高考数学总复习 第2单元 第5节 函数的奇偶性和周期性课件 文 苏教版.ppt

第五节函数的奇偶性和周期性 基础梳理 1 定义 一般地 设函数y f x 的定义域为a 如果对于任意x a 都有 则称函数y f x 为奇函数 如果对于任意x a 都有 则称函数y f x 为偶函数 2 图象的对称性质 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象 3 一般地 对于函数f x 如果存在一个非零的常数t 使得定义域内的每一个x值 都满足 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数 叫做这个函数的周期 所有周期中存在最小的一个正数叫做f x 的最小正周期 f x f x f x f x 关于原点对称 关于y轴对称 t f x t f x 4 奇 偶 函数有关定义的等价形式 f x f x f x f x f x 0 5 奇 偶 函数有关的结论 1 若一个奇函数f x 在x 0处有意义 则f 0 2 若函数y f x 的定义域关于原点对称 则f x f x 为 函数 f x f x 为 函数 f x f x 为 函数 0 1 0 偶 奇 偶 6 函数周期性的相关结论 1 设a是非零常数 若对f x 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 f x a f x f x a f x a f x a f x a 则f x 是周期函数 2 a 是它的一个周期 以上各式中分母均不为零 2 函数图象的对称性 若f x a f b x a b为常数 在定义域上恒成立 则f x 的图象关于直线 对称 特别地 若f a x f a x 则函数f x 关于直线 对称 时 f x 为偶函数 a 0 x a 基础达标 1 必修1p39例6改编 有以下函数 f x x2 1 f x x3 2x f x 2 x 1 f x x 1 2 f x x4 x 2 2 f x 其中 奇函数有 偶函数有 填序号 解析 验证f x 与f x 的关系 可知 为奇函数 为偶函数 的定义域不关于原点对称 不满足奇 偶函数定义 故 为非奇非偶函数 2 2010泰州调研 设f x 是定义在r上的奇函数 且f 3 f 2 2 则f 2 f 3 3 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b 解析 f x 为r上的奇函数 f 2 f 3 f 2 f 3 f 2 f 3 2 2 解析 定义域关于原点对称 故a 1 2a 0 则a 又f x 为偶函数 故b 0 a b 4 下面四个命题 偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数 又是偶函数的函数一定是f x 0 x r 其中正确的命题序号为 4 解析 错误 比如f x 错误 比如f x 错误 如f x 0 x 1 1 5 已知f x 在r上是奇函数 且满足f x 4 f x 当x 0 2 时 f x 2x2 则f 2011 解析 f x 4 f x f x 的最小正周期为4 又f x 为奇函数 f 2011 f 1 2012 f 1 f 1 2 2 经典例题 题型一判断函数的奇偶性 例1 判断下列各函数的奇偶性 分析 1 考虑定义域 2 利用定义域先化简函数 3 分段讨论 解 1 由 0 得定义域为 1 1 不关于原点对称 f x 为非奇非偶函数 2 由得定义域为 1 0 0 1 这时 f x 为偶函数 3 当x1 f x x 2 x 2 f x 当x 1时 f x x 2 x 1 f x x 2 f x 当 1 x 1时 f x 0 又 1 x 1 f x f x 0 对定义域内的每个x都有f x f x f x 是偶函数 判断下列函数的奇偶性 变式1 1 3 f x x2 x a 2 解析 1 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 对任意x 0 0 都有f x f x 故f x 为偶函数 2 由得x 或x 函数f x 的定义域为 又 对任意的x f x 0 f x f x f x f x 既是奇函数又是偶函数 3 函数f x 的定义域为r 当a 0时 f x f x f x 是偶函数 当a 0时 f a a2 2 f a a2 2 a 2 f a f a 且f a f a 2 a2 a 2 f x 是非奇非偶函数 题型二奇偶性的应用 例2 1 已知函数f x a b c z 是奇函数 又f 1 2 f 2 f 2x 求x的取值范围 分析 第 1 小题关键是f x f x 恒成立的应用 即对定义域中任何x都成立 所以 bx c bx c恒成立 可得c 0 第 2 小题关键是利用偶函数的性质f x f x 将f 3x 1 f 2x 转化为f 3x 1 f 2x 这样就避免了讨论 解 1 由f x f x 得 bx c bx c c 0 又f 1 2 得a 1 2b 而f 2 3 得 3 解得 1 a 2 又a z a 0或a 1 若a 0 则b z 应舍去 若a 1 则b 1 z a 1 b 1 c 0 2 f x 是偶函数且在 0 上是增函数 由f 3x 1 f 2x 得f 3x 1 f 2x 因而有 3x 1 2x 化简得5x2 6x 1 0 解得x1 则x的取值范围为 1 已知函数f x 对一切x y r 都有f x y f x f y 1 试判断f x 的奇偶性 2 若f 3 a 用a表示f 12 变式2 1 解析 1 显然f x 的定义域是r 关于原点对称 函数f x 对一切x y r都有f x y f x f y 令x y 0 得f 0 2f 0 f 0 0 再令y x 得f 0 f x f x f x f x f x 为奇函数 2 f 3 a且f x 为奇函数 f 3 f 3 a 又 f x y f x f y x y r f 12 f 6 6 f 6 f 6 2f 6 2f 3 3 4f 3 4a 例3 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2011 题型三函数周期性及其应用 分析 技巧在于通过换元进行转化 求函数f x 的解析式要利用函数的周期性进行转化 转化到已知区间上 因为只有此时才有函数解析式 解 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 当x 2 0 时 x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函数 f x f x 2x x2 f x x2 2x 又当x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期为4的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 从而求得x 2 4 时 f x x2 6x 8 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2011 0 变式3 1 已知f x 是定义在r上的奇函数 且满足f x 2 f x 当0 x 1时 f x x 求使f x 的所有x的值 解析 f x 4 f x 2 f x f x 的周期为4 当0 x 1时 f x x f 1 f 1 当x 4k 1 k z时 f x 例 判断函数f x 的奇偶性 错解 当x 0时 f x x 2 2 x 3 x2 2x 3 f x 当x 0时 f x x 2 2 x 3 x2 2x 3 f x 函数f x 是奇函数 正解 f x 既不是奇函数也不是偶函数 易错警示 链接高考 2010江苏 设f x x ex a e x x r 是偶函数 则a 知识准备 1 理解函数奇偶性的定义 2 会用赋值法求解函数问题 解析 方法一 由f x f x x e x aex x ex a e x a 1 方法二 f x 为r上的偶函数 可以赋特殊值 故f 1 f 1 a 1 方法三 f x x ex a e x 是由两个函数h x x与g x ex ae x相乘而得 又h x x为奇函数 且f x 为偶函数 则g x 在r上为奇函数 故g 0 0 a 1 1 2 2010