8-5-6-7三向应力圆及广义虎克

8 4三向应力状态下的应力圆 一般三向应力状态单元体如图 一般平面应力状态下 通过旋转单元体都可以使其成为主单元体 一般三向应力状态单元体 通过旋转 也可以使其成为主单元体 1 绕Z轴旋转 使 xy yx为零 2 绕X轴旋转 使 yz zy为零 3 绕Y轴旋转 使 xz zx为零 主单元体 六个平面都是主平面 若三个主应力已知 求任意斜截面上的应力 首先分析平行于主应力之一 例如 3 的各斜截面上的应力 3对斜截面上的应力没有影响 这些斜截面上的应力对应于由主应力 1和 2所画的应力圆圆周上各点的坐标 同理 在平行于 2的各个斜截面上 其应力对应于由主应力 1和 3所画的应力圆圆周上各点的坐标 在平行于 1的各个斜截面上 其应力对应于由主应力 2和 3所画的应力圆圆周上各点的坐标 平行于s1的方向面 其上之应力与s1无关 于是由s2 s3可作出应力圆I 平行于s2的方向面 其上之应力与s2无关 于是由s1 s3可作出应力圆II 平行于s3的方向面 其上之应力与s3无关 于是由s1 s2可作出应力圆III 这样 单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力 可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示 在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力 即 三向应力状态的应力圆 三向应力状态特例分析 一点处应力状态中的最大切应力只是 中最大者 即 三向应力状态的应力圆 三向应力状态特例分析 至于与三个主方向都不平行的任意斜截面 弹性力学中已证明 其应力 n和 n可由图中阴影面内某点的坐标来表示 n 三向单元体上任意斜截面上的应力状态 都在三向应力圆中的阴影部分之内 三向单元体的应力圆中 最大剪应力 max是圆II的半径 在三向应力状态情况下 max作用在与 2平行且与 1和 3的方向成45 角的平面上 以 1 3表示 例 求图示应力状态的主应力和最大剪应力 应力单位为MPa 解 例 求图示应力状态的主应力和最大剪应力 应力单位为MPa 解 例 求图示应力状态的主应力和最大剪应力 应力单位为MPa 解 1 基本变形时的胡克定律 1 轴向拉压胡克定律 横向变形 2 纯剪切胡克定律 8 5广义胡克定律 2 三向应力状态的广义胡克定律 叠加法 8 5广义胡克定律 8 5广义胡克定律 3 广义胡克定律的一般形式 8 5广义胡克定律 对于二向应力状态 3 三个弹性常数之间的关系 刚 已知 试求铜块的三个主应力 Cu 体 a a 解 铜块处于二向应力状态 且 由广义胡克定律 得 铜块的三个主应力为 广义胡克定律应用 广义胡克定律 解 例 已知 a b 400 10 6 E 200GPa 0 2 D 120mm d 80mm 求T 注 三角公式 根据虎克定律 平面应力状态下由测点处的线应变求应力 平面应力状态下由测点处的线应变求应力 一般地说 要确定一点处的平面应力状态 必须测定三个方向的线应变 只有在确切知道该点处两个不为零的主应力之方向的情况下 才只需测定这两个主应力方向的线应变 8 6复杂应力状态下的变形比能 变形比能 体积改变比能 形状改变比能u uv uf 返回 怎样证明A A截面上各点的应力状态不会完全相同 2 平衡方法是分析一点处应力状态最重要 最基本的方法 论证A A截面上必然存在切应力 而且是非均匀分布的 关于A点的应力状态有多种答案 请用平衡的概念分析哪一种是正确的 3 怎样将应力圆作为一种分析问题的重要手段 求解较为复杂的应力状态问题 怎样确定C点处的主应力 4 一点处的应力状态有不同的表示方法 而用主应力表示最为重要 请分析图示4种应力状态中 哪几种是等价的 5 注意区分面内最大切应力与所有方向面中的最大切应力 一点处的最