2016年北京市昌平区高考数学二模试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1复数 =（ ） A B C D 2已知双曲线 C： 的一个焦点为 F（ 5， 0），实轴长为 6，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 3若 x， y 满足 则 z=2x y 的最小值为（ ） A 4 B 1 C 0 D 4设 、 是两个不同的平面， b 是直线且 b， “b ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5过点 A 和圆心 O 的直线交 O 于 B， C 两点（ O 切于点 D， C 于 E， ， ，则 长度为（ ） A 1 B C 2 D 第 2 页（共 22 页） 6如图所示的程序框图，如果输出的 S 值为 3，则判断框内应填入的判断条件为（ ）A i 2 B i 3 C i 4 D i 5 7函数 f（ x） 是定义在 3， 0） （ 0， 3上的奇函数，当 x （ 0， 3时， f（ x） 的图象如图所示，那么满足不等式 f（ x） 2x 1 的 x 的取值范围是（ ） A 3， 2 2， 3 B 3， 2 （ 0， 1 C 2， 0） 1， 3 D 1， 0） （ 0， 1 8将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示设正八角星的中心为 O，并且= ， = ，若将点 O 到正八角星 16 个顶点的向量，都写成为 + ， ， R 的形式，则 + 的最大值为（ ） A B 2 C 1+ D 2 一、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9已知 等比数列 n N*）的前 n 项和，若 4，公比 q=2，则数列 通项公式 10极坐标系中， O 为极点，点 A 为直线 l： 上一点，则 |最小值为 第 3 页（共 22 页） 11如图，点 D 是 边 一点， ， ， ， 5，那么 ， 12某三棱锥的 三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为 13 2016 年 3 月 12 日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕活动设置了 “三馆两园一带一谷 ”七大板块 “三馆 ”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆； “两园 ”即主题狂欢乐园、农事体验乐园； “一带 ”即草莓休闲体验带； “一谷 ”即延寿生态观光谷某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的 “一馆一园一带一谷 ”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有 种（用数字作答） 14已知数列 ， a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*） 若 ，则 a= ； 记 Sn=a1+ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示 （ ）写 出函数 f（ x）的解析式及 值； （ ）求函数 f（ x）在区间 ， 上的最大值与最小值 第 4 页（共 22 页） 16为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试现从两校各随机抽取 10 名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下： （ 1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论） （ 2）如果将数学基础采用 A、 B、 C 等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分 100分，所有学生成绩均在 60 分以上） 测试成绩 85， 100 70， 85） （ 60， 70） 基础等级 A B C 假设每个新生的测试成绩互相独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率 17如图，三棱柱 ， 直于正方形 在平面， ， ，D 为 点， E 为线段 的一点（端点除外），平面 于点 F （ ）若 E 不是 中点，求证： （ ）若 E 是 中点，求 平面 成角的正弦值； （ ）在线段 是否存在点 E，使得 存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 第 5 页（共 22 页） 18已知函数 f（ x） =g（ x） = x2+bx+c（ a， b， c R），且曲线 y=f（ x）与曲线 y=g（ x）在它们的交点（ 0， c）处具有公共切线设 h（ x） =f（ x） g（ x） （ ）求 c 的值，及 a， b 的关系式； （ ）求函数 h（ x）的单调区间； （ ）设 a 0，若对于任意 0， 1，都有 |h（ h（ | e 1，求 a 的取值范围 19已知椭圆 M： + =1（ a b 0）的焦距为 2，点 D（ 0， ）在椭圆 M 上，过原点 O 作直线交椭圆 M 于 A、 B 两点，且点 A 不是椭圆 M 的顶点，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 H，点 C 是线段 中点，直线 椭圆 M 于点 P，连接 ）求椭圆 M 的方程及离心率； （ ）求证： 20定义 ， 示 ， 的最大值 已知数列 ， ， ，其中 n+m+p=200， m=n， m， p， k N*记dn=（ ）求 （ ）当 k=2 时，求 最小值； （ ） k N*，求 最小值 第 6 页（共 22 页） 2016 年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1复数 =（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 把分子分母同时乘以 