习题以及解答03.doc

Chapter 1 质点运动学一、讨论题：1. 已知一直线运动的质点在t1、t2两时刻的速度分别为v1和v2，问是否能求出这段时间内的平均速度？2. 一质点做抛体运动（忽略空气阻力），则：（1）速率变化率是否变化？（2）加速度是否变化？（3）法向加速度是否变化？（4）轨道何处曲率半径最小？数值是多少？二、计算题3路灯离地面高度为H，一个身高为h的人，在灯下水平路面上以匀速度v0步行，如图1.3所示，求当人与灯的水平距离为x时，他头顶在地面上的影子移动速度的大小。图1.34如下图1.4所示，一卷扬机的鼓轮自静止开始作匀角加速转动，水平绞索上的A点经3s后到达鼓轮边缘上的B点处。已知AB=0.45m，鼓轮半径R=0.5m。求A点到达最低点C时的速度与加速度。图1.4三、证明题5在地面上某处用枪瞄准挂在射程之内一棵树上的靶。当子弹射离枪口时，靶恰好自由下落。试证明子弹总能正好击中自由下落的靶。Chapter 2 牛顿运动定律一、讨论题：1.如下图2.1所示，设物体沿着光滑圆形轨道下滑，在下滑过程中，下面哪种说法是正确的？ （1）物体的加速度方向永远指向圆心（2）物体的速率均匀增加（3）物体所受合外力大小变化，但方向永远指向圆心（4）轨道的支持力大小不断增加。图2.12.一单摆挂在木板的小钉上(摆球质量m2滑轮质量及轴上摩擦均不计，此时重物的加速度的大小为a今用一竖直向下的恒力F=m1g代替质量为m1的物体，可得质量为m2的重物的加速度为的大小a，则(A) a= a (B) a a (C) a a (D) 不能确定.图2.4三、填空题5.假如地球半径缩短 1，而它的质量保持不变，则地球表面的重力加速度g增大的百分比是_。6.一小珠可以在半径为R的竖直圆环上作无摩擦滑动今使圆环以角速度w 绕圆环竖直直径转动要使小珠离开环的底部停在环上某一点，则角速度w 最小应大于_。图2.6四、计算题7.如图2.7，质量为M的小三角形物体A放在倾角为a的固定斜面上，在此三角形物体上又放一质量为m的物体B，A与B间及A与斜面间均光滑接触，设开始时，A与B均为静止状态。当A沿斜面下滑时，求A，B相对地面的加速度。图2.78.有一条单位长度质量为的均质细绳，开始时盘绕在光滑的水平桌面上，现以一恒定加速度a竖直向上提绳。当提起的高度为y时，作用在绳端的力为多少？若以一恒定速度v向上提绳时，仍提到y高度，此时作用在绳端的力又是多少？图2.89.电梯以加速度a向上做匀加速直线运动，电梯内桌面上放置一物体m与另一物体N通过定滑轮由不可伸长的轻绳相连，如下图2.9。若滑轮质量不计，滑轮与桌面均光滑，球M相对地面的加速度以及桌面受到的压力、绳子的张力。mMa图2.9课后思考：10牛顿第二定律可表达为Fdt=d(mv),有人把它用于正在自由空间（F=0）发射的火箭，因火箭质量随时间变化，可看作是变质量物体，得Fdt=mdv+vdm=0，由此可求得火箭速度为v(t)=m0v0/m(t)。这是否正确？为什么？Chapter 3-5 动量、能量、角动量一、讨论题：1.以下说法是否正确，为什么？（1）动量若在某惯性系中守恒，则在所有惯性系中均守恒 ；（2）冲量和功都是过程量，其值与参考系无关；（3）孤立的保守系统机械能一定守恒，反之亦然；（4）在某惯性系中机械能守恒, 在另一个惯性系中机械能不一定守恒。2.在坐标xOy中，有一质量为m的静止物体，现有一恒力F=F 作用其上t时间。另有一坐标系xOy相对于xOy以u=-u 作匀速运动，试回答以下问题：（1）在这两个坐标系中F的功是否一样？各为多少？（2）在此两个坐标系中，动量定理和动能定理是否都成立？3.水平传送皮带受电动机驱动，保持匀速运动。现在传送带上轻轻放置一砖块，则在砖块刚被放上到与传送带共同运动的过程中，应是：（1）摩擦力对皮带做的功与摩擦力对砖块做的功等值反号。（2）驱动力的功与摩擦力对砖块做的功之和等于砖块获得的动能。