高中数学 6.5不等式的综合应用配套课件 理 新人教A版.ppt

第五节不等式的综合应用 三年15考高考指数 1 掌握不等式的性质及其证明 2 运用不等式的性质 定理 不等式的求解及不等式的证明解决有关的数学问题和实际问题 1 利用不等式求最值或求参数的取值范围是高考考查的热点内容之一 2 不等式与函数 方程 数列 解析几何等知识的综合问题成为高考新的热点 3 利用均值不等式作为解题工具解决一些实际问题 如求利润的最值等 也是高考常考的内容 4 对不等式的考查各种题型都有 1 不等式在函数 方程中的应用 1 通过求解不等式 组 求函数的定义域 值域 2 利用不等式解决函数单调性问题 3 运用不等式研究方程解的问题 如根的存在性问题及根的个数及分布 解集间的包含关系等 即时应用 1 函数f x lg x2 4x 3 的定义域是 2 方程x2 ax a 0有两个正根 则实数a的取值范围是 3 已知集合m 1 1 n x 2x 1 4 x z 则m n 解析 1 由题意得x2 4x 3 0 即 x 3 x 1 0 x 1或x 3 故函数的定义域为 x x 1或x 3 2 因为方程x2 ax a 0有两个正根 所以 a2 4a 0且a 0 解得a 4 3 2x 1 4 1 x 1 2 2 x 1又 x z x 1 0 m n 1 答案 1 x x 1或x 3 2 a 4 3 1 2 不等式在向量和数列问题中的应用 1 运用不等式研究向量的夹角 坐标运算及模长问题 2 通过解不等式解决数列的单调性及与最值有关的问题 3 数列与不等式融合的大题综合性较强 常用不等式证明中的放缩法 即时应用 1 比较大小 n n 1 2 已知j与i为相互垂直的单位向量 a i 2j b i j 且a与b的夹角为锐角 则实数 的取值范围是 解析 1 所以 2 a与b的夹角为锐角 a b 0即a b i 2j i j i i 2j i i j 2j j 1 2 0 又当a kb k 0 即i 2j k i j 解得 2时 a与b共线同向 故舍去 所以实数 的取值范围是 2 2 答案 1 2 2 2 3 利用不等式解决实际问题可建立不等式模型的应用问题 一般分为两类 一是构造不等式并解不等式 二是建立函数关系式求最值 即时应用 1 思考 利用不等式解决实际问题时 建立不等关系的途径主要有哪些 提示 利用几何意义 利用判别式 利用变量的有界性 利用函数的单调性 利用均值不等式等 2 工地上要修建一个容积为8m3 深2m的长方体无盖水池 若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元 那么水池的最低总造价为 元 解析 由题意知水池的底面积为8 2 4m2 设池底的一边为xm 则另一边为m 因此水池的总造价为 y 4 120 2 x 2 80 480 320 4 1760 当且仅当x 2时等号成立 答案 1760 不等式在函数 方程中的应用 方法点睛 不等式在函数 方程中的应用不等式经常与函数和方程融合在一起形成综合题 既有用不等式研究函数和方程的题目 也有用函数和方程的思想研究不等式的题目 具体有 1 求函数的定义域 值域和最值问题 2 判断函数的单调性以及求单调区间 利用函数单调性解与抽象函数有关的不等式 3 利用不等式讨论方程的实根个数 分布范围以及解含参数的方程等 4 解决有关的恒成立问题 提醒 函数 方程 不等式的综合是常见题型 需要充分利用函数的性质 图象 方程的根及相应不等式的解之间的关系加以解决 例1 1 已知函数f x x3 x2 bx c 若f x 的图象有与x轴平行的切线 求b的取值范围 若f x 在x 1时取得极值 且当x 1 2 时 f x c2恒成立 求c的取值范围 2 设f x 是定义域为 0 0 的奇函数且在 0 上为增函数 若m n 0 m n 0 求证 f m f n 0 若f 1 0 解关于x的不等式f x2 2x 2 0 解题指南 1 利用导数等于0有实数解 求得b的范围 利用极值求得最值 再来解决恒成立问题 2 利用奇偶性将f x 转化为f x 再利用单调性把函数值的大小与自变量的取值的大小联系起来求解 规范解答 