1+i，直接利用复数的除法运算求解 【解答】 解： = 故选： C 2已知双曲线 C： 的一个焦点为 F（ 5， 0），实轴长为 6，则双曲线 C 的渐近线 方程为（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的几何量，然后求解双曲线的渐近线方程 【解答】 解：双曲线 C： 的一个焦点为 F（ 5， 0），实轴长为 6， 可得 c=5， a=3， b= = =4， 双曲线的渐近线方程为： y= x 故选： A 3若 x， y 满足 则 z=2x y 的最小值为（ ） A 4 B 1 C 0 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式， 数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 第 7 页（共 22 页） 联立 ，解得 A（ ）， 化目标函数 z=2x y 为 y=2x z， 由图可知，当直线 y=2x z 过点 A（ ）时，直线在 y 轴上的截距 最大， z 有最小值为2 故选： D 4设 、 是两个不同的平面， b 是直线且 b， “b ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 、 是两个不同的平面， b 是直线且 b“b ”可得： ；反之不成立，即可判断出关系 【解答】 解： 、 是两个不同的平面， b 是直线且 b“b ” ；反之不成立， 若 ， b， b 不一定成立 故选： A 5过点 A 和圆心 O 的直线交 O 于 B， C 两点（ O 切于点 D， C 于 E， ， ，则 长度为（ ） A 1 B C 2 D 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 连接 O 切于点 D，可得 B出 ，S = ，解得 得 C= 出 可得出 【解答】 解：连接 第 8 页（共 22 页） O 切于点 D， B =15 5 3=12， O 的半径 r=6 在 ， S = ，解得 =2 C= = E+， 120=0， 解得 或 10（舍去） ， 故选： C 6如图所示的程序框图，如果输出的 S 值 为 3，则判断框内应填入的判断条件为（ ）A i 2 B i 3 C i 4 D i 5 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，若输出 S 的值为 3，可得退出循环时 S 的值为 6，即 S=6， i=3 时，应该不满足条件，退出循环，从而可得判断框内应填入的判断条件为 i 3 【解答】 解：由题意，若输出 S 的值为 3，可得： 3=S+2），即退出循环时 S 的值为 6 模拟程序框图的运行过程，得 S=0， i=1 满足条件，执行循环体， S=2， i=2 满足条件，执行循环 体， S=6， i=3 此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值为 6， 第 9 页（共 22 页） 故判断框内应填入的判断条件为 i 3 故选： B 7函数 f（ x） 是定义在 3， 0） （ 0， 3上的奇函数，当 x （ 0， 3时， f（ x） 的图象如图所示，那么满足不等式 f（ x） 2x 1 的 x 的取值范围是（ ） A 3， 2 2， 3 B 3， 2 （ 0， 1 C 2， 0） 1， 3 D 1， 0） （ 0， 1 【考点】 函数的图象 【分析】 由图象可知，当 x （ 0， 3时， f（ x）单调递减，当 x 3， 0）时， f（ x）单调递减，分别利用函数的图象，结合不等式 f（ x） 2x 1，即可得出结论 【解答】 解：由图象可知， x=0 时， 2x 1=0， f（ x） 0，成立； 当 x （ 0， 3时， f（ x）单调递减， 当 0 x 1 时， f（ x） 1， 2x 1 1，满足不等式 f（ x） 2x 1； 当 1 x 3 时， f（ x） 1， 1 2x 1 7，不满足不等式 f（ x） 2x 1； 函数 f（ x） 是定义在 3， 0） （ 0， 3上的奇函数， 当 x 3， 0）时， f（ x）单调递减， 当 3 x 2 时， f（ x） 0， 2x 1 ，满足不等式 f（ x） 2x 1； 当 x 2 时， f（ x） ， 2x 1 ，不满足不等式 f（ x） 2x 1； 满足不等式 f（ x） 2x 1 的 x 的取值范围是 3， 2 0， 1 故选： B 8将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示设正八角星的中心为 O，并且= ， = ，若将点 O 到正八角星 16 个顶点的向量，都写成为 + ， ， R 的形式，则 + 的最大值为（ ） A B 2 C 1+ D 2 【考点】 向量在几何中的应用 第 10 页（共 22 页） 【分析】 根据题意找出使得 +最大的顶点 C，根据向量加法的平行四边形法则可作出平行四边形 样结合图形及向量数乘的几何意义便可得出 ，这样由平面向量基本定理即可求出 + 的最大值 【解答】 解：如图，根据图形及向量加法的平行四边形法则可看出 O 到顶点 C 的向量，此时 +最大； 作平行四边形 BC=a，根据题意得， ； ； ； = ； 又 ； ； 即 +的最大值为 故选 C 一、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9已知 等比数列 n N*）的前 n 项和，若 4，公比 q=2，则数列 通项公式 2n（ N*） 【考点】 等比数列的通项公式；等比数列的前 n 项和 【分析】 根据等比数列的前 n 项和公式和通项公式求解即可 【解答】 解： 等比数列 n N*）的前 n 项和，若 4，公比 q=2， ， 解得： ， N*） 故答案为： 2n（ N*） 10极坐标系中， O 为极点，点 A 为直线 l： 上一点，则 |最小值为 第 11 页（共 22 页） 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 求出极坐标方程的普通方程，利用点到直线的距离公式求解即可 【解答】 解：直线 l： 的普通方程为： y=x+2， 极坐标系中， O 为极点，点 A 为直线 l： 上一点，则 |最小值就是原点到直线的距离： d= = 故答案为： 11如图，点 D 是 边 一点， ， ， ， 5，那么 ， 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由已知及余弦定理可求 ，结合范围 （ 0， ），即可求得 ，求得 用正弦定理即可得解 值 【解答】 解： ， ， ， 5， 由余弦定理可得： = = ， （ 0， ）， ， ， 由正弦定理可得： = = 故答案为： ， 12某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为 第 12 页（共 22 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为三棱锥 侧面 可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为三棱锥， 侧面 35， ， 则该三棱锥中最长棱的棱长为 = 故答案为： 13 2016 年 3 月 12 日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕活动设置了 “三馆两园一带一谷 ”七大板块 “三馆 ”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆； “两园 ”即主题狂欢乐园、农事体验乐园； “一带 ”即草莓休闲体验带； “一谷 ”即延寿生态观光谷某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的 “一馆一园一带一谷 ”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有 144 种（用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 先选择一馆一园一带一谷，再进行排序，即可得出结论 【解答】 解：由题意，先选择一馆一园一带一谷，再进行排序，即 =144 种 故答案为： 144 14已知数列 ， a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*） 若 ，则 a= ； 记 Sn=a1+ 1512 【考点】 数列递推式；数列的求和 第 13 页（共 22 页） 【分析】 由 a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*），可得 a+ 对a 分类讨论：当 时，当 时，即可得出 a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*）， = a+ 对 a 分类讨论：当 时，可得： = 时，可得 = 可得出 【解答】 解： a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*）， = a+ 当 时， =a= ，舍去； 当 时， a3=1= a+ = ，解得 a= ，满足条件 a= a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*）， = a+ 当 时， =a， = a， = a1+ 1008=1512 当 时， a3=1= a+ = a+ ， = + =a+1 1， a5=1=a = a1+a2+a3+ 504=3 504=1512 综上可得： 512 故答案分别为： ； 1512 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 第 14 页（共 22 页） 15已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示 （ ）写出函数 f（ x）的解析式及 值； （ ）求函数 f（ x）在区间 ， 上的最大值与最小值 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值 【分析】 （ I）由函数图象可知 A， T=，利用周期公式可求 ，又函数过点（ ， 2），结合范围 | ，解得 ，可求函数解析式，由函数图象可得 22） = ，可解得 x0=， k Z，又结合范围 ，从而可求 值 （ x ， ，可求范围 2x+ ， ，利用正弦函数的图象和性质即可求其最值 【解答】 （本小题满分 13 分） 解：（ I） A 0， 0，由函数图象可知， A=2， T= =2 ） =，解得 =2， 又 函数过点（ ， 2），可得： 2=22 +），解得： 2 +=2，k Z， 又 | ， 可得： = ， f（ x） =22x+ ）， 由函数图象可得： 22） = ，解得： 2=2， k Z，可得： x0=， k Z， 又 ， 第 15 页（共 22 页） ， （ x ， ，可得： 2x+ ， ， 当 2x+ = 时，即 x= ， f（ x） f（ ） = 1， 当 2x+ = 时，即 x= ， f（ x） f（ ） =2 16为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数 学测试现从两校各随机抽取 10 名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下： （ 1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论） （ 2）如果将数学基础采用 A、 B、 C 等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分 100分，所有学生成绩均在 60 分以上） 测试成绩 85， 100 70， 85） （ 60， 70） 基础等级 A B C 假设每个新生的测试成绩互相独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学 基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率 【考点】 相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ 1）利用均值与方差的定义分别求出甲、乙两校新生的数学成绩的均值与方差，从而得出结论 （ 