四川省凉山州2016年高考数学二诊试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年四川省凉山州高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1设集合 A= 2， 1， 0， 1， 2，集合 B=y=|y=x， x 1， AB=（ ） A 1， 2 B 2， 1 C 2， 1， 0 D 1， 2， 0 2设 =1（ a， b R， i 为虚数单位），则 |a+值为（ ） A 2 B C 3 D 5 3在 ， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a=1， b=2， c= ，则 C=（ ） A 120 B 60 C 45 D 30 4实数 a， b，则（ a+b）（ 1+a） 0，是 1 恒成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5若（ x 1） 100=+一切实数 x 恒成立，则 a3+值为（ ） A 0 B C C 2C D 2100 6执行如图所示的程序框图，则输出的 n 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 7如图 所示是一个几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为 1 的正三角形，俯视图是两个边长为 1 的正三角形拼成的菱形，则其体积为（ ） A B C D 1 8设 P（ x， y）满足 ，点 A（ 2， 0）， B（ 0， 3），若 = + ， O 是坐标原点，则 +的取值范围是（ ） A 2， 4 B ， C ， 2 D 1， 2 第 2 页（共 18 页） 9点 P 在直线 3x+4y 10=0 上，过点 P 作圆 x2+ 的切线，切点为 M，则 （ O 是坐标原点）的最小值是（ ） A 2 B C D 3 10设 f（ x） =|1 有三个不同的零点，则 a 的取值范围是（ ） A（ 0， e） B（ 0， C（ 0， ） D（ 0， ） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11若双曲线 =1（ b 0）的一条渐近线为 x+ y=0，则离心率 e= 12已知球的内接正方体的棱长为 1，则该球的表面积为 13两人坐在一排有 6 个椅子的位置上，恰好有 2 个连续的空位的坐法数为 14设 =（ =（ = ，则 在 方向上的投影为 15设 F（ a， b） = ，有关 F（ a， b）有以下四个命题： R，使得 F（ 0； 若 a， b， c R，则 F（ a， b） +F（ b， c） F（ c， a）； 不等式 F（ x， 2） F（ 1 x， 1）的解集是 1， +）； 若对任意实数 x， mF（ x， 2） +F（ x， 2） 2m+6 恒成立，则 m 的取值范围是 1， +） 则所有正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 75 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16某校在一次高三年级 “诊断性 ”测试后，对该年级的 500 名考生的成绩进行统计分析，成绩的频率分布表及频率分布直方图如图所示，规定成绩不小于 125 分 为优秀 （ 1）若用分层抽样的方法从这 500 人中抽取 20 人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （ 2）在（ 1）中抽取的 20 名学生中，要随机抽取 2 名学生参加分析座谈会，记其中成绩为优秀的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 区间 人数 115， 120） 25 120， 125） a 125， 130） 175 130， 135） 150 135， 140） b 第 3 页（共 18 页） 17四棱锥 S ，底面 平行四边形，侧面 底面 知： 5， ， ， C，直线 平面 成角的正弦值为 C 的中点 （ 1）证明： （ 2）求二面角 O B 的大小 18已知函数 f（ x） =2x+ ） + （ 1）求 f（ x）图象的对称轴方程； （ 2）若存在实数 t 0， ，使得 t） 2=0 成立，求实数 s 的取值范围 19设数列 足： ， = n+1） 3n （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 的最大项的值 20设椭圆 + =1（ a b 0） （ 1）若 F， A 分别是椭圆的右焦点，右顶点， H 是直线 x= 与 x 轴的交点，设 =f（ e）（ e 为椭圆的离心率），求 f（ e）的最大值； （ 2）若点 P（ 椭圆上任意一点，从原点 O 作圆（ x 2+（ y 2= 的两条切线，且两条切线的斜率都存在，记为 值 21设 f（ x） =x， a R （ 1）若曲线 y=f（ x）在点 A（ 1， f（ 1）处的切线直线 2x y 10=0 平行，求 a 的值； （ 2）若函数 y=f（ x）为定义域上的增函数，求 a 的取值范围； （ 3）若 a= 1，求证： f（ x） + 0 第 4 页（共 18 页） 