自适应滤波器设计.doc

青海民族大学 毕 业 论 文（设计）论文题目： 自适应滤波器设计 学生姓名： 学号： 指导教师： 职称： 院 系： 专业班级： 年 月 日 19 独创性声明本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的理论学习、实习实践以及研究所取得的成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含获得 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一起探讨、工作的同学对本论文所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。毕业论文作者签名： 签字日期： 年 月 日毕业论文版权使用授权书本毕业论文作者完全了解 青海民族大学 有关保留、使用毕业论文的规定。特授权青海民族大学可以将毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。论文作者签名： 签字日期： 年 月 日 指导教师签名： 签字日期： 年 月 日 摘 要 本文介绍了传统滤波器和自适应滤波器基本工作原理和性能，以及滤波技术的现状和发展前景。然后系统阐述了自适应滤波器的基本结构模型，接着在此基础上引出LMS算法（Least mean square ），中文是最小均方算法。LMS算法是自适应滤波器中常用的一种算法，与维纳算法不同的是，其系统的系数随输入序列而改变。在这我运用matlab设计了一个LMS自适应滤波器，接着验证分析了自适应滤波器的性能，最后分析了影响自适应滤波结果的因素，通过适当取值来改善滤波结果。关键字： 自适应滤波器，LMS算法，设计仿真，分析性能 Abstract This article describes the basic working principle and performance of traditional filters and adaptive filters,and filter technology status and development prospects.Systematically expounded the basic structure of the adaptive filter model leads to theLMS algorithm (Least mean square) and then on this basis, the Chinese is the least mean square algorithm. LMS algorithm is commonly used in adaptive filter algorithm,the Wiener algorithm, the coefficients of its system with the input sequence. Use of matlab I designed a LMS adaptive filter, and then verify the performance of the adaptive filter, the last of the factors affecting the results of adaptive filtering to improve the filtering results through the appropriate value.Keywords: Adaptive filter, LMS algorithm, design and simulation, performance analysis 目 录1 绪论11. 1 引言11. 2 滤波器的研究现状11. 3 应用领域32 自适应滤波器的理论基础 32. 1 自适应滤波器的原理32. 