条件概率公式与全概率公式

郑永冰数学与数量经济学院 条件概率公式与全概率公式 一 条件概率 简单地说 条件概率就是在一定附加条件之下的事件概率 从广义上看 任何概率都是条件概率 因为任何事件都产生于一定条件下的试验或观察 但我们这里所说的 附加条件 是指除试验条件之外的附加信息 这种附加信息通常表现为 已知某某事件发生了 例2 10个人为两张球票抽签 依次抽取 取后不放回 若已知第一个人抽到球票 求第2个人也抽到球票的概率 解1 设A 第一个人抽到球票 B 第二个人抽到球票 则所求为 记为 但是 需要注意 一般地 例3设在10个统一型号的元件中有7个一等品 从这些元件中不放回地连续取两次 每次取一个元件 求在第一次取得一等品的条件下 第二次取得的也是一等品的概率 条件概率的一个重要应用便是下面的乘法公式 二 乘法公式 记甲取到正品为事件A 乙取到正品为事件B 则 由乘法公式即得 P AB P A P B 从问题的实际意义理解 就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响 事件的独立性 例如箱中装有10件产品 7件正品 3件次品 甲买走1件正品 乙要求另开一箱 也买走1件正品 定义若事件A与B满足P AB P A P B 则称A与B相互独立 简称A与B独立 推论1A B为两个事件 若P A 0 则A与B独立等价于P B A P B 若P B 0 则A与B独立等价于P A B P A 证明 A B独立P AB P A P B A P A P B P B A P B 注意从直观上讲 A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响 证明不妨设A B独立 则 其他类似可证 推论2在A与B 与B A与 与这四对事件中 若有一对独立 则另外三对也相互独立 注意判断事件的独立性一般有两种方法 由定义判断 是否满足公式 由问题的性质从直观上去判断 设有n个事件A1 A2 An 若对任何正整数m 2 m n 以及 则称这n个事件相互独立 若上式仅对m 2成立 则称这n个事件两两独立 注意从直观上讲 n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响 定义 n个事件的相互独立性 它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件后 所得的n个事件也是相互独立的 性质若n个事件相互独立 则 它们积事件的概率等于每个事件概率的积 加法公式的简化 若事件A1 A2 An相互独立 则P A1 A2 An 1 P A1 P A2 P An 例1 2 3三个元件串联的电路中 每个元件发生断电的概率依次为0 3 0 4 0 6 且各元件是否断电相互独立 求电路断电的概率是多少 解设A1 A2 A3分别表示第1 2 3个元件断电 A表示电路断电 则A1 A2 A3相互独立 A A1 A2 A3 P A P A1 A2 A3 1 0 168 0 832 1 P A 0 6 P A B 0 84 P A 0 4 则P B 练习 三 全概率公式和贝叶斯 Bayes 公式例4设袋中有3个白球 2个黑球 不放回抽取 每次到一个 求第三次取出的是白球的概率 解 记A 第三次取出的是白球 贝叶斯 Bayes 公式 例5某工厂由三个车间生产同一种产品 它们的产品占全厂产品的比例分别为25 35 40 并且它们的废品率分别是5 4 2 今从该厂产品中任取一件 求是废品的概率是多少 若已知取出的一件产品是废品 它最大可能是哪个车间生产的 最大可能由第2个车间生产 课上练习小王忘了朋友家电话号码的最后一位 数 故只能随意拨最后一个号 求他至多拨三次 由乘法公式 设事件表示 三次拨号至少一次拨通 表示 第i次拨通 则 解 可拨通朋友家的概率 例小王忘了朋友家电话号码的最后一位 数 他只能随意拨最后一个号 他连拨三次 由乘法公式 设 表示 第i次拨通 解一 求第三次才拨通的概率 解二 从题目叙述看要求的是无条件概率 产生误解的原因是未能仔细读题 未能分清条件概率与无条件概率的区别 本题若改叙为 他连拨三次 已 知前两次都未拨通 求第三次拨通的概率 此时 求的才是条件概