2016 年四川省凉山州高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1设集合 A= 2， 1， 0， 1， 2，集合 B=y=|y=x， x 1， AB=（ ） A 1， 2 B 2， 1 C 2， 1， 0 D 1， 2， 0 【考点】 交集及其运算 【分析】 由题设条件先求集合 B，再由交集的运算法则计算 AB 【解答】 解：设集合 A= 2， 1， 0， 1， 2，集合 B=y=|y=x， x 1=（ ， 0， AB= 2， 1， 0， 故选： C 2设 =1（ a， b R， i 为虚数单位），则 |a+值为（ ） A 2 B C 3 D 5 【考点】 复数求模 【分析】 问题转化为： a 5（ b+2） i=0，求出 a， b 的值即可 【解答】 解： =1（ a， b R， i 为虚数单位）， 则 a 2i=5+ a 5（ b+2） i=0， a=5， b= 2， |a+ = ， 故选： B 3在 ， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a=1， b=2， c= ，则 C=（ ） A 120 B 60 C 45 D 30 【考点】 余弦定理 【分析】 由已知利用余弦定理可求 合 C 的范围即可得解 【解答】 解：在 ， a=1， b=2， c= ， = = C （ 0， 180）， C=120 故选： A 4实数 a， b，则（ a+b）（ 1+a） 0，是 1 恒成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 5 页（共 18 页） C充要条 件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 1，即 0，化为 0（ a+b）（ 1+a） 0，即可判断出结论 【解答】 解： 1，即 0，化为 0（ a+b）（ 1+a） 0， （ a+b）（ 1+a） 0，是 1 恒成立的充要条件 故选； C 5若（ x 1） 100=+一切实数 x 恒成立，则 a3+值为（ ） A 0 B C C 2C D 2100 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式展开式定理，求出 值，再计 算 a3+值 【解答】 解： （ x 1） 100=+ ， = ， a3+ 2 故选： C 6执行如图所示的程序框图，则输出的 n 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果 【解答】 解：根据题意，模拟执行程序，可得 n=1， S=0 满足条件 S 100， S=3， n=2 满足条件 S 100， S=3+32， n=3 满足条件 S 100， S=3+32+33=39， n=4 满足条件 S 100， S=3+32+33+34=120， n=5 不满足条件 S 100，退出循环，输出 n 的值为 5 故选： C 第 6 页（共 18 页） 7如图所示是一个几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为 1 的正三角形，俯视图是两个边长 为 1 的正三角形拼成的菱形，则其体积为（ ） A B C D 1 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是由左右两个对称的三棱锥组成的根据已知数据即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由左右两个对称的三棱锥组成的 该几何体的体积 =2 = 故选： C 8设 P（ x， y）满足 ，点 A（ 2， 0）， B（ 0， 3），若 = + ， O 是坐标原点，则 +的取值范围是（ ） A 2， 4 B ， C ， 2 D 1， 2 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 可以作出不等式组所表示的平面区域，而由 可以得到 ，从而得到 ，可设 ，可变成 ，从而该方程表示斜率为的一族平行直线，直线在 y 轴上的截距最小时 z 最小，截距最大时 z 最大，从而结合图形便可求出 z 的最大、最小值，即得出 +的取值范围 【解答】 解：如图，不等式组 所表示的区域为图中阴影部分： 第 7 页（共 18 页） 由 得，（ x， y） =（ 2， 0） +（ 0， 3）； ； ； 设 ，则 ，表示斜率为 的一族平行直线， 3z 为直线在 y 轴上的截距； 由图形看出，当直线过 C（ 1， 1）时，截距最小，即 z 最小； 此时 ， z 的最小值为 ； 当直线过 D（ 3， 1）时，截距最大，即 z 最大； 此时 ， z 的最大值为 ； +的取值范围为 故选： B 9点 P 在直线 3x+4y 10=0 上，过点 P 作圆 x2+ 的切线，切点为 M，则 （ O 是坐标原点）的最小值是（ ） A 2 B C D 3 【考点】 平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系 【分析】 作出图形，可得到 ，从而问题转化为求 最小值，而 O 到直线 3x+4y 10=0 的距离便是 最小值，根据点到直线的距离公式便可求出 而得出 的最小值 【解答】 解：如图， 第 8 页（共 