2）分类讨论，求得甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率 【解答】 解：（ 1）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同； 甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差 （ 2）设事件 D=“从甲、乙两校新生中各随 机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级 ” 设事件 从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为 A”， P（ = ， 设事件 从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为 B”， P（ = ， 设事件 从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为 B”， P（ = ， 设事件 从乙校新生中随 机抽取一名新生，其数学基础等级为 C”， P（ = ， 根据题意， D=以 P（ D） =P（ = +P（ +P（ 第 16 页（共 22 页） = + + = ， 因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生 的数学基础等级的概率为 17如图，三棱柱 ， 直于正方形 在平面， ， ，D 为 点， E 为线段 的一点（端点除外），平面 于点 F （ ）若 E 不是 中点，求证： （ ）若 E 是 中点，求 平面 成角的正弦值； （ ）在线段 是否存在点 E，使得 存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质 【分析】 （ I）连接 点 G，连接 由中位线定理得出 是平面 线面平行的性质得出 （ 原点建立空间坐标系，求出 和平面 法向量 ，则 平面 |； （ =，求出 和 的坐标，令 =0 解出 【解答】 证明：（ I）连接 点 G，连接 四边形 平行四边形， G 为 中点， D 为 点， 面 面 平面 面 面 面 F， （ 以 原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系如图所示 则 A（ 2， 2， 0）， E（ 0， 1， ）， B（ 0， 2， 1）， 0， 0， 0）， D（ 1， 2， 0） =（ 2， 1， ）， =（ 0， 2， 1）， =（ 1， 2， 0） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 第 17 页（共 22 页） ，令 y=1，得 =（ 2， 1， 2） ， = = = 平面 成角的正弦值为 （ 假设在线段 存在点 E，使得 设 =，则 =（ 0， ， ） = =（ 2， ， ）， = =（ 0， ， ） 即 解得： = 在线段 存在点 E，使得 = 18已知函数 f（ x） =g（ x） = x2+bx+c（ a， b， c R），且曲线 y=f（ x）与曲线 y=g（ x）在它们的交点（ 0， c）处具有公共切线设 h（ x） =f（ x） g（ x） （ ）求 c 的值，及 a， b 的关系式； （ ）求函数 h（ x）的单调区间； （ ）设 a 0，若对于任意 0， 1，都有 |h（ h（ | e 1，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）分别求得 f（ x）和 g（ x）的导数，由题意可知： 即可求得 c 的值及 a、 b 的关系； （ ）写出 h（ x）的表达式，求导，构造辅助函数 F（ x） =h（ x），由 a R， F（ x） 0，即可判断 h（ x）的单调性，求得 h（ x）的零点，并根据 h（ x）判断出 h（ x）的单调性； 第 18 页（共 22 页） （ ）由（ 当 x 0， 1时， h（ x）是增函数，将问题转化为： h（ x） h（ x） a e 1，即当 a 0 时， G（ a） =a（ e 1） 0，求得函数的单调性，求得 a 的取值范围 【解答】 解：（ I） 函数 f（ x） =g（ x） = x2+bx+c， 函数 f（ x） =g（ x） = 2x+b 曲线 y=f（ x）与曲线 y=g（ x）在它们的交点（ 0， c）处具有公共切线， ，即 ， c=1， a=b； （ 已知， h（ x） =f（ x） g（ x） =1 h（ x） =x a， 设 F（ x） =x a，所以 F（ x） =， a R， F（ x） 0，所以 h（ x）在（ ， +）上为单调递增函数 由（ I）得， f（ 0） =g（ 0）所以 h（ 0） =f（ 0） g（ 0） =0，即 0 是 h（ x）的零点 所以，函数 h（ x）的导函数 h（ x）有且只有一个零点 0 所以 h（ x）及 h（ x）符号变化如下， x （ ， 0） 0 （ 0， +） h（ x） 0 + h（ x） 极小值 所以函数 h（ x）的单调递减区间为（ ， 0），单调递增区间为（ 0， +） （ （ 当 x 0， 1时， h（ x）是增函数 对于任意 0， 1，都有 |h（ h（ | e 1，等价于 h（ x） h（ x） h（ 1） h（ 0） =a e 1， 等价于当 a 0 时， G（ a） =a（ e 1） 0， G（ a） =1 0， G（ a）在 0， +）上是增函数， 又 G（ 1） =0，所以 a 0， 1 19已知椭圆 M： + =1（ a b 0）的焦距为 2，点 D（ 0， ）在椭圆 M 上，过原点 O 作直线交椭圆 M 于 A、 B 两点，且点 A 不是椭圆 M 的顶点，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 H，点 C 是线段 中点，直线 椭圆 M 于点 P，连接 ）求椭圆 M 的方程及离心率； （ ）求证： 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）由题意知 c=1， b= ，求得 a=2，进而得到椭圆方程和离心率； （ A（ P（ 则 B（ C（ ），将 A， P 代入椭圆方程两式相减，由点 B，