吉林省松原市扶余县第一中学高考数学一轮复习 立体几何总复习课件 理.ppt

2010届高考数学复习强化双基系列课件 58 立体几何总复习 角的问题 距离问题 平行问题 题问直垂 体积问题 题问体何几 角的问题 角的问题 预备知识 角的知识 正弦定理 s abc bcsina 余弦定理 a b c b c a cosa 直线与平面所成角 直线与平面所成角 平面与平面所成角 平面与平面所成角 异面直线所成的角 异面直线所成的角 空间的角 在正方体ac1中 求异面直线a1b和b1c所成的角 a1b和b1c所成的角为60 和a1b成角为60 的面对角线共有条 在正方体ac1中 求异面直线d1b和b1c所成的角 a b d c a1 b1 d1 c1 在正方体ac1中 m n分别是a1a和b1b的中点 求异面直线cm和d1n所成的角 m n p a b c m n 空间四边形p abc中 m n分别是pb ac的中点 pa bc 4 mn 3 求pa与bc所成的角 已知 两异面直线a b所成的角是50 p为空间中一定点 则过点p且与a b都成30 角的直线有条 a b p o 2 线面角 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 当直线与平面垂直时 直线与平面所成的角是90 当直线在平面内或与平面平行时 直线与平面所成的角是0 斜线与平面所成的角 0 90 直线与平面所成的角 0 90 异面直线所成的角 0 90 若斜线段ab的长度是它在平面 内的射影长的2倍 则ab与 所成的角为 60 最小角原理 c 斜线与平面所成的角 是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角 若直线l1与平面所成的角为60 则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角 最大的角为 90 60 o l1 若直线l1与平面所成的角为30 直线l2与l1所成的角为60 求直线l2与平面所成的角的范围 l1 如图 直线oa与平面 所成的角为 平面内一条直线oc与oa的射影ob所成的角为 设 aoc为 2 求证 cos 2 cos 1 cos 求直线与平面所成的角时 应注意的问题 1 先判断直线与平面的位置关系 2 当直线与平面斜交时 常采用以下步骤 作出或找出斜线上的点到平面的垂线 作出或找出斜线在平面上的射影 求出斜线段 射影 垂线段的长度 解此直角三角形 求出所成角的相应函数值 例题 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求a1b与平面a1b1cd所成的角 o s a c b o f e 如图 acb 90 s为平面abc外一点 sca scb 60 求sc与平面acb所成的角 a b c d f e a d f d a c g b e 正方形abcd边长为3 ae 2be cf 2df 沿ef将直角梯形aefd折起 使点a 的射影点g落在边bc上 求a e与平面abcd所成的角 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 o为下底面ac的中心 求a1o与平面bb1d1d所成的角 o o s a c b o f e 如图 sa sb sc是三条射线 bsc 60 sa上一点p到平面bsc的距离是3 p到sb sc的距离是5 求sa与平面bsc所成的角 p 正四面体p abc中 求侧棱pa与底面abc所成的角 p a b c d 二面角 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 1 垂线法 利用三垂线定理作出平面角 通过解直角三角形求角的大小 2 垂面法 通过做二面角的棱的垂面 两条交线所成的角即为平面角 3 射影法 若多边形的面积是s 它在一个平面上的射影图形面积是s 则二面角 的大小为cos s s 垂线法 垂面法 a b c d 射影法 a b c a m 已知 如图 abc的顶点a在平面m上的射影为点a abc的面积是s a bc的面积是s 设二面角a bc a 为 求证 cos s s 在正方体ac1中 求二面角d1 ac d的大小 过正方形abcd的顶点a引sa 底面abcd 并使平面sbc scd都与底面abcd成45度角 求二面角b sc d的大小 e 在正方体ac1中 e f分别是ab ad的中点 求二面角c1 ef c的大小 e f a b d c a1 b1 d1 c1 h abc中 ab bc sa 平面abc de垂直平分sc 又sa ab sb bc 求二面角e bd c的大小 s a b c e d 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小 e 三棱锥p abc中 pa 平面abc pa 3 ac 4 pb pc bc 1 求二面角p bc a的大小 3 4 h 2 求二面角a