18 页） = =1； 最小值为 O 到直线 3x+4y 10=0 的距离： ； 的最小值为 3 故选： D 10设 f（ x） =|1 有三个不同的零点，则 a 的取值范围是（ ） A（ 0， e） B（ 0， C（ 0， ） D（ 0， ） 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理 【分析】 由 f（ x） =|1 有三个不同的零点，可得 =|三个不同的零点，画出图形，数形结合得答案 【解答】 解：如图，由 f（ x） =|1 有三个不同的零点，可得 =|三个不同的零点， 画出函数 y=|图象， 直线 y= 过定点（ 0， 1）， 当 x 1 时，设过（ 0， 1）的直线与 y=切点为（ 由 y= y= ， y = ， 切线方程为 ， 把（ 0， 1）代入得： 1，即 x0=e ， 即直线 y= 的斜率为 a= 第 9 页（共 18 页） 则使 f（ x） =|1 有三个不同的零点的 a 的取值范围是（ 0， ） 故选： C 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11若双曲线 =1（ b 0）的一条渐近线为 x+ y=0，则离心率 e= 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，由条件解得 b= ，求得 c，再由离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 =1（ b 0）的渐近线 方程为 y= x， 由渐近线方程 x+ y=0，即 y= x， 可得 = ，解得 b= ， c= = = ， 可得 e= = 故答案为： 12已知球的内接正方体的棱长为 1，则该球的表面积为 3 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由球的内接正方体棱长为 1，先求内接正方体的对角线长，就是球的直径，然后求出球的表面积 【解答】 解： 球的内接正方体的棱长是 1， 它的对角线长为 ， 球的半径 R= ， 这个球的表面积 S=4（ ） 2=3 第 10 页（共 18 页） 故答案为： 3 13两人坐在一排有 6 个椅子的位置上，恰好有 2 个连续的空位的坐法数为 6 【考点】 计数原理的应用 【分析】 假设这 6 个椅子的顺序为， 1， 2， 3， 4， 5， 6，分类讨论即可 【解答】 解：假设这 6 个椅子的顺序为， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 若 1， 2 连续，则 3， 5 必须有人，故有 2 种， 若 3， 4 连续，则 1， 5 必须有人，故有 2 种， 若 5， 6 连续，则 2， 4 必须有人，故有 2 种， 故共有 2+2+2=6 种， 故答为： 6 14设 =（ =（ = ，则 在 方向上的投影为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 求出 和 ，代入向量的投影公式计算 【解答】 解： = ） = | |=| |=1， 在 方向上的投影为 = 故答案为： 15设 F（ a， b） = ，有关 F（ a， b）有以下四个命题： R，使得 F（ 0； 若 a， b， c R，则 F（ a， b） +F（ b， c） F（ c， a）； 不等式 F（ x， 2） F（ 1 x， 1）的解集是 1， +）； 若对任意实数 x， mF（ x， 2） +F（ x， 2） 2m+6 恒成立，则 m 的取值范围是 1， +） 则所有正确命题的序号是 【考点】 分段函数的应用 【分析】 函数实际为 a b 的绝对值的 2 倍，根据绝对值定理和性质进行判断即可； 用了恒成立问题的转换，只需求出左侧的最小值即可 【解答】 解： F（ a， b） = ， F（ a， b） 0，故 错误； 根据绝对值不等式定理可知正确； 根据绝对值不等式的性质可转化为（ x 2） 2 得：解集是 1， +），故正确； 第 11 页（共 18 页） 根据绝对值不等式定理可得 4 ，解得 m 的取值范围是（ 1， +），故错误 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 75 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16某校在一次高三年级 “诊断性 ”测试后，对该年级的 500 名考生的成绩进行统计分析， 成绩的频率分布表及频率分布直方图如图所示，规定成绩不小于 125 分为优秀 （ 1）若用分层抽样的方法从这 500 人中抽取 20 人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （ 2）在（ 1）中抽取的 20 名学生中，要随机抽取 2 名学生参加分析座谈会，记其中成绩为优秀的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 区间 人数 115， 120） 25 120， 125） a 125， 130） 175 130， 135） 150 135， 140） b 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由频率分布直方图求出成绩不小于 