（3）驱动力的功与摩擦力对皮带做的功之和为零。（4）驱动力的功等于砖块获得的动能。（5）以上结论都不对。4.如下图1所示，有一小物体放在光滑水平桌面上，有一绳，其一端连接此物体，另一端穿过桌面上的一小孔。该物体原以一定的角速度在桌面上以小孔为圆心作圆周运动。在小孔下缓慢地往下拉绳过程中，物体的动能、动量和角动量守恒吗？图15.判断下列有关角动量的说法的正误：（1）质点系的总动量为零，总角动量一定为零。（2）一质点作直线运动，质点的角动量一定为零。（3）一质点作直线运动，质点的角动量一定不变。（4）一质点作匀速率圆周运动，其动量方向在不断变化，角动量也变化。6. m,vVABxM,RmM,R图2如上图2所示：处处光滑，地球、弧座和小球组成的系统机械能守恒吗？弧面支持力对小球做功吗？正功还是负功？二、 计算题：7一吊车底板上放一质量为10kg的物体，当吊车底板从静止开始加速度上升时，其加速度大小为a=3+5t(SI)，求2s内吊车底板给物体的冲量大小及2s内物体的动量增量大小。8如下图3所示，质量均匀分布的柔软细绳竖直地悬挂着，绳的下端正好接触到水平桌面上。如把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试计算绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力与已落到桌面上绳重量的比值。 图39.在光滑的水平面上，水平放置一固定的半圆形屏障，有一质量为m的滑块以初速度v0沿切向进入屏障一端，如下图4所示，设屏障与滑块之间的摩擦系数为。试求当滑块从屏障另一端滑出时摩擦力做的功。图410两个质量均为m的质点，用一根长为2a的质量可以忽略不计的轻杆相连，构成一个简单的质点组。如图5，两质点绕固定轴Oz以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方向。图511.一质量为M、倾角为的斜面，放在光滑水平面上，物体m从高为h处由静止开始无摩擦地下滑，如下图6。求物体m从h处滑到底端这一过程中对斜面做的功W及斜面运动的距离S。图612.一个倔强系数为k的竖直弹簧，一端固定，另一端挂一个质量为M的圆盘，另有一质量为m的圆环在圆盘上方H处，如下图7，今令圆环自由下落并与圆盘粘在一起振动，求振动的振幅。图713.将地球看作是半径R=6400km的球体，一颗人造地球卫星在地面上空h=800km的圆形轨道上，以v1=7.5km/s的速度绕地球运动。今在卫星外侧点燃一火箭，其反冲力指向地心，因而给卫星附加一个指向地心的分速度v2=0.2km/s。求此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多少千米。Chapter 6&7 质心力学、刚体力学一、讨论题：1. 以下说法正确否？为什么？（1）质心运动定理只对惯性参考系成立；（2）对于太阳和地球组成的系统，在没有第三者作用的条件下，质心系是惯性系，日心系也是惯性系。2.如图1，杆和盘质量分布都均匀。此系统的质心位置在何处？质心和重心一定重合吗？图13. 刚体绕一定轴做匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？两个加速度的大小是否变化？4.有两个力作用在一个有固定轴的刚体上：（1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；（2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；（3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定为零；当这两个力的合力矩为零时，它们的合力也一定为零。5.一个内壁光滑的圆环形细管，正绕竖直光滑固定轴OO自由转动。管是刚性的，转动惯量为I。