pc b的大小 cos 三棱锥p abc中 pa 平面abc pa 3 ac 4 pb pc bc 1 求二面角p bc a的大小 在正方体ac1中 e f分别是中点 求截面a1ecf和底面abcd所成的锐二面角的大小 e f e f 在正方体ac1中 e f分别是中点 求截面a1ecf和底面abcd所成的锐二面角的大小 四棱锥p abcd的底面是边长为4的正方形 pd 面abcd pd 6 m n是pb ab的中点 求二面角m dn c的平面角的正切值 平行问题 平行问题 直线和平面的位置关系 直线和平面的平行关系 平面和平面的平行关系 直线在平面内 直线和平面相交 直线和平面平行 线面位置关系 有无数个公共点 有且仅有一个公共点 没有公共点 a a a a a a 平行于同一平面的二直线的位置关系是 a 一定平行 b 平行或相交 c 相交 d 平行 相交 异面 d 1 点a是平面 外的一点 过a和平面 平行的直线有条 无数 2 点a是直线l外的一点 过a和直线l平行的平面有个 无数 3 过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有个 无数 4 过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有个 且仅有一 5 如果l1 l2 l1平行于平面 则l2平面 l1 或 6 如果两直线a b相交 a平行于平面 则b与平面 的位置关系是 a 相交或平行 过直线l外两点 作与直线l平行的平面 这样的平面 a 有无数个 c 只能作出一个 b 不能作出 d 以上都有可能 a 有无数个 c 只能作出一个 b 不能作出 d 以上都有可能 过直线l外两点 作与直线l平行的平面 这样的平面 a 有无数个 c 只能作出一个 b 不能作出 d 以上都有可能 d 过直线l外两点 作与直线l平行的平面 这样的平面 线面平行的判定 1 定义 直线与平面没有公共点 2 定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 线面平行判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 已知 a b a b 求证 a a b 1 a b确定平面 b 2 假设a与 不平行 则a与 有公共点p 则p b 3 这与已知a b矛盾 4 a 如图 空间四面体p abc m n分别是面pca和面pbc的重心 求证 mn 面bca p mn ef mn 面bca 线线平行 线面平行 如图 两个全等的正方形abcd和abef所在平面交于ab am fn求证 mn 面bce a b c d e f m n mn gh mn 面bce 线线平行 线面平行 a b c d e f m n afn bnh an nh fn bn an nh am mc mn ch mn 面bce 如图 两个全等的正方形abcd和abef所在平面交于ab am fn求证 mn 面bce 在正方体ac1中 e为dd1的中点 求证 db1 面a1c1e e db1 ef db1 面a1c1e 线线平行 线面平行 在正方体ac1中 o为平面add1a1的中心 求证 co 面a1c1b b1 o 1 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面无公共点 2 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线 3 如果一条直线与一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 则这条直线与交线平行 已知 a a b 求证 a b b b a a b a b 如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行 则另一条直线与这个平面也平行 a b c 如果一条直线和两个相交平面都平行 则这条直线与它们的交线平行 a l 已知 a a l 求证 a l a b a b o m n p 如图 a b是异面直线 o为ab的中点 过点o作平面 与两异面直线a b都平行mn交平面于点p 求证 mp pn 知识点回顾 一 两个平面平行的判定方法 二 两个平面平行的性质 一 两个平面平行的判定方法 1 两个平面没有公共点 2 一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 3 都垂直于同一条直线的两个平面 两个平面平行 二 两个平面平行的性质 4 一直线垂直于两个平行平面中的一个 则它也垂直于另一个平面 2 其中一个平面内的直线平行于另一个平面 3 两个平行平面同时和第三个平面相交 它们的交线平行 两个平面平行 5 夹在两个平行平面间的平行线段相等 1 两个平面没有公共点 判断下列命题是否正确 1 平行于同一直线的两平面平行 2 垂直于同一直线的两平面平行 3 与同一直线成等角的两平面平行 