2019-2020学年长沙市第一中学高一上学期第二次阶段性检测数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省长沙市第一中学高一上学期第二次阶段性检测数学试题一、单选题1若集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】求出集合，进而可求出.【详解】因为，所以，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2经过点，斜率为1的直线的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用斜截式写出直线方程即可.【详解】解：由直线的斜截式得，即，故选：B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程，是基础题.3函数的零点所在的区间是ABCD【答案】C【解析】由函数可得f（2）f（3）0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）2x+x7的零点所在的区间【详解】函数f（x）2x+x7，f（2）10，f（3）40，f（2）f（3）0，根据函数的零点的判定定理可得，函数f（x）2x+x7的零点所在的区间是 （2，3），故选C【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题4已知函数，则（ ）A10B-10CD【答案】B【解析】首先判断的奇偶性，利用奇偶性求解即可.【详解】解：由已知得，故函数为奇函数，又，故选：B.【点睛】本题考查奇偶性的判断及应用，是基础题.5已知函数，且，则（ ）ABCD【答案】A【解析】先通过分类讨论求出，再代入可得结果.【详解】解：当时，此时无解；当时，得，故选：A.【点睛】本题考查分段函数求值问题，注意自变量的范围，是基础题.6函数的图象是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据函数的性质以及特殊点排除.【详解】由已知得函数定义域为，故函数的图像在轴的右边，故排除AB；又当时，选项D符合，故选：D.【点睛】本题考查函数图像的识别，其中关键是利用函数性质以及特殊点排除，是基础题.7已知圆锥的母线长为5，高为4，则这个圆锥的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】首先根据勾股定理求得底面半径，则可以得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解.【详解】解：底面半径是：，则底面周长是，则圆锥的侧面积是：，底面积为，则表面积为.故选：B.【点睛】本题考查圆锥表面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.8已知函数，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先利用指数函数，对数函数的单调性比较的大小关系，再利用的单调性比较大小.【详解】解：，可得，在上单调递增，故选：B.【点睛】本题考查指数函数，对数函数单调性的应用，是基础题.9已知直线经过两直线和的交点，且垂直于，则直线的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】联立两直线方程求得交点，再由已知直线方程求出所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案.【详解】解：联立，解得，直线和的交点为，又直线和直线垂直，直线的斜率为，则直线的方程为，化为一般方程为.故选：A.【点睛】本题考查直线的一般方程与直线垂直的关系，是基础的计算题.10已知，为不同的直线，为不重合的平面，则下列说法中正确的个数是（ ）若，则.若，则，相交.若，则.若，则.A0B1C2D3【答案】B【解析】根据线面平行的判定来判断；利用空间线线关系来判断；利用空间线线关系来判断；利用线面垂直的性质来判断.【详解】根据线面平行的判定，没有强调，故错误；若，则，可能相交，也可能异面；故错误；若，则与可能平行，可能相交，可能异面，故错误；若，则，又，则，故正确.故选：B.【点睛】本题考查空间线线，线面的关系的判断，是基础题.11已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，.若三棱锥的体积为16，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由已知可得三棱锥的外接球即为如图所示的长方体的外接球，求出，进而可求出外接球半径，为长方体体对角线的一半，再利用球的表面积公式计算即可.【详解】因为，则为直角，又平面，则三棱锥的外接球即为如图所示的长方体的外接球，三棱锥的体积，得，球的半径，球的表面积，故选：D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，关键是构造长方体进行计算，是基础题.12用表示非空集合中的元素个数，定义，若，且，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】要使，则，分类讨论利用判别式来确定集合中方程根的情况，进而可得实数的取值范围.【详解】解：要使，则，所以或或，解得或，又当时，不合题意，综上，实数的取值范围是，故选：B.【点睛】本题考查集合新定义，考查学生理解能力和计算能力，是中档题.二、填空题13_.【答案】2【解析】利用指数，对数的运算性质计算即可.【详解】解：，故答案为：2.【点睛】本题考查指数对数的运算，是基础题.14一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标为_.