2 基本自适应滤波器的模块结构 43 LMS滤波原理及算法 5 3.1 最陡下降算法的原理 5 3.2 从最陡下降算法导出LMS算法 8 3.3 LMS算法公式及核心 94 Matlab 实验仿真 114.1.实验原理 114.2.实验程序 124.3.实验结果及分析 13（1） 收敛因子u对系统仿真结果的影响 13（2） 级数N对系统仿真结果的影响 16（3） 适当取值改善滤波结果 175 总结 186 参考文献 197 致谢20 1. 绪论1.1 引言滤波器是进行信号处理的一种装置，由于传统滤波技术进行信号处理需要知道有用信号和干扰噪声的统计特性，而在实际应用中，却没有充足的信息来设计固定系数的数字滤波器，或者设计规则会在滤波器正常运行时改变，因此我们需要研究自适应滤波器。根据环境的改变，使用自适应算法来改变滤波器的参数和结构。这样的滤波器就称之为自适应滤波器。自适应滤波器的系数是由自适应算法更新的时变系数。即其系数自动连续地适应于给定信号，以获得期望响应。自适应滤波器的最重要的特征就在于它能够在未知环境中有效工作，并能够跟踪输入信号的时变特征。 由Widrow B等提出的自适应滤波理论，是在维纳滤波、卡尔曼滤波等线性滤波基础上发展起来的一种最佳滤波方法。由于它具有更强的适应性和更优的滤波性能，从而广泛应用于通信、系统辨识、回波消除、自适应谱线增强、自适应信道均衡、语音线性预测和自适应天线阵等诸多领域1。自适应滤波器最大的优点在于不需要知道信号和噪声的统计特性的先验知识就可以实现信号的最佳滤波处理。本文通过一个具体例子和结果论证了自适应滤波器的滤波效果，并指出收敛因子u和阶数N对LMS自适应滤波器滤波结果的影响。1.2 滤波器的研究现状凡是有能力进行信号处理的装置都可以称为滤波器。在近代电信装备和各类控制系统中，滤波器应用极为广泛；在所有的电子部件中，使用最多，技术最复杂要算滤波器了。滤波器的优劣直接决定产品的优劣，所以，对滤波器的研究2和生产历来为各国所重视。 滤波器是一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的交流电。目前去噪的滤波技术可以分为两大类：传统滤波和现代滤波。传统滤波技术是建立在已知有用信号和干扰噪声的统计特性（自相关函数或功率谱）的基础上的噪声去除；现代滤波技术则是根据观测数据，即可对噪声进行有效滤除。早在20世纪40年代，就对平稳随机信号建立了维纳滤波理论。根据有用信号和干扰噪声的统计特性（自相关函数或功率谱），以线性最小均方误差（MSE）估计准则所设计的最佳滤波器，称为维纳滤波器。这种滤波器能最大程度的滤除干扰噪声，提取有用信号。但是，当输入信号的统计特性偏离设计条件，则它就不再是最佳的了，这在实际应用中受到了限制。到60年代初，由于空间技术的发展，出现了卡尔曼滤波理论，即利用状态变量模型对非平稳、多输入多输出随机序列作最优估计。卡尔曼滤波器既可以对平稳的和平稳的随机信号作线性最佳滤波，也可以作为非线性滤波。然而只有在对信号和噪声的统计特性已知的情况下，这两种滤波器才能获得最优解。在实际的应用中，往往无法得到这些统计特性的先验知识，或者统计特性是随时间变化的，因此，这两种滤波器就实现不了真正的最佳滤波。Widrow B.和Hoff于1967年提出的自适应滤波理论，可使在设计自适应滤波器时不需要事先知道关于输入信号和噪声的统计特性的知识，它能够在自己的工作过程中逐渐估计出所需的统计特性，并以此为依据自动调整自己的参数，以达到最佳滤波效果。一旦输入信号的统计特性发生变化，它又能够跟踪这种变化，自动调整参数，使滤波器性能重新达到最佳。自适应滤波器自动调节参数可以通过各种不同的递推算法来实现，由于它采用的是逼近的算法，使得实际估计值和理论值之间必然存在差距，也就造成了自适应滤波问题没有唯一的解。依照各种递推算法的特点，我们把它应用于不同的场合。现在广为应用的自适应滤波方法主要是基于以下几种基本理论，再融合递推算法导出来的：（1）基于维纳滤波理论的方法维纳滤波是在最小均方误差准则下通过求解维纳霍夫方程来解决线性最优滤波问题的。