环的半径为R，初角速度为0，一质量为m的小球静止于管内最高点A处，如图2，由于微小干扰，小球向下滑动。试判断小球在管内下滑过程中，系统机械能、小球动量和小球对OO轴的角动量是否守恒？图26.如图3,画出瞬心。图3二、计算题：7.如图4，质量均匀分布的柔软细绳竖直地悬挂着，绳的下端正好接触到水平桌面上。如把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试计算绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力与已落到桌面上绳重量的比值。图48. 有一细棒长为l，质量为m1均匀分布，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上。它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的小滑块，质量为m2，以水平速度v1，从左侧垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，碰撞时间极短。小滑块在碰撞后的速度为v2 ,方向与碰前相反，如图5，求从细棒在碰后开始转动到停止转动的过程中所用的时间。图59 一长为l、质量为m1的均匀细棒，静止于光滑水平桌面上，一质量为m2的小球以初速v1与棒的端点垂直的做弹性碰撞，其中，若m1=3m2。问：碰撞结束后杆的角速度？10.一轻绳绕过一半径为R，质量为M/4的滑轮。质量为M的人抓住了绳的一端，而在绳的另一端系了一个质量为M/2的重物，如图6，求当人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？图611.质量为M、半径为R的匀质圆盘可绕过其中心O且与盘面垂直的光滑固定轴在竖直平面内旋转，如图7。质量为m的粘土块以初速度斜射在静止的圆盘顶端P点，并与圆盘粘合。与水平面夹角为=60，M=2m。求：当P点转到与水平x轴重合时，圆盘的角速度和轴O对圆盘的作用力。图712. 质量分别为M1,M2，半径分别为R1、R2的两均匀圆柱，可分别绕它们本身的轴转动，二轴平行。原来它们沿同一转向分别以10，20的角速度匀速转动，然后平移二轴使它们的边缘相接触，如图，求最后在接触处无相对滑动时，每个圆柱的角速度1、2.三、证明题：13.证明两质点组成系统的总角动量等于，其中和是质心位矢和质心速度， 和是质点2相对于质点1的位矢和速度，M是总质量，是两质点的约化质量。Chapter 8 振动一、讨论题：1. 判断下列运动是否是简谐振动？并说明理由？（1）拍皮球时，皮球的运动。设球与地面的碰撞为弹性碰撞。（2）细线悬挂一小球，令其在水平面内做匀速率圆周运动。（3）小滑块在半径很大的光滑球面内做小幅度滑动。（4）在匀加速上升的升降机顶上竖直悬挂的单摆的运动。图 8.12.将单摆拉到与竖直夹角为后，放手任其摆动，则是否就是其初相位？为什么？又，单摆的角速度是否是谐振动的圆频率？3.判断以下说法是否正确，为什么？（1）谐振动一定是无阻尼自由振动，无阻尼自由振动也一定是谐振动。（2）质点做简谐振动时，从平衡位置运动到最远点需时1/4周期，因此走过该距离的一半需时1/8周期。4.（1）有两个弹簧振子，其重物质量相同，即 m1=m2，但倔强系数k1k2,已知振动周期T1=2T2,且又知A1=2A2，说明它们的振动能量是否相等。（2）若m1m2，但倔强系数k1=k2, T1=2T2, A1=2A2，说明它们的振动能量是否相等。二、计算题：5.一质点沿x轴作简谐振动，平衡位置在x轴的原点，振幅A=3cm，频率=6Hz。（1）选质点经过平衡位置且向x轴负方向运动时为计时零点，求振动的初相位。（2）选位移为-3cm时为计时零点，写初简谐振动的表达式。（3）以上两种初始态选取方法，当质点达到正向最大位移时的相位各是多少？二者是否相同？