4 垂直于同一平面的两平面平行 5 若 则平面 内任一直线a 例 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求证 面ab1d1 面bdc1 证明 b1d1 ab1 b1 面ab1d1 面bdc1 线 线 线 面 面 面 证法2 a1c bd bd bc1 b a1c 面bdc1 面ab1d1 面bdc1 变形1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别为a1d1 a1b1 a1a的中点 求证 面efg 面bdc1 变形2 若o为bd上的点求证 oc1 面efg o 面 面 由上知面efg 面bdc1 线 面 oc1 面efg 证明 变形3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f m n分别为a1b1 a1d1 b1c1 c1d1的中点 求证 面aef 面bdmn 小结 线平行线 线平行面 面平行面 线面平行判定 线面平行性质 面面平行判定 面面平行性质 三种平行关系的转化 已知 四面体a bcd e f g分别为ab ac ad的中点 求证 面efg 面bcd 练习 垂直问题 垂直问题 线面垂直的判定与性质 面面垂直的判定与性质 线面垂直的判定方法 1 定义 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 则直线与平面垂直 2 判定定理1 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 3 判定定理2 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 则直线与平面垂直 线面垂直的性质 1 定义 如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 2 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 则这两条直线平行 填空 1 l m l m 2 n m m与n l m l n l 3 l m l m 4 l m l m 相交 p a b c 如图 ab是圆o的直径 c是异于a b的圆周上的任意一点 pa垂直于圆o所在的平面 1 bc 面pac p a b c 2 若ah pc 则ah 面pbc 如图 ab是圆o的直径 c是异于a b的圆周上的任意一点 pa垂直于圆o所在的平面 o 在正方体ac1中 o为下底面的中心 求证 ac 面d1b1bd o h 在正方体ac1中 o为下底面的中心 b1h d1o 求证 b1h 面d1ac 已知 l m 求证 l m m a b a c 已知 a b是异面直线 ab是他们的公垂线 a b c 求证 ab c b 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 如图 c为以ab为直径的圆周上一点 pa 面abc 找出图中互相垂直的平面 pa 面abc 面pac 面abc 面pab 面abc bc 面pac 面pbc 面pac 如果两个平面垂直 则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 求证 如果一个平面与另一个平面的垂线平行 则这两个平面互相垂直 求证 如果两个相交平面都与另一个平面垂直 则这两个平面的交线l垂直于另一个平面 l 求证 如果两个相交平面都与另一个平面垂直 则这两个平面的交线l垂直于另一个平面 l 四面体abcd中 面adc 面bcd 面abd 面bcd 设de是bc边上的高 求证 平面ade 面abc 面adc 面bcd 面abd 面bcd ad 面bcd ad bc de bc bc 面ade 面abc 面ade abc是直角三角形 acb 90 p为平面外一点 且pa pb pc 求证 平面pab 面abc 课堂练习 课堂练习 空间四面体abcd中 若ab bc ad cd e为ac的中点 则有 a 平面abd 面bcd b 平面bcd 面abc c 平面acd 面abc d 平面acd 面bde 如图 abcd是正方形 pa 面abcd 连接pb pc pd ac bd 问图中有几对互相垂直的平面 面pac 面abcd 面pab 面abcd 面pad 面abcd 面pad 面pab 面pad 面pcd 面pbc 面pab 面pbd 面pac 如图 三棱锥p abc中 面pbc 面abc pbc是边长为a的正三角形 acb 90 bac 30 bm mc 如图 三棱锥p abc中 pb 底面abc acb 90 pb bc ca e为pc中点 如图 四棱锥p abcd的底面是菱形 pa 底面abcd bad 120 e为pc上任意一点 距离问题 距离问题 点 点 点 线 点 面 线 线 线 面 点 点 p a b o sin60 2r po 点 线 a b