1 f x 3x2 x b f x 的图象上有与x轴平行的切线 则f x 0有实数解 即方程3x2 x b 0有实数解 由 1 12b 0 得b 所以b的取值范围是 由题意 x 1是方程3x2 x b 0的一个根 设其另一个根为x0 则所以 所以f x x3 x2 2x c 则f x 3x2 x 2 当x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 当x 1 2 时 f x 0 所以 当x 时 f x 有极大值 c 又f 1 c f 2 2 c 即当x 1 2 时 f x 的最大值为f 2 2 c 因为对x 1 2 f x c2恒成立 所以c2 2 c 解得c 1或c 2 故c的取值范围为 1 2 2 m n 0 m n 0 m n一正一负 不妨设m 0 n 0 则n m 0 取n m 0 则f n f m 取n m 0 函数f x 在 0 上为增函数 f n f m f n f m 又函数f x 在 0 0 上为奇函数 f m f m f m f n 0 f 1 0 f 1 0 又 f x 在 0 和 0 上为增函数 原不等式可化为 x2 2x 2 1 或 1 x2 2x 2 0 解 得 x 3或x 1 解 得 1 x 1 或1 x 1 原不等式的解集为 1 1 1 1 1 3 互动探究 将本例 2 中的 增 改为 减 的其他条件不变 则f m f n 与0的关系又如何呢 解析 m n 0 m n 0 m n一正一负 不妨设m 0 n 0 则n m 0 取n m 0 则f n f m 取n m 0 函数f x 在 0 上为减函数 f n f m f n f m 又函数f x 在 0 0 上为奇函数 f m f m f m f n 0 反思 感悟 在解答本例第 2 题 时 往往用分析法去寻找解题思路 从求证的结论出发 把结论变形为f n f m 易发现求证的突破口 变式备选 2012 上海模拟 已知f x x3 6ax2 9a2x a r 1 求函数f x 的单调递减区间 2 当a 0时 若对任意x 0 3 有f x 4恒成立 求实数a的取值范围 解析 1 f x 3x2 12ax 9a2 3 x a x 3a 0 当a 3a 即a 0时 f x 3x2 0 无单调递减区间 当a 3a 即a 0时 f x 的单调递减区间为 3a a 当a 3a 即a 0时 f x 的单调递减区间为 a 3a 2 f x 3x2 12ax 9a2 3 x a x 3a 结合 1 知 当a 0时 f x 在 0 a 上递增 在 a 3a 上递减 在 3a 上递增 当a 3时 函数f x 在 0 3 上递增 所以函数f x 在 0 3 上的最大值是f 3 若对任意x 0 3 有f x 4恒成立 需要有得a 当1 a 3时 有a 3 3a 此时函数f x 在 0 a 上递增 在 a 3 上递减 所以函数f x 在 0 3 上的最大值是f a f 3 4a 3 若对任意x 0 3 有f x 4恒成立 需要有解得a 1 当a 1时 有3 3a 此时函数f x 在 0 a 上递增 在 a 3a 上递减 在 3a 3 上递增 所以函数f x 在 0 3 上的最大值是f a 或者是f 3 由f a f 3 a 3 2 4a 3 得 当0 a 时 f a f 3 f a 41 a 3 若对任意x 0 3 有f x 4恒成立 需要有 解得a 1 当 a 1时 f a f 3 若对任意x 0 3 有f x 4恒成立 需要有 解得a 1 综上所述 a 1 1 f 3 40 a f a 4 a 1 不等式在解析几何中的应用 方法点睛 不等式在解析几何中的应用解析几何中常出现求某个量的范围或最值问题 这类问题的解法一般都是通过数形结合 把几何问题转化为代数问题求解 1 根据题目条件 把要求范围或最值的量表示为另一变量的函数 然后利用求函数值域的思想加以解决 2 设法建立包含要求最值的那个量的不等式 通过解这个不等式 求出这个量的范围或最值 例2 已知椭圆 y2 1 经过其左顶点a作斜率为k k 0 的直线与椭圆交于点b 直线bo交椭圆于c点 o是坐标原点 求 