基于维纳滤波原理，我们利用相关的瞬时值通过在工作过程中的逐步调整参数逼近信号的统计特性，实现最优滤波。由此，我们得到一种最常用的算法最小均方算法，简称LMS算法。（2）基于卡尔曼滤波理论的方法 卡尔曼滤波是线性无偏最小方差滤波递推滤波，它能使滤波器工作在平稳的或非平稳的环境，得到最优解。利用卡尔曼滤波理论的递推求解法导出自适应滤波器更新权矢量得不同递推算法。比LMS算法有极快的收敛速率，可是计算复杂度也增大了，它需要计算卡尔曼矩阵。（3）基于最小二乘准则的方法维纳滤波和卡尔曼滤波推导的算法是基于统计概念的，而最小二乘估计算法是以最小误差平方和为优化目标的。根据滤波器的实现结构，有以下3种不同的最小二乘自适应滤波算法：自适应递归最小二乘法（RLS），自适应最小二乘格型算法，QR分解最小二乘算法。在一系列的自适应算法中，虽然基于后面2种基本理论的方法在收敛速率和稳定、坚韧性方面有着更好的性能，但是， 基于维纳滤波理论的LMS算法因其算法简单，而且能达到满意的性能，得到了青睐，成为了应用最广泛的自适应算法。1.3 应用领域滤波器是一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的交流电。您可以通过基本的滤波器积木块二阶通用滤波器传递函数，推导出最通用的滤波器类型：低通、带通、高通、陷波和椭圆型滤波器。自适应滤波器应用于通信领域的自动均衡、回波消除、天线阵波束形成，以及其他有关领域信号处理的参数识别、噪声消除、谱估计等方面。对于不同的应用，只是所加输入信号和期望信号不同，基本原理则是相同的。在近代电信装备和各类控制系统中，滤波器应用极为广泛；在所有的电子部件中，使用最多，技术最复杂要算滤波器了。滤波器的优劣直接决定产品的优劣，所以，对滤波器的研究2和生产历来为各国所重视。 2. 自适应滤波器理论基础2.1 自适应滤波器的原理在实际应用中常常会遇到这样的情况：随机信号的统计特性是未知的，或者信号的统计特性是缓慢的变化着的（非平稳信号），这就促使人们去研究一类特殊的滤波器，这类滤波器具有以下特点：当输入过程的统计特性未知时，或者输入过程的统计特性变化时，能够相应的调整自身的参数，以满足某种准则的要求，由于这类滤波器能变动自身的参数以“适应”输入过程统计特性的估计或变化，因此，就把这类滤波器称为自适应滤波器。 自适应滤波原理图3，如图2.1所示。 图2.1 自适应滤波原理图在自适应滤波器中，参数可调的数字滤波器一般为FIR数字滤波器，IIR数字滤波器或格型数字滤波器4。自适应滤波分2个过程。第一，输入信号像x(n)通过参数可调的数字滤波器后得输出信号y(n)，y(n)与参考信号d(n)进行比较得误差信号e(n)；第二，通过一种自适应算法和x(n)和e(n)的值来调节参数可调的数字滤波器的参数，即加权系数，使之达到最佳滤波效果。 2.2基本自适应滤波器的模块结构自适应滤波器通常由两部分构成5，其一是滤波子系统，根据它所要处理的功能而往往有不同的结构形式。另一是自适应算法部分，用来调整滤波子系统结构的参数，或滤波系数。在自适应调整滤波系数的过程中，有不同的准则和算法。算法是指调整自适应滤波系数的步骤，以达到在所描述的准则下的误差最小化。自适应滤波器含有两个过程，即自适应过程和滤波过程。前一过程的基本目标是调节滤波系数，使得有意义的目标函数或代价函数最小化，滤波器输出信号逐步逼近所期望的参考信号，由两者之间的误差信号驱动某种算法对滤波系数进行调整，使得滤波器处于最佳工作状态以实现滤波过程。所以自适应过程是一个闭合的反馈环，算法决定了这个闭合环路的自适应过程所需要的时间。但是，由于目标函数是输入信号,参考信号及输出信号的函数，即,因此目标函数必须具有以下两个性质：（1） 非负性 ( 2.1 )（2） 最佳性 ( 2.2 )在自适应过程中，自适应算法逐步使目标函数最小化，最终使逼近于，滤波参数或权系数收敛于，这里是自适应滤波系数的最优解即维纳解。因此，自适应过程也是自适应滤波器的最佳线性估计的过程，既要估计滤波器能实现期望信号的整个过程，又要估计滤波权系数以进行有利于主要目标方向的调整。