高中数学 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用配套课件 苏教版.ppt

第四节函数y asin x 的图象及三角函数的应用 三年2考高考指数 1 用 五点法 作函数y asin x a 0 0 的图象 五点法 作图的五点是在一个周期内的最高点 最低点及与x轴相交的三个交点 作图时的一般步骤为 1 定点 先确定五点 即令 x 分别等于0 2 得对应的五点为 2 作图 在坐标系中描出这五个关键点 用 顺次连结得到y asin x 在一个周期内的图象 3 扩展 将所得图象 按周期向两侧扩展可得y asin x 在r上的图象 平滑的曲线 即时应用 1 思考 用五点法作y asin x 的图象 主要确定哪些数据 提示 先求出周期t 再确定a 列出一个周期内的五个特殊点 2 用五点法作函数y sin x 在一个周期内的图象时 主要确定的五个点是 解析 分别令可求出x的值分别为又因为a 1 所以需要确定的五个点为 答案 2 图象变化规律 其中a 0 0 1 先平移后伸缩y sinx的图象y sin x 的图象y sin x 的图象y asin x 的图象 2 先伸缩后平移y sinx的图象y asinx的图象y asin x的图象y asin x 的图象 即时应用 1 y sin x 的图象是由y sinx的图象向 平移 个单位得到的 2 y sin x 的图象是由y sinx的图象向 平移 个单位得到的 3 y sin x 的图象是由y sin x 的图象向 平移 个单位得到的 4 y sin 2x 的图象是由y sin2x的图象向 平移 个单位得到的 解析 1 2 3 根据图象变化规律易求 4 y sin 2x sin 2 x 将y sin2x的图象向左平移个单位长度就得到y sin 2x 的图象 答案 1 左 2 右 3 右 4 左 3 函数y asin x 的物理意义形如y asin x 的函数 在物理 工程等学科的研究中有着广泛的应用 其中参数a 具有相应的实际意义 在物理学上 当函数y asin x a 0 0 x 0 表示简谐运动时 则a叫做 t 叫做 f 叫做 x 叫做 x 0时的相位 叫做 振幅 周期 频率 相位 初相 即时应用 如图 它表示电流i asin t a 0 0 在一个周期内的图象 试根据图象写出i asin t 的解析式 其频率f 解析 由图象知所以由由 2k 得 2k k z 所以即 答案 函数y asin x 的图象及其图象变换 方法点睛 函数y asin x a 0 0 的图象的作法 1 五点法 用 五点法 作y asin x 的简图 主要是通过变量代换 设z x 由z取0 2 来求出相应的x 通过列表 计算得出五点坐标 描点后得出图象 2 图象变换法 由函数y sinx的图象通过变换得到y asin x 的图象 有两种主要途径 先平移后伸缩 与 先伸缩后平移 提醒 五点作图取值要准确 一般取一个周期之内的 函数图象变换要注意顺序 例1 画出函数y 3sin 2x x r的简图 解题指南 作函数y 3sin 2x 的图象可用五点作图或图象变换法 规范解答 方法一 五点法由t 得t 列表 0 2 3 0 3 0 0 描点画图 将所得图象按周期向两侧扩展可得y 3sin 2x 在r上的图象 方法二 图象变换法将所得图象按周期向两侧扩展可得y 3sin 2x 在r上的图象 反思 感悟 五点法作图的关键点五点法作图的关键是正确确定五个点 而后列表 描点 连线即可 要注意在作出一个周期上的简图后 应向两端伸展一下 以表示整个定义域上的图象 注意用图象变换法作图仅能作出简图 变式训练 作出y sin x 在一个周期内的图象 解析 列表 描点 连线 画出的图象如图 由图象求解析式 方法点睛 确定y asin x b a 0 0 的解析式的步骤和方法 1 求a b 确定函数的最大值m和最小值m 则 2 求 确定函数的周期t 则可得 3 求 常用的方法有 代入法 把图象上的一个已知点代入 此时a b已知 或代入图象与直线y b的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 五点法 确定 值时 往往以寻找 五点法 中的第一个点为突破口 具体如下 第一点 即图象上升时与x轴的交点 时 x 0 第二点 即图象的 峰点 时 x 第三点 即图象下降时与x轴的交点 时 x 第四点 即图象的 谷点 时 x 第五点 时 x 2 提醒 在求 时要注意所给的范围 例2 1 如图是函数y asin x 2 a 0 0 0 0 0 2 的图象如图所示 则f x 3 如图是f x asin x a 0 0 的一段图象 则函数f x 的解析式为 解题指南 由图象确定三角函数y asin x 的解析式 首先确定a的值 其次根据图象求周期t 根据周期求 最后根据所给的数据求 规范解答 1 由图象知 所以得 2k