125 分的频率，由此能求出成绩为优秀的学生人数 （ 2）由已知得 X 的可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图得成绩不小于 125 分的频率为： 1（ 5= 用分层抽样的方法从这 500 人中抽取 20 人的成绩进行分析， 其中成绩为优秀的学生人数为： 20 5 （ 2）由已知得 X 的可能取值为 0， 1， 2， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 第 12 页（共 18 页） P = 17四棱锥 S ，底面 平行四边形，侧面 底面 知： 5， ， ， C，直线 平面 成角的正弦值为 C 的中点 （ 1）证明： （ 2）求二面角 O B 的大小 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）连结 C，得 余弦定理求出 据勾股定理的逆定理可证 是 平面 出 （ 2）由侧面 底面 平面 棱锥的高，由勾股定理计算 于 求出 O 为原点， 在直线分别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出，二面角 O B 的大小 【解答】 证明：（ 1）连结 C， O 是 点， ， ， 5， = ， 又 面 面 O=O， 平面 面 解：（ 2） 平面 平面 成角， 直线 平面 成角的正弦值为 = ， = ， D， 以 O 为原点， 在直线分别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， A（ ， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， S（ 0， 0， 1）， 第 13 页（共 18 页） =（ ， 0， 1）， =（ 0， ， 1）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， ）， 平面 一个法向量 =（ 0， 1， 0）， = = ， 二面角 O B 的大小为 18已知函数 f（ x） =2x+ ） + （ 1）求 f（ x）图象的对称轴方程； （ 2）若存在实数 t 0， ，使得 t） 2=0 成立，求实数 s 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将 f（ x）化成 后根据余弦函数的对称性求出对称 轴方程即可； （ 2）根据 t 的范围，求出 2t 的范围，再结合余弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出t 的范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2x+ ） +2（ + 由 2x=： x= ，（ k z）， f（ x）图象的对称轴方程是： x= ，（ k z）， （ 2）当 t 0， 时， 2t 0， ， 第 14 页（共 18 页） 2t） ， 1， 从而 f（ t） ， ， 由 t） 2=0 可知： s 或 s 19设数列 足： ， = n+1） 3n （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 的最大项的值 【考点】 数列递推式；数列的函数特性 【分析】 （ 1）由 = n+1） 3n，可得 n+1） 3n利用 “累加求和 ”、 “错位相减法 ”即可得出 （ 2） =（ 2n 1） 0， = ，对 n 分类讨论，即可得出单调性 【解答】 解：（ 1） = n+1） 3n， n+1） 3n 当 n 2 时， 1） +（ 1 2） +（ +n3n 1+（ n 1） 3n 2+2 3， 则 3an=n3n+（ n 1） 3n 1+2 32， 2 3+32+33+3n 1 n3n= n3n= + ， 当 n=1 时也成立， （ 2） =（ 2n 1） 0， = = ， 由于（ 6n+3）（ 8n 4） =7 2n， 可得 n=1， 2， 3 时， n 4 时， 数列 的最大项为 得 = 第 15 页（共 18 页） 20设椭圆 + =1（ a b 0） （ 1）若 F， A 分别是椭圆的右焦点，右顶点， H 是直线 x= 与 x 轴的交点，设 =f（ e）（ e 为椭圆的离心率）， 求 f（ e）的最大值； （ 2）若点 P（ 椭圆上任意一点，从原点 O 作圆（ x 2+（ y 2= 的两条切线，且两条切线的斜率都存在，记为 值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意可得 H（ ， 0）， O（ 0， 0）， F（ c， 0）， A（ a， 0）求得 |a c，| ，运用离心率公式可得 f（ e） =e 方即可得到所求最大值； （ 2）将 P 的坐标代入椭圆，可得 （ ，再由直线 y=圆相切，可得d=r，化简整理可得 k 的二次方程，运用韦达定理，可得 入 ，化简整理即可得到定值 【解答】 解：（ 1）由题设， H 点的坐标为 H（ ， 0）， O（ 0， 0）， F（ c， 0）， A（ a， 0） |a c， | ， f（ e） = = = =e （ e） =（ e ） 2+ ， 当 e= 时， f（ e）取得最大值，且为 ； （ 2）由点 P（ 椭圆上任意一点， 可得 + =1，