这些估计过程是以连续的时变形式进行的，这就是自适应滤波器需要有的自适应收敛过程。如何缩短自适应收敛过程所需要的收敛时间，这个与算法和结构有关的问题时人们一直重视研究的问题之一6。当然滤波子系统在整个自适应滤波器的设计中也占有很重要的地位，因为它对最终的滤波性能有很大的影响。本文要研究的是基于matlab软件7设计的LMS算法自适应滤波器，下面我们需要介绍一下LMS滤波原理。 3. LMS滤波原理及算法3.1 最陡下降算法的原理首先考虑如下图所示的横向FIR自适应滤波器： 图3.1 横向自适应滤波器结构示意图它的输入序列以向量的形式记为5： ( 3.1 )假设取自一均值为零，自相关矩阵为的广义平稳随机过程，而滤波器的系数矢量（加权矢量）为： ( 3.2 )以上二式中括号内的为时间指数，因此，和分别表示时刻的滤波器输入序列和加权值，滤波器的输出为： ( 3.3 )式中M为滤波器的长度。图3.1 中的称为“期望理想响应信号”，有时也可称为“训练信号”，它决定了设计最佳滤波器加权向量的取值方向。在实际应用中，通常用一路参考信号来作为期望响应信号。是滤波器输出相对于的误差，即 （ 3.4 )显然，自适应滤波控制机理是用误差序列按照某种准则和算法对其系数进行调节的，最终使自适应滤波的目标（代价）函数最小化，达到最佳滤波状态。按照均方误差（MSE）准则所定义得目标函数是 ( 3.5 )将式（3.4）代入式（3.5），目标函数可以化为 ( 3.6 )当滤波系数固定时，目标函数又可以写为 ( 3.7 )其中，是长度为N的期望信号与输入信号的互相关矢量，是NN的输入向量得自相关矩阵。由式（3.7）可见，自适应滤波器的目标函数是延迟线抽头系数（加权或滤波系数）的二次函数。当矩阵R和矢量P已知时，可以由权矢量直接求其解。现在我们将式（3.7）对W求导，并令其等于零，同时假设R是非奇异的，由此可以得到目标函数最小的最佳滤波系数为 ( 3.8 )这个解就是维纳解，即最佳滤波系数值。因为均方误差函数是滤波系数的二次方程，由此形成一个形如图（2.2）的超抛物面，当滤波器工作在平稳随机过程的环境下，这个误差性能曲面就具有固定边缘的恒定形状。自适应滤波系数的起始值是位于性能曲面上的某一点，结果自适应调节过程，使对应于滤波系数变化的点移动，朝碗底最小点方向移动，最终到达碗底的最小点，实现了最佳维纳滤波。最陡下降法就是实现上述搜索最佳值的一种优化技术，它利用梯度信息分析自适应滤波性能和追踪最佳滤波状态。梯度矢量是由均方误差的梯度来定义的，在多维超抛物面上任意一点的梯度矢量是对应于均方误差对滤波系数的一阶导数，由起始点变化到下一点的滤波系数变化量正好是梯度矢量的负数。换句话说，自适应过程是在梯度矢量的负方向接连的校正滤波系数的，即在误差性能曲面的最陡下降方向移动和逐步校正滤波系数，最终到达均方误差为最小的碗底最小点，获得最佳滤波或准优工作状态。令代表k时刻的维梯度矢量，这里M等于滤波器滤波系数的数目，为自适应滤波器在k时刻的滤波系数和权矢量。按照最陡下降法调节滤波系数，则在k+1时刻的滤波系数或权矢量可以用下列简单递归关系来计算： ( 3.9 )式中，为自适应收敛系数或步长，是一个正实常数。根据梯度矢量定义，可写成 ( 3.10 )当滤波系数为最佳值，即是维纳解时，梯度矢量应等于零。将式（3.7）代入（3.10）得到 ( 3.11 )因此，在最陡下降算法中，当相关矩阵R和互相关矢量P已知时，由滤波系数矢量可以计算梯度矢量，把式（3.11）代入（3.9）中，可以计算出滤波系数的更新值( 3.12 )式（3.12）所描述的即是最陡下降算法自适应迭代的基本公式，且由该式我们可以不用再直接求R的逆。（3.12）式所示的迭代算法是一个反馈模型，因此算法的收敛性（稳定性）就非常重要。3.2 从最陡下降法导出LMS算法最陡下降算法不需要知道误差特性曲面的先验知识，其算法就可以收敛到最佳维纳解，且与起始条件无关。