k z 又 当k 1时 答案 2 由图象知a 3 t 2 7 3 8 答案 3 由图象得a 2 当x 0时 sin 因为 所以 所以由题图可知 3 所以y 2sin 3x 答案 y 2sin 3x 互动探究 把本例中 3 的图象改为如图所示 其他不变 如何求解 解析 由图象知a t 4 所以t 16 则由6 2k k z 得 所以函数的解析式为 反思 感悟 1 振幅a与最值有关 与周期t有关 初相 用待定系数法求解 2 利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重 3 要善于观察图象 抓住图象的特征 变式备选 函数f x asin x a 0 0 的部分图象如图所示 1 求 2 求函数的图象的对称轴和对称中心 解析 1 由图象知 由得 2k k z 2 由2x k 得x k z 函数f x 的对称轴为 k z 又由2x k 得x k z 故对称中心为 0 k z 三角函数性质的应用 方法点睛 y asin x a 0 0 的性质 1 奇偶性 k 时 函数y asin x 为奇函数 k 时 函数y asin x 为偶函数 2 周期性 y asin x 具有周期性 其最小正周期为t 3 单调性 根据y sint和t x 的单调性来研究 由 2k x 2k k z得递增区间 由 2k x 2k k z得递减区间 4 对称性 利用y sinx的对称中心为 k 0 k z 求解 令 x k k z 即可 y sinx的对称轴是x k k z 求解时令 x k k z 即可 例3 已知函数f x asin x a 0 0 的图象与y轴的交点为 0 1 它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 x0 2 和 x0 2 2 1 求f x 的解析式及x0的值 2 求f x 的增区间 3 若x 求f x 的值域 解题指南 根据已知条件结合图象先求出解析式 再根据解析式求出单调区间和值域 规范解答 1 由图象知a 2 由 2 得t 4 所以 f x 2sin x f 0 2sin 1 又 f x 2sin x 由f x0 2sin x0 2 x0 2k x0 4k k z 又 x0 2 是y轴右侧的第一个最高点 x0 2 由 2k x 2k k z得 4k x 4k 所以f x 的增区间为 4k 4k k z 3 x x 所以 sin x 1 所以 f x 2 所以f x 的值域为 2 反思 感悟 求三角函数性质时的注意事项求三角函数y asin x 的性质 不论是周期性 单调性 对称性还是求三角函数的最值 都要以三角函数y sinx的性质为基础 另外在求解时要注意所给的范围和 的取值 变式训练 求函数y sinx cosx的周期 最大值和最小值 解析 因为所以 周期t 2 最大值为2 最小值为 2 变式备选 已知函数f x asin x x r 其中a 0 0 0 的图象与x轴的交点中 相邻两个交点之间的距离为 且图象上一个最低点为m 2 1 求f x 的解析式 2 当x 时 求f x 的值域 解析 1 由最低点为m 2 得a 2 由图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为 得 即t 2 由点m 2 在图象上得2sin 2 2 即sin 1 故 2k k z 2k k z 又 0 故f x 2sin 2x 2 x 2x 当2x 即x 时 f x 取得最大值2 当2x 即x 时 f x 取得最小值 1 故f x 的值域为 1 2 易错误区 有关三角函数性质的易错点 典例 2011 天津高考改编 已知函数f x 2sin x x r 其中 0 若f x 的最小正周期为6 且当x 时 f x 取得最大值 则 f x 在区间 2 0 上是增函数 f x 在区间 3 上是增函数 f x 在区间 3 5 上是减函数 f x 在区间 4 6 上是减函数其中所有正确的序号为 解题指南 求出函数f x 的解析式 再根据三角函数的性质判断 规范解答 由题意可得 f x 2sin x 当2k x 2k 即6k x 6k k z时函数是增函数 所以f x 在 2 0 上是增函数 正确 错误 又当2k x 2k 即6k x 6k k z时函数为减函数 故 都不正确 答案 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 陕西高考改编 设函数f x x r 满足f x f x f x 2 f x 则y f x 的图象可能是 填序号 解析 由f x f x 得y f x 是偶函数 所以函数y f x 的图象关于y轴对称 可知 符合 不符合 由f x 2 f x 得y f x 是周期为2的周期函数 的图象的最小正周期是4 不符合 的图象的最小正周期是2 符合 答案 2 2011 江苏高考 函数f x asin x