ）若 b 2，且 y=f（ x R）的最大值为 5，最小值为 1，求函数 y=f（ x）的解析式； （ ）是否存在这样的函数 y=f（ x），使得 y|y=x2+bx+c， 1 x 0= 1， 0，若存在，求出函数 y=f（ x）的解析式；若不存在，请说明理由 （ ）记集合 A=x|f（ x） =x， x R， B=x|f（ f（ x） =x， x R 若 A ，求证： B ； 若 A=，判断 B 是否也为空集 第 5 页（共 17 页） 2015年广东省韶关市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 2 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=1， 2， 3， 4， B=x R|1 x 4，则 AB=（ ） A 1， 2， 3， 4 B 2， 4 C 2， 3， 4 D x|1 x 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： A=1， 2， 3， 4， B=x R|1 x 4， AB=2， 3， 4， 故选： C 2已知向量 =（ 1， 2）， =（ x， 4），若 ，则实数 x 的值为（ ） A 8 B 2 C 2 D 8 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可 【解答】 解： ， 4 2x=0，得 x=2， 故选： B 3已知 ， 是第四象限角，则 2 ） =（ ） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 利用同角三角函数的基本关系求得 值，再利用诱导公式求得 2 ）的值 【解答】 解：由已知 ， 是第四象限角， 可得 ， ， 故选： A 4已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） = +x+1），则 f（ 1） =（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由条件利用函数的奇偶性可得 f（ 1） = f（ 1），计算求得结果 【解答】 解：由题意可得 f（ 1） = f（ 1） = +1+1） =（ 1+1） = 2， 故选： C 第 6 页（共 17 页） 5若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A 92 C 91 和 92 和 92 【考点】 茎叶图；众数、中位数、平均数 【分析】 根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果 【解答】 解：由茎叶图可知：这组数据为 87， 89， 90， 91， 92， 93， 94， 96， 所以其中位数为 = 平均数为 （ 87+89+90+91+92+93+94+96） = 故选 A 6执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A 26 B 11 C 4 D 1 【考点】 程序框图 【分析】 由算法的程序框图，计算各次循环的结果，满足条件，结束程序，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 i=1， S=0 满足条件 i 4，执行循环体， S=1， i=2 满足条件 i 4，执行循环体， S=4， i=3 满足条件 i 4，执行循环体， S=11， i=4 不满足条件 i 4，退出循环，输 出 S 的值为 11 故选： B 7过点 P（ 2， 4）作圆 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=5 的切线，则切线方程为（ ） A x y=0 B 2x y=0 C x+2y 10=0 D x 2y 8=0 第 7 页（共 17 页） 【考点】 圆的切线方程 【分析】 判断点 P 在圆上，根据切线和直线 关系求出对应的斜率，进行求解即可 【解答】 解：因为点 P（ 2， 4）在圆 C 上，所以切线与直线 直， 所以 ， 所以切线方程为 ，即 x+2y 10=0， 故选： C 8已知点 A（ ， ），将 坐标原点 O 逆时针旋转 至 点 B 的坐标为（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 求出 ，所以 ，即可求出点 B 的 坐标 【解答】 解：因为点 ，即 ，所以 ， 所以点 B 的坐标为 故选： A 9某游戏规则如下：随机地往半径为 l 的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于 ，则成绩为及格；若飞标到 圆心的距离小于 ，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于 且小于 ，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据题意，计算可得圆的面积为 ，成绩为良好时，点到圆心的距离大于 且小于的面积，由几何概型求概率即可 【解答】 解：圆的面积为 ，点到圆心的距离大于 且小于 的面积为 = ， 由几何概型得在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 P= = 故选 D 第 8 页（共 17 页） 10如图，网格纸是边长为 1 的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A 