但是最陡下降算法的主要限制是它需要准确测得每次迭代的梯度矢量，这妨碍了它的应用。为了减少计算复杂度和缩短自适应收敛时间，1960年，美国斯坦福大学的Widrow等提出了最小均方（LMS）算法，这是一种用瞬时值估计梯度矢量的方法，即( 3.13 ) 可见，这种瞬时估计法是无偏的，因为它的期望值确实等于式（3.10）的梯度矢量。所以，按照自适应滤波器滤波系数矢量的变化与梯度矢量估计的方向之间的关系，可以写出LMS算法的公式如下：( 3.14 )3.3 LMS算法公式及核心自适应滤波器，其权系数可以根据自适应算法来不断修改，使得系统中的冲激响应满足给定的性能。例如语音信号的ADPCM编码8，采用线性预测自适应就可以实现误差信号与输入信号的线性无关，并由此作为依据，不断调节滤波器的权系数，最终使得误差信号趋近于0，使得该滤波器完全适应该输入信号；同样，只要输入信号出现变换，自适应滤波器根据误差信号的变化再次调整其权系数，从而跟上信号的变化。自适应滤波器设计的算法采用的是自适应算法，即LMS算法。LMS算法是通过对未知系统传递函数的建模，识别该未知系统，并对该系统进行噪声滤波。 算法最核心的思想是用平方误差代替均方误差5。因此该算法简化了计算量。在自适应噪音抵消系统中,如自适应滤波器参数选择不当,就达不到应有的滤波效果,而且还可能得到适得其反的效果。因此针对不同的信号和噪声应选择相应的参数 9。可见，参数的选择对滤波效果是至关重要的。下面仅以L阶加权自适应横向滤波器为例，推导LMS算法的公式。L阶加权自适应横向滤波器，如图3.2所示。 图3.2 L阶加权自适应横向滤波器LMS算法公式推导10：设; ；其中x(k)为输入信号，w(k)为加权系数。误差公式： （3.15） 公式（3.15）中为参考信号，为输出信号。误差信号均方值： （3.16） 由公式（3.15）和公式（3.16）得：均方误差性能曲面的梯度： （3.17） 而最陡下降法迭代计算全矢量公式： （3.18） 公式（3.18）中为控制稳定性和收敛速度的参数。由公式（3.17）和公式（3.18）得： （3.19） 图3.3： 基本LMS算法的实现流程图公式（3.19）说明了LMS算法的核心是用每次迭代的粗略估计值代替了实际的精确值，这样大大简化了计算量，但是不可否认，加权系数不可能准确的沿着理想的最陡下降路径来调整自身的参数，而加权系数与有着密切的关系。因此，适当的选择自适应滤波器性能参数显得格外重要。 4. matlab实验仿真4.1 实验原理LMS算法是自适应滤波器中常用的一种算法，与维纳算法不同的是，其系统的系数随输入序列而改变。维纳算法中截取输入序列自相关函数的一段构造系统的最佳系数。而LMS算法则是对初始化的滤波器系数依据最小均方误差准则进行不断修正来实现的。因此，理论上讲LMS算法的性能在同等条件下要优于维纳算法，但是LMS算法是在一个初始化值得基础上进行逐步调整得到的，因此，在系统进入稳定之前有一个调整的时间，这个时间受到算法步长因子u的控制，在一定值范围内，增大u会减小调整时间，但超过这个值范围时系统不再收敛，u的最大取值为R的迹。权系数更新公式为：Wi+1=Wi+2ueiXi依据上述算式，制定LMS自适应滤波器设计程序。（1） 设定数长，由于自适应滤波器有一个调整时间，因此序列的长度length必须足够长，至少要大于滤波器的激励时间！否则滤波器输出都是无效数据，滤波器的设计也没有意义！（2） 设计滤波器的初始化权系数W（0）=0，收敛因子u；（3） 设计输入信号，亦是无失真的期望信号。由于滤波器的权系数是依据输入序列来更新的，当输入序列未达到X（N）时，可能会出现部分存储器中没有数值或者造成滤波器输出误差只有longth- N个，系数更新达不到要求，因此要对输入前的存储器进行赋零初始化。（4） 输入噪声信号，在期望信号上叠加噪声信号。（5） 计算输入序列经过滤波器后的实际输出值： y(n)=WT(n)*X(n); （6）计算估计误差e(n)=d(n)-y(n);（7）计算n+1阶的滤波器系数Wn+1=Wn+2*u*e(n)*X(n);（8）设计绘图程序，画出期望信号、加噪输入信号、滤波器输出信号、误差信号的变化。 