6.一宇航员在月球表面用一轻弹簧秤称岩石样品，此弹簧秤在10cm长的刻度尺上读数从0到10N，他秤一块月球岩石的读数为4N，问怎样能够估算出月球表面的自由落体加速度？还需一什么工具？7.老式钟摆形状如图8.2所示，杆和圆盘均为匀质，质量均为m，圆盘半径为R，杆长为3R。钟摆绕杆端O的水平固定光滑轴在竖直平面内作小幅度摆动，求摆动周期。图8.28.如图8.3所示,两根相同的弹簧与质点m连接，放在光滑水平面上。弹簧另一端各固定在墙上，两端墙之间的距离等于弹簧原长的2倍，令m沿着水平面振动，当m运动到二墙间中点时，将一质量为M的质点轻轻粘在m上（设粘上m前，M的速度为0）。求M与m粘上前后，振动系统的圆频率比及振幅比。图8.39.判断:将弹簧振子放在与水平线成角的光滑斜面上,问在斜面上靠近平衡位置O附近的振动是否仍是谐振动?圆频率是多少?Chapter 9 波动一、讨论题：1有人说，如果波从O点传向B点，则B点开始振动的时刻比O点晚x/u，即O点t时刻的相位在B点是t+x/u时刻才出现，因此B点的振动表达式应为，你的看法如何？2弹性波在媒质中传播，取一质元来看，它的振动动能和振动势能与自由弹簧振子的情况有何不同？这又如何反映了波的传播能量？3声源向着观察者运动和观察者向声源运动都使观察者接收的频率变高，这两种过程在物理上有何区别？4有人认为频率不同、振动方向不同、相位差不恒定的两列波不能叠加，所以它们不是相干波，这种看法对吗？说明理由。5波的能量与振幅的平方成正比，两个振幅相同的相干波在空间叠加时，干涉加强的点的合振幅为原来的2倍，能量为原来的4倍，这是否违背了能量守恒定律？6一弦上驻波的表达式为，若弦线上的质量线密度为（1）分别指出振动动能势能或动能总是为零各点的位置（2）概述驻波能量的特点二、计算题：7.一平面简谐波以速度u沿着x轴正向传播，在t=t时波形曲线如图9.2所示，求原点O的振动方程。图9.28.一平面简谐波在媒质中以速度u=20m/s自左向右传播。已知波线上某点A的振动表达式=3cos(4t-)，D点在A点右方9m处。（1）若取x轴方向向左，并以A为坐标原点，试写出波函数，并写出D点的振动表达式。（2）若取x轴方向向右，以A点左方5m处的O点为原点，写出波函数及D点振动表达式。9.一固定波源在海水中发射频率为0的超声波，射在一艘向探测仪驶来的潜艇上反射回来。反射波和发射波的频率差为，潜艇运动速度远小于海水中的声速u，则潜艇运动速度为？10.如图9.3所示为一向右传播的平面简谐波在t时刻的波形图，BC为波密媒质的反射面，波在P点反射，试画出同一时刻反射波的波形图（设振幅相同）。 图 9.311.如图，两列平面简谐横波为相干波，在两种不同媒质中传播，两媒质的分界面上P点相遇。波的频率为=100Hz，振幅A1=A2=1.0010-3m,1的相位比2的相位领先/2，波在媒质1中波速u1=400m/s,在媒质2中的波速u2=500m/s，r1=4m,r2=3.75m,求P点的合振幅。12.设入射波的表达式为=Acos2(t/T+x/),在x=0处发生反射，反射点为一固定端，求：（1） 反射波的表达式；（2） 合成波的表达式；（3） 合成波的波腹、波节位置。Chapter 1 质点运动学习题解答一 讨论题1.1 一段时间内位移的平均变化率称为平均速度，即，题中给出了两个时刻的瞬时速度，可在笛卡尔坐标系v-t图中作出图形，其曲线与时间轴围成的面积即为位移，有正负之分，由于题目中未给出该直线是匀加速直线运动，如下图所示有无数种路径，故无法求得这段时间内的平均速度。v2v1、Ot2t11.2 忽略空气阻力后，质点在运动过程中就只受到重力作用，整个运动为加速度恒定的曲线运动，将速度进行垂直于水平2个方向上的分解，即：VxVVy（1）假设水平方向的初速度V=V0，竖直方向上初速度V=V1，经过时间t，总速度大小V=，明显常数，所以速度变化率是变化的；（2）质点只受到重力作用，故加速度大小等于g，方向竖直向下指向地心；（3）合加速度即为重力加速度，运动过程中速度方向与竖直线夹角一直在变化，故得物体的法向加速度也一直在变化；（4）在物体过了最高点后，往下坠落，最终以近乎直线的轨迹下落，曲率半径趋于无限大，故在斜上抛时，当物体达到最高点时轨道曲率半径最小，数值。