c d a1 b1 c1 d1 h 已知 长方体ac1中 ab a aa1 ad b 求点c1到bd的距离 c1h 线 线 a b c d e f 矩形cdfe和矩形abfe所在的平面相交 ef 5 ad 13 求平行线ab和cd的距离 点 面 从平面外一点引这个平面的垂线 垂足叫做点在这个平面内的射影 这个点和垂足间的距离叫做 点到平面的距离 线面垂直 点的射影 点面距离 已知三棱锥p abc的三条侧棱pa pb pc试判断点p在底面abc的射影的位置 p a b c o oa ob oc o为三角形abc的外心 已知三棱锥p abc的三条侧棱pa pb pc两两垂直 试判断点p在底面abc的射影的位置 p a b c o为三角形abc的垂心 d o 已知三棱锥p abc的顶点p到底面三角形abc的三条边的距离相等 试判断点p在底面abc的射影的位置 p a b c o为三角形abc的内心 o e f 已知三棱锥p abc的三条侧棱pa pb pc试判断点p在底面abc的射影的位置 已知三棱锥p abc的三条侧棱pa pb pc两两垂直 试判断点p在底面abc的射影的位置 已知三棱锥p abc的顶点p到底面三角形abc的三条边的距离相等 试判断点p在底面abc的射影的位置 p a b c o 外心 垂心 内心 直角三角形acb确定平面 点p在平面 外 若点p到直角顶点c的距离是24 到两直角边的距离都是6 求点p到平面 的距离 p a b c e f o 例 已知一条直线l和一个平面 平行 求证 直线l上各点到平面 的距离相等 a a b b l 线 面 一条直线和一个平面平行时 直线上任意一点到这个平面的距离叫做直线到平面的距离 l a a b 如果一条直线上有两个点到平面的距离相等 则这条直线和平面平行吗 已知一条直线上有两个点a b到平面的距离分别为3cm和5cm 求ab中点到平面的距离 空间四面体abcd 问和点a b c d距离相等的平面有几个 a b c d 4 空间四面体abcd 问和点a b c d距离相等的平面有几个 a b c d a b c d 4 3 a b c a1 b1 d1 c1 正方体ac1的棱长为1 求下列距离问题 1 a到cd1的距离 d a b c a1 b1 d1 c1 正方体ac1的棱长为1 求下列距离问题 1 a到cd1的距离 d 2 a到bd1的距离 a b c a1 b1 d1 c1 正方体ac1的棱长为1 求下列距离问题 1 a到cd1的距离 d 2 a到bd1的距离 3 a到面a1b1cd a b c a1 b1 d1 c1 正方体ac1的棱长为1 求下列距离问题 1 a到cd1的距离 d 2 a到bd1的距离 3 a到面a1b1cd 4 a到平面bb1d1 a b c d p f e 已知 abcd是边长为4的正方形 e f分别是ad ab的中点 pc 面abcd pc 2 求点b到平面pef的距离 g o h 点 线 点 面 线 面 棱长为1的正四面体p abc中 求点p到平面abc的距离 a b c o p 四个半径均为r的小球放置在水平桌面上 形成一个下3上1的金字塔型 求此金字塔的高度 体积问题 体积问题 将边长为a的正方形abcd沿对角线ac折起 使b d两点间距离变为a 求所得三棱锥d abc的体积 a b c d 将边长为a的正方形abcd沿对角线ac折起 使b d两点间距离变为a 求所得三棱锥d abc的体积 a b c d 正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是bb1 dd1的中点 棱长为a 求四棱锥d1 aec1f的体积 e f 平行六面体中 已知ab ad 2a aa1 a a1ad a1ab dab 60 1 求证 aa1 面b1cd1 a1 b1 c1 d1 a b c d a1 b1 c1 d1 a b c d 平行六面体中 已知ab ad 2a aa1 a a1ad a1ab dab 60 1 求证 aa1 面b1cd1 2 求平行六面体的体积 a1 b1 c1 d1 a b c d v sa1b1cd1 ce ce sa1b1c1d1 平行六面体中 已知ab ad 2a aa1 a a1ad a1ab dab 60 1 求证 aa1 面b1cd1 a1 b1 c1 d1 a b c d s b1cd1 vc1 b1cd1 s b1cd1 cc1 2 求平行六面体的体积 平行六面体中 已知ab ad 2a aa1 a a1ad a1ab dab 60 1 求证 aa1 面b1cd1 a1 b1 c1 d1 a b c d s b1cd1 vc1 b1cd1 s b1cd1 cc1 s b1c1d1 h v 2s b1c1d1 h 2 求平行六面体的体积 平行六面体中 已知ab ad 2a aa1 a a1ad a1ab dab 60 1 求证 aa1 面b1cd1 求多面体的体积时常用的方法 直接法 割补法 变换法 根据条件直接用柱体或锥体的体积公式 