4 B 8 C 16 D 20 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 通过三视图苹果几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可 【解答】 解：三视图的几何体是四棱锥，底面的边长为 2、 6 的矩形，四棱锥的顶点在底面的射影落在矩形的长边的一个三等份点，由三视图的数据可知，几何体的高是 4， 所以几何体的体积为： 6 2 4=16 故选 C 11将函数 h（ x） =22x+ ）的图象向右平移 个单位，再向上平移 2 个单位，得到函数 f（ x）的图象，则函数 f（ x）的图象（ ） A关于直线 x=0 对称 B关于直线 x= 对称 C关于点（ ， 0）对称 D关于点（ ， 2）对称 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换规律求得 f（ x）的解析式，再利用正弦函 数的图象的对称性，得出结论 【解答】 解：将函数 h（ x） =22x+ ）的图象向右平移 个单位， 可得 y=2（ x ） + =22x ）的图象； 再向上平移 2 个单位，得到函数 f（ x） =22x ） +2 的图象， 第 9 页（共 17 页） ， f（ x）的图象关于点 对称， 故选： D 12已知点 C 为线段 一点， P 为直线 一点， 的平分线， I 为 足 = +（ + ）（ 0）， ， ，则的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用角平分线的性质、三角形内切圆的性质、向量的运算性质即可得出 【解答】 解： ， 的平分线， 又满足 = +（ + ）（ 0），即 = ， 所以 I 在 角平分线上，由此得 I 是 内心，过 I 作 H， I 为圆心，半径，作 内切圆，如图，分别切 E、 F， ， ， = = =3， 在直角三角形 ， ， 所以 = =3 故选： B 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若直线 x 2y+5=0 与直线 2x+6=0 互相垂直，则实数 m= 1 第 10 页（共 17 页） 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为 1，列出方程求出 m 的值 【解答】 解：直线 x 2y+5=0 的斜率为 直线 2x+6=0 的斜率为 两直线垂直 解得 m=1 故答案为： 1 14某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表： 广告费用 x（万元） 3 4 5 6 销售额 y（万元） 25 30 40 45 根据上表可得回归方程 = x+ ，其中 =7，则 = 据此模型预报广告费为 7 万元时销售额为 【考点】 线性回归方程 【分析】 由表中数据求得， 及 ，将样本中心 ，代入回归方程， =7x+ ，求得 a= x=7 代入回归方程求得 y 的值 【解答】 解：由表中数据可得， ， 而回归方程经过样本中心 ，代入回归方程， =7x+ ， a= 从而当 x=7 时， y=7 7+元 故答案为： 15已知 =3，则 + ） = 3 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，求得要求式子的值 【解答】 解：由已知 =3 可得， =+）， 即 +） =3， 故答案为： 3 16若一三角形三边所在的直线方程分别为 x+2y 5=0， y 2=0， x+y 4=0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为 （ x 2） 2+（ y 2= 【考点】 圆的标准方程；两条直线的交点坐标 第 11 页（共 17 页） 【分析】 确定三角形的三个顶点坐标，能够覆盖此三角形且面积最小是三角形的外接圆，利用待定系数法，即可求得结论 【解答】 解： 三角形三边所在的直线方程分别为 x+2y 5=0， y 2=0， x+y 4=0， 可得三角形的三个顶点分别是 A（ 1， 2）， B（ 2， 2）， C（ 3， 1）， 钝角三角形 能够覆盖此三角形且面积最小是以 直径的圆，方程为（ x 2） 2+（ y 2= 故答案为：（ x 2） 2+（ y 2=解答题（本大题共 6 题，满分 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17已知函数 f（ x） = x+ ）（ 0）的最小正周期为 （ ）求 的值及其 f（ x）的单调递增区间； （ ）若 x 0， ，求函数 f（ x）的最大值和最小值 【考点】 正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （ ）利用正弦函数的周期性求得 ，再利用正弦函数的单调性，得出结论 （ ）由条件利用正弦函数的单调性、最值，得出结论 【解答】 解：（ ）因为函数 （ 0）的最小正周期为 由 ，解得 ， 所以函数 f（ x）的单调递增区间为 （ ） ， ， 当 ，即 时，函数 f（ x）取得最大值 ， 当 ，即 时，函数 f（ x）取得最小值 18为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于 45 至 70 之间将数据分成以下 5 组：第 1 组 45， 50），第 2组 50， 55），第 3 组 55， 60），第 4 组 60， 