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1 称为矢量磁位 单位为T m 特 米 或Wb m 韦 米 它是一个辅助性质的矢量 一 矢量磁位的引入 5 3矢量磁位 引入矢量磁位的意义 引入辅助函数 可通过间接求解方法求解空间磁场分布 简化电磁问题求解 二 矢量磁位的计算 1 线电流 对线电流 有 2 利用矢量恒等式 则 为零 3 该式为线电流产生的磁场中的矢量磁位计算公式 2 面电流 3 体电流 4 矢量磁位与静电场中的标量电位类似 都是为了简化计算而引入的辅助量 二者的表达式也有某些类似 5 三 库仑规范 矢量位不是唯一的 它加上任意一个标量的梯度后 仍然表示同一个磁场 即 若 则对于 有 而 上式表明 和为性质不同的两种矢量场 这意味着满足的有无限多个 为了唯一地确定矢量磁位 规定 并称这种规定为库仑规范 注意 规范条件是人为引入的限定条件 可根据问题设定不同的规范条件 6 四 矢量磁位的求解矢量磁位满足的方程 由矢量恒等式 上式变为 矢量磁位的泊松方程 对于无源区域 有 矢量磁位的拉普拉斯方程 在直角坐标系中 7 可分解为三个标量的泊松方程 矢量泊松方程的解为 以上表示式中Cx Cy和Cz均为任取的常数和常矢量 它们的出现将不影响磁场变量的计算 同理 面电流元和线电流元产生的矢量磁位分别为 8 由的积分公式和的积分公式对比可以看出 1 只有一个分量的场源变量仅产生与它方向相同的矢量磁位分量 但却直接产生三个分量的磁场 2 如果利用微分方程法求解 根据矢量磁位的特点 可以引入标量函数 而把矢量拉普拉斯方程变为标量的拉普拉斯方程 这比直接求解磁场的矢量微分方程要简单 当求得后 再通过偏微分计算求出就比较容易了 9 例1 已知半径为a 通有电流I的无限长圆柱形导体内 外的磁感应强度分别为 在柱坐标中 设处的 求圆柱形导体内 外的矢量磁位 时 由 10 时 时 由 11 例2 已知矢量磁位满足泊松方程 证明在无界空间里的解为 证 12 例3 求无限长直线电流的磁感应强度 解 我们先计算一根有限长度为的长直线电流I产生的磁感应强度 再令 方法一 利用毕奥 萨伐尔定律计算磁感应强度 采用柱坐标系 直线电流与z轴重合 线电流的中点位于原点 P点处的磁感应强度为 13 14 方法二 先计算矢量磁位 再求磁感应强度 电流元在P点产生的矢量磁位为 15 当时 若 则 为有限值 则 注意这样做是允许的 并不影响计算 16 方法三 利用基本场方程求磁感应强度 由磁场方程 可得 17 例4 求小圆环电流的矢量磁位和磁场 作为场点将不失一般性 在的xz平面上 在xy平面上 解 小圆环的半径为a 通过的电流为I 取小圆环位于xy平面内 圆心与球坐标系的原点重合 由于场具有对称性 我们取xz平面内的一点 18 对于远离小圆环的区域 有 19 若将小圆环电流称为磁偶极子 称为磁偶极矩 则有 任一点的磁感应强度为 是常矢量 右边第二项为零 式中是小圆环的面
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