如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难 可将其分割成易求体积的几何体 逐块求积 然后求和 如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难 可转换为等积的另一三棱锥 而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得 求棱长为a的正四面体的体积 已知正三棱锥的侧面积是18 高为3 求它的体积 若正四棱锥的底面积是s 侧面积是q 则它的体积为 过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面 它将棱锥分为三部分体积之比 自上而下 为 p a b c 三棱锥p abc的三条侧棱两两垂直 pa a pb b pc c abc的面积为s求点p到底面abc的距离 a b c d p f e 已知 abcd是边长为4的正方形 e f分别是ad ab的中点 pc 面abcd pc 2 求点b到平面pef的距离 g o h 点 线 点 面 线 面 a b c d p f e g s bfe pc s pfe h 已知 abcd是边长为4的正方形 e f分别是ad ab的中点 pc 面abcd pc 2 求点b到平面pef的距离 斜三棱柱abc a b c 的侧面bb c c的面积为s aa 到此侧面的距离是a 求此三棱柱的体积 a b c a b c 斜三棱柱abc a b c 的侧面bb c c的面积为s aa 到此侧面的距离是a 求此三棱柱的体积 如图 在多面体abcdef中 已知面abcd是边长为3的正方形 ef ab ef 1 5 ef与面ac的距离为2 求此多面体的体积 4 5 3 6 1 5 如图 在多面体abcdef中 已知面abcd是边长为3的正方形 ef ab ef 1 5 ef与面ac的距离为2 求此多面体的体积 正三棱柱abc a1b1c1的底面边长为3 侧棱长为4 求四面体abb1c1的体积 已知三棱锥有一条棱长为4 其余各棱长为3 求其体积 已知三棱锥有一条棱长为4 其余各棱长为3 求其体积 已知三棱锥p abc中 pa 1 ab ac 2 pab pac bac 60 求三棱锥的体积 已知三棱锥p abc中 pa 1 ab ac 2 pab pac bac 60 求三棱锥的体积 解法一 直接法 解法二 变换法 已知三棱锥p abc中 pa 1 ab ac 2 pab pac bac 60 求三棱锥的体积 解法三 割补法 已知三棱锥p abc中 pa 1 ab ac 2 pab pac bac 60 求三棱锥的体积 解法四 割补法 已知三棱锥p abc中 pa 1 ab ac 2 pab pac bac 60 求三棱锥的体积 几何体问题 几何体问题 有关棱锥的概念问题 有关棱锥的计算问题 有关球的计算问题 p c b d a 棱锥基本概念 棱锥的底面 棱锥的侧面 棱锥的侧棱 棱锥的顶点 棱锥的高 棱锥的斜高 棱锥基本性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么截面和底面相似 并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比 棱锥基本性质 棱锥的高 斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形 棱锥的高 侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形 p c b d a rt peh rt phb rt peb rt beh 正棱锥 如果一个棱锥的底面是正多边形 并且顶点在底面的射影是底面中心这样的棱锥叫做正棱锥 1 侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥 2 棱锥的高可以等于它的一条侧棱长 3 棱锥的高一定在棱锥的内部 4 侧面均为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 判断正误 1 三条侧棱相等 2 侧棱与底面所成的角相等 3 侧面与底面所成的角相等 4 顶点p到 abc的三边距离相等 5 三条侧棱两两垂直 6 相对棱互相垂直 7 三个侧面两两垂直 外心 外心 内心 内心 垂心 垂心 垂心 正三棱锥 如果一个三棱锥的底面是正三角形 并且顶点在底面的射影是正三角形的中心 这样的三棱锥叫做正三棱锥 正四面体 有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥 有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥 有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥 有关棱锥的计算问题 棱锥基本性质 如果棱锥被平行于底