65） ，第 5 组 65， 70，得到如图所示的频率分布直方图现采用分层抽样的方法，从第 3， 4， 5 组中随机抽取 6 名学生做初检 （ ）求每组抽取的学生人数； （ ）若从 6 名学生中再次随机抽取 2 名学生进行复检，求这 2 名学生不在同一组的概率 第 12 页（共 17 页） 【考点】 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 【分析】 （ I）根据频率分布直方图求出各组学生数之比，再根据分层抽样按比例抽得各组学生数即可； （ 据古典概型的计算公式，先求从 6 名学生抽得 2 名学生的所有可能情形，再 求符合要求的可能情形，根据公式计算即可 【解答】 解：（ ）解：由频率分布直方图知，第 3， 4， 5 组的学生人数之比为 3： 2： 1 所以，每组抽取的人数分别为： 第 3 组： 6=3；第 4 组： =2；第 5 组： =1 从 3， 4， 5 组应依次抽取 3 名学生， 2 名学生， 1 名学生 （ ）记第 3 组的 3 位同学为 ， ， ；第 4 组的 2 位同学为 A， B；第 5 组的 1 位 同学为 C 则从 6 位同学中随机抽取 2 位同学所有可能的情形为：（ ， ），（ ， ），（ ， A），（ ， B），（ ， C），（ ， ），（ ， A），（ ， B），（ ， C），（ ， A）， （ ， B），（ ， C），（ A， B），（ A， C），（ B， C）共 15 种可能 其中，（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ A， B）四种为 2 名学生在同一组， 有 11 种可能符合 2 名学生不在同一组的要求， 所求概率 P= 19已知 | |=2， | |=1，（ 2 3 ） （ 2 + ） =17 （ ）求 与 的夹角和 | + |的值； （ ）设 =m +2 ， =2 ，若 与 共线，求实数 m 的值 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 （ ）根据向量数量积的定义和应用即可求 与 的夹角和 | + |的值； （ ）根据向量共线的等价条件建立方程关系进行求解即可 【解答】 解：（ ）设 与 的夹角为 ， ， 即 4 22 4 2 1 3 12=17 ，又 0 ， 所以 与 的夹角 （ ）解：因为 与 共线，所以存在 ， 使 第 13 页（共 17 页） 因为 与 不共线，所以 所以， m= 4 20如图，已知正方形 矩形 在的平面互相垂直， ， ， M 是线段 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ） 求 A 点到面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）证明四边形 平行四边形，可得 平面 内，平面 外，满足线面平行的判定定理所需条件，从而证得结论； （ ）证明 F=O，即可证明 平面 （ ）利用 F 出 A 到面 距离 【解答】 （ ）证明：设底面对角线的交点为 O，连接 M 为 中点，四边形 矩形 O 因为 平面 面 平面 （ ）证明：设 于 O 点，连 矩形 四边形， ， 所以， 正方形，故 又正方形 矩形 在的平面互相垂直，且交线为 正方形 ，故 面面垂直的性质定理， 面 又 面 以 又 F=O，故 平面 （ ）解： F A 到面 距离为 h， 第 14 页（共 17 页） 21已知以点 C（ t， ）（ t R， t 0）为圆心的圆过原点 O （ ） 设直线 3x+y 4=0 与圆 C 交于点 M、 N，若 |求圆 C 的方程； （ ） 在（ ）的条件下，设 B（ 0， 2），且 P、 Q 分别是直线 l： x+y+2=0 和圆 C 上的动点，求 | |最大值及此时点 P 的坐标 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ ）由 N 得原点 O 在 中垂线上，由圆的弦中点性质和直线垂直的条件列出方程，求出 t 的值和 C 的坐标，代入圆的标准方程化简，再验证直 线与圆的位置关系； （ ）根据三边关系判断出取最大值的条件，由圆外一点与圆上一点距离最值问题求出最大值，由点斜式方程求出 直线方程，以及此时点 P 的坐标 【解答】 解：（ ） N，所以，则原点 O 在 中垂线上 设 中点为 H，则 C、 H、 O 三点共线， 直线 方程是 3x+y 4=0， 直线 斜率 = = ，解得 t=3 或 t= 3， 圆心为 C（ 3， 1）或 C（ 3， 1） 圆 C 的方程为（ x 3） 2+（ y 1） 2=10 或（ x+3） 2+（ y+1） 2=10 由于当圆方程为（ x+3） 2+（ y+1） 2=10 时，圆心到直线 3x+y 4=0 的距离 d r， 此时不满足直线与圆相交，故舍去， 圆 C 的方程为（ x 3） 2+（ y 1） 2=10 （ ） 在三角形 ，两边之差小于第三边，故 | | |又 B， C， Q 三点共线时 |大 所以， | |最大值为 ， B（ 0， 2）， C（ 3， 1）， 直线 方程为 ， 直线 直线 x+y+2=0 的交点 P 的坐标为（ 6， 4） 第 15 页（共 17 页） 22已知二次函数 f（ x） =x2+bx+c（其中 b， c 为实常数） （ ）若 b 2，且 y=f（ x R）的最大值为 5，最小值为 1，求函数 y=f（ x）的解析式； （ ）是否存在这样的函数 y=f（ x），使得 y|y=x2+bx+c， 1 x 0= 1， 0，若存在，求出函数 y=f