abc面积的最大值 解题指南 设出直线方程并与椭圆方程联立 得b点纵坐标 然后表示出 abc的面积 最后利用均值不等式求面积的最大值 规范解答 由题意知 过a 4 0 且斜率为k k 0 的直线方程为y k x 4 k 0 由消去x可得 16k2 1 y2 8ky 0 解得y 0 舍去 或y 即点b的纵坐标是yb 因为k 0 所以 abc的面积因为所以即 abc面积的最大值为4 y k x 4 y2 1 反思 感悟 通过数形结合的方法将几何问题转化为代数问题是利用不等式解决解析几何问题时最常用的方法 变式训练 已知椭圆 1 a b 0 的两个焦点为f1 f2 椭圆上一点m 满足 0 1 求椭圆的方程 2 若直线l y kx 与椭圆恒有不同交点a b 且 1 o为坐标原点 求k的范围 解析 1 由题意知 c c 又 0 2 c2 2 0 解得c f1 0 f2 0 由椭圆的定义知2a a 2 b 1 椭圆的标准方程为 1 2 消去y解得 k2 x2 2kx 1 0 由题意 8k2 4 k2 0 故k 或k 可设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1x2 x1x2 y1y2 1 k2 x1x2 k x1 x2 2 1 k 不等式在数列中的应用 方法点睛 数列中不等式证明方法的选择技巧数列中的不等式问题的证明 除了会运用不等式的基本性质外 常用的方法如比较法 公式法 分析法 综合法 数学归纳法 放缩法等 都能灵活地迁移 这些方法的一般性选择原则是 1 若数列的通项公式已给出或能求出 则优先考虑代入后实施证明 若式子较简单 则首选比较法 公式法证明 若式子较复杂 则可考虑用分析法实行等价转化 预探证明的思路 当式子变形比较困难时 则需要考虑用放缩法进行简化 2 若数列中出现均值不等式模型 则要重点注意 一正 二定 三相等 这三个条件是否满足 避免运用失误 例3 是否存在自然数a 使得不等式 2a 5对一切n n 都成立 若存在 求a的最大值 若不存在 说明理由 解题指南 构造函数f n n n 判断其单调性 求f n 的最值 从而求得a的最大值 规范解答 令f n n n 对任意n n f n 1 f n 函数f n 在n 上是增函数 f n 的最小值为f 1 即f n 的最小值f 1 对一切n n 使得f n 2a 5成立的充要条件是 2a 5 a 所求自然数a的最大值是3 反思 感悟 对于是否存在的探索性问题 其解题思路一般是先假设存在 然后通过推理证明 若推出矛盾则说明假设不成立 即不存在 否则说明假设成立 即解决了存在的问题 变式训练 2011 重庆高考 设实数数列 an 的前n项和sn满足sn 1 an 1sn n n 1 若a1 s2 2a2成等比数列 求s2和a3 2 求证 对k 3 有0 ak 1 ak 解析 1 由题意得由s2是等比中项知s2 0 因此s2 2 由s2 a3 s3 a3s2解得a3 2 由题设条件有sn 1 an 1sn n n 故sn 1 an 1 1且an 1 故对k 3有 因 0且 0 由 得ak 0 要证ak 由 只要证即证即 0 此式明显成立 因此ak 最后证ak 1 ak 若不然ak 1 ak 又因ak 0 故 1 即 ak 1 2 0 矛盾 因此ak 1 ak k 3 所以对k 3 有0 ak 1 ak 变式备选 2012 柳州模拟 设函数f x x2 ax b a b r 若函数在点 1 f 1 处的切线为4x y 16 0 数列 an bn 定义 a1 2an 1 f an 15 bn n 1 2 1 求实数a b的值 2 若将数列 bn 的前n项的和与积分别记为sn tn 证明 对任意正整数n 2n 1tn sn为定值 3 证明 对任意正整数n 都有2 sn 2 解析 1 f 1 1 a b 4 16 12 f 1 2 a 4 故a 2 b 15 2 由 1 知f x x2 2x 15 从而 2an 1 an an 2 即an 1 an 故 2 定值 3 因为a1 0 an 1 an 所以 an 1 an 0 n 1 2 即 an 为单调递增的正数数列 sn 2 2 