【答案】【解析】首先，根据光线从点射向轴，得到关于轴的对称点，然后根据反射后过点，列点斜式，可求得反射光线的方程，进而可得点的坐标.【详解】解：根据题意：关于轴的对称点为而反射光线直线又过其直线为：即：，当时，即点的坐标为，故答案为：.【点睛】本题考查直线关于点，直线对称方程问题，通过光线射向轴并反射，以及反射后经过一个点，通过点斜式求得反射光线所在直线方程，属于基础题.15若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】分离参数得，求出右侧分段函数在上的最大值即可得出的范围.【详解】解：由恒成立得恒成立，令，在上单调递增，在上单调递减，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的单调性与最值的计算，属于中档题.16若，给出如下结论：为奇函数且在上单调递增；对任意实数，都有；存在实数，使；对任意实数，都有.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】计算以及通过，的单调性，可判断；代入条件计算即可判断；代入条件计算即可判断；代入条件计算即可判断.【详解】解：对于：的定义域为，且，所以为奇函数，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增；对于：；对于：；对于：，故正确的有，故答案为：.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，以及函数关系式的计算，考查了计算能力，是中档题.三、解答题17已知对数函数过点.（1）求函数的解析式，并写出函数的定义域；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），定义域为；（2）【解析】（1）设，代入点计算即可；（2）利用对数函数的单调性及定义域列不等式组求解即可.【详解】解：（1）设，所以，定义域为；（2）由已知得，所以的取值范围是.【点睛】本题考查待定系数法求对数函数的解析式，考查对数函数单调性的应用，是基础题.18如图，在三棱柱中，且，点，分别为和的中点，与相交于点.（1）证明：平面平面；（2）求异面直线和所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接，通过证明平面与平面，可得平面平面；（2）找到为异面直线和所成角，求即可.【详解】证明：（1）由题意可得，点分别是和的中点，连接，又平面平面，平面，同理：，则 平面，又平面平面，平面平面；（2）点分别是和的中点，为异面直线和所成角，由题意知，四边形为正方形，所以，即和所成角为.【点睛】本题考查通过线面平行证明面面平行，考查异面直线所成的角，是基础题.19已知直线：.（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；（2）若直线与轴、轴分别相交于，两点，点为线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将的方程整理为关于的一次方程，令系数为，列方程求解即可；（2）设，则，解出，即可得直线的方程.【详解】解：（1），则，则；（2）设，因为点为线段的中点，所以，所以直线的方程为，即.【点睛】本题考查直线恒过定点的问题，考查直线方程的求解，是基础题.20如图所示，在四棱锥中，平面，.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积等于时，求二面角的平面角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）通过证明以及，可得平面，进而可得；（2）先利用等体积法求得，连接 ，证明是二面角的平面角，在中计算即可.【详解】解：（1）在中，平面平面，又，平面，又平面，；（2）由（1）平面，连接 ，又，平面，又，是二面角的平面角，又平面，则二面角的平面角的平面角的正切值为.【点睛】本题考查线面垂直证明线线垂直，考查面面角的计算，其中作出是二面角的平面角是关键，避免了空间向量法的繁琐计算，是中档题.21某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元.（1）分别写出两类产品的利润与投资额的函数关系式；（2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）；（2）当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元【解析】（1）设出两类产品的利润与投资额的函数关系式，代入已知求解即可；（2）设投资乙产品万元，则投资甲产品万元，根据（1）可得获得的利润为，利用换元法转化为二次函数求其最值.【详解】解：（1）设两种产品的利润与投资额的函数关系分别为：，结合已知得，所以；（2）设投资乙产品万元，则投资甲产品万元，依题意，获得的利润为，令，则，所以当，即时，取得最大值，故当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元.【点睛】本题考查函数模型的建立与应用，考查计算能力，是基础题.22设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是函数的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点.（1）已知，若对于任意实数，函数恒有两个不相等的不动点，求实数的取值范围；（2）已知，若在区间上存在不动点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将有两个不相等的不动点，转化为方程有两个不相等的实数根，继续转化为对任意恒成立，转化为最值即可；（2）由已知得在上有解，即在上有解，令，转化为二次函数值域问题即可；又在上恒成立，也令，转化为最值问题即可.【详解】（1）因为有两个不相