4.2 matlab程序clearlength=1000*16; N=100; u=0.00001; t=0:2*pi/ (length-1):2*pi;d=sin(2*pi*t)+sin(8*pi*t)/2; for n=1:100 %假设信号输入以前，系统存储器中的值全为0 d(n)=0; endnoise=sqrt(0.04)*randn(1, length); x=d+noise; w=zeros(N,1); %初始化滤波器的权系数 for n=1: 15900 y(n)= x(n:n+N-1)*w; %输出序列在循环体内部实现，表明其自适应特性 e(n)=d(n)-y(n); w=w+2*u*e(n)*x(n:n+N-1); %权系数更新 end %绘图程序subplot(4,1,1)plot(d)title(期望信号)subplot(4,1,2)plot(x,r)title(加噪输入信号)subplot(4,1,3)plot(y)title(滤波器输出)hold onsubplot(4,1,4)plot(e,g)title(误差信号变化)4.3实验结果及分析 （1）收敛因子u对系统仿真结果的影响图4.1为信号长度是1000*16，滤波器阶数N=100，收敛因子u=0.00001时，自适应滤波器的仿真结果。我们可以看出这时候的滤波器输出信号中，前面一段时间的信号误差较大，这是因为u取值相对较小，滤波器参数还没有调整到最佳，所以误差信号收敛速度很慢，滤波器输出信号的调整时间也很长。 之后我们来比较一下当信号长度不变，滤波器阶数不变，收敛银子u分别变化成0.00001，0.001，0.01和0.1的仿真结果。 图4.1 N=100，u=0.00001 图4.2 N=100，u=0.001 图4.3 N=100，u=0.01 图4.4 N=100，u=0.1由上面4种不同的仿真结果可看出u取值不同，滤波结果的区别。当u=0.00001时，图4.1中滤波器输出序列的开始部分有一个很长的调整时间，而且误差信号的收敛速度很慢，在整个输入讯列中都未完成调整。当u=0.001时，图4.2与图4.1相比，滤波效果得到了明显的改进，误差信号显示收敛情况迅速，但是输出信号却没有图1的平滑。当u=0.01是，图4.3相对于图4.2,图4.1，滤波效果更好，误差信号显示的收敛情况更加迅速，但是输出信号也没有其它两种情况的平滑。当u=0.1时，由图4.4可以看出系统无法实现收敛，这是因为收敛因子u的最大取值超过矩阵R的迹。实验结果表明：选择不同的收敛因子，则会得到不同的滤波效果。通过实验数据观察得出：u偏小时,系统比较稳定,输出信号变化小，失调也小,但自适应过程却相应加长，误差信号的收敛速度很慢；偏大时,自适应时间越短，过程越快, 误差信号收敛速度越快，但同时它引起的失调也越大,导致滤波结果越差；当大于某个值时, 系统输出混乱，无法实现收敛。（2） 阶数N对系统仿真结果的影响 图4.5 N=100，u=0.001 图4.6 N=50，u=0.001 图4.7 N=10，u=0.001结果分析： 对比图4.5，图4.6，图4.7，可以看出，当阶数N取值越少，滤波效果越差，误差信号越粗糙，其信号中所含杂波成分较大。而随着滤波器阶数的提高，滤波器效果会得到改善，但阶数N不可大于100，否则仿真系统会报错，仿真失败。（3） 适当取值改善滤波结果在满足收敛速度要求的条件下，适当的降低收敛因子，提高滤波器的阶数可以改善滤波器输出波的精确度，但减小收敛因子会使收敛速度减慢而且收敛时间较长，可能会在很长一段时间产生一个较大的均方误差。所以收敛速度和滤波效果之间存在一个矛盾，需要按需选择，两者取中可能会是最好的结果。其外提高滤波器的阶数也可以改善滤波效果，但阶数N的取值不能超过系统限定，可以通过提高存储空间来提高阶数N的最大取值范围。 5. 总结与展望本文首先介绍了自适应滤波器的研究现状，综述了自适