又bn n 1 2 则 bn 为单调递减的正数数列 且b1 于是 tn n 因为所以 不等式在实际问题中的应用 方法点睛 不等式在实际问题中的应用解答不等式应用问题往往结合函数知识和导数 通过建立不等式模型 利用不等式知识求解 其背景常涉及到社会热点问题 如 物价 税收 销售 市场信息 图形的面积 体积等 建立函数模型常见的有 正 反 比例函数 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 三角函数以及y ax ab 0 型的函数等 例4 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池 平面图形如图 如果池四周围墙建造单价为400元 米2 中间两道隔墙建造单价为248元 米2 池底建造单价为80元 米2 水池所有墙的厚度忽略不计 1 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出总造价 2 若由于地形限制 该池的长和宽都不能超过16米 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出总造价 解题指南 最低造价 就是要求最小值 通过运算 变形后发现第 1 问可用均值不等式来求最值 第 2 问由于等号取不到 所以可以考虑用函数单调性的方法来求 即先判断函数的增减性 再将区间端点代入即可 规范解答 1 设污水处理池的长为x米 则宽为米 再设总造价为y元 由题意得y 2x 400 2 400 248 2 80 200 800 x 16000 28800 16000 44800 当且仅当800 x 即x 18时 y取得最小值44800 即当水池的长为18米 宽为米时 总造价最低 且为44800元 2 由 1 知y 800 x 16000 800 x 16000 其中即12 5 x 16 令z x z 1 当0 x 18时 z 1 0 函数z 在 0 18 上是减函数 x 16 16 当12 5 x 16时 zmin 16 ymin 800 16000 45000 元 即当水池的长为16米 宽为米时 总造价最低 最低为45000元 反思 感悟 解不等式应用问题的步骤 变式训练 某人在新农村建设的过程中计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室大棚 在温室内 沿左 右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道 沿前侧内墙保留3m宽的空地 当矩形温室的边各为多少时 蔬菜的种植面积最大 最大种植面积是多少 解析 设矩形相邻两边长分别为x ym 则xy 800 设蔬菜的种植面积为s 则s x 2 y 4 808 4x 2y 808 4x 808 2 648当且仅当4x 即x 20m y 40m时 蔬菜的种植面积取得最大值648m2 满分指导 不等式主观题的规范解答 典例 12分 2011 大纲版全国卷 1 设函数f x ln 1 x 证明 当x 0时 f x 0 2 从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张 然后放回 用这种方式连续抽取20次 设抽得的20个号码互不相同的概率为p 证明 p 19 解题指南 第 1 问是利用导数研究单调性最值的常规题 不难证明 对于第 2 问证明 如何利用第 1 问结论是解决这个问题的关键 也是解题能力高低的体现 规范解答 1 f x 2分当x 1 0 即x 1时 f x 0且f x 不恒为0 所以f x 在 1 上单调递增 当x 0时 f x f 0 0 4分 2 p 5分又99 81 90 9 90 9 902 81 902同理得98 82 902 91 89 902 p 19 7分 由 1 知 当x 0时 ln 1 x 因此 1 ln 1 x 2 9分在上式中 令x 则19ln 2即 19 e2 11分 p 19 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分