二 计算题HhX1X1.3 根据图中几何关系，则有x1H=xH-h即x1=xH-hH 根据定义，人影顶端的速度为V2=dx1dt=HH-hdxdt=HH-hv0， 结果表明，人影顶端以该速度作匀速运动。1.4 由于卷扬机鼓轮做匀加速运动，即AB段可以看做是加速度恒定的直线运动即 SAB=at02(1)，同理SAC=SAB+0.5=at2(2)，其中SAB=0.45m，t0=3s(3)，由（1）（2）（3）式得到t=6.36s，线加速度a=0.1m/s2，Vc=at=0.16.36=0.636m/s 。1.5 当子弹射离枪口时，子弹获得一定的向前的初速度v0，之后子弹将只受到重力作用，将速度矢量分解成水平向前的速度v0和垂直向下的速度v1，可以发现v1=0。而此时靶正好自由下落，与子弹垂直方向上的加速度以及初速度相同，所以无论经过多长时间，在靶落地之前子弹在垂直方向上的路程与靶下落的距离始终是相等的，所以子弹总能正好击中自由下落的靶。Chapter 2 牛顿运动定律习题解答一 讨论题2.1 （1）错 由于轨道光滑，下落过程物体受到重力和圆形轨道对于它的支持力，其中支持力方向垂直于物体指向圆心，所以合力方向不会一直指向圆心，根据牛顿第二定律，物体的加速度方向不会永远指向圆心；（2）错 将重力分解成切向和指向圆心2个方向上的分力，可知切向分力由于下滑过程中角度的不断变化而不断变化，即切向加速度不断变化，故速率不是均匀增加的；（3）错 由（1）知，合力的方向不可能一直指向圆心；（4）对 下滑过程中速度大小一直增大导致向心合力一直增大，而重力沿半径方向背离圆心的分力一直变大，故轨道的支持力将会不断增加。2.2 当木板自由落体时候，两者的重力都提供了它们在竖直方向上做自由落体运动，故此时相当于在水平光滑平面内，有一绳子拴住一个小球，给小球一个初速度，所以此时摆球将相对于板做匀速圆周运动。二 选择题2.3 要使得小猴的离地高度不变，即小猴子相对于地面是静止的，这就相当于有一个恒力拉住它，力大小F=mg，这力由它与棒子的摩擦力提供，根据牛顿第三定律，杆此时受到的合力F=（M+m）g，加速度a=，选C2.4 由题意可知滑轮质量及轴上摩擦不计，设原来绳子的力为F，则有，得到F=m2）现用一个等于m1重量的恒力代替，即m2受到的力为m1gF，故a a，选B三 填空题2.5 g=，现在R，=0.99R，故代入可得到g，=1.02g2.6 在环上建立旋转坐标系(非惯性系)，则惯性离心力的大小为四 计算题2.7 对于B物体来说，在未脱离A物体前只是在竖直方向上受力，故只在竖直方向上运动，而A物体则沿斜面下滑，沿下面做匀加速下滑对A、B分别受力分析：AMgNFNBNmg根据牛顿第二定律列出方程：B: （1）A: （2）由（1）（2）解得 方向竖直向下 方向沿斜面向下，若A、B分离则各自以大小、沿斜面向下的加速度匀加速下落2.8 以被提起的绳段y为研究对象，建立坐标系oy，绳段受到和重力的作用，如图2.8所示,由牛顿第二定律有：即： (1)当恒定时，作用在绳端的力为： (2)当恒定时，则这时作用在绳端的力为：。2.9 以电梯（非惯性系）为参照物受力分析如图所示，其中F*、F1*分别为m、M受到的惯性力，F*=-ma，MTMgF*mF1*mgNTF1*=-Ma，列出牛顿方程得m：水平方向 T=ma竖直方向 N-mg- F*=0M：竖直方向 Mg+ F1*-T=M联立方程得到M相对电梯的加速度=利用加速度交换得=-= ，桌面所受压力为N=m（g+a）绳中张力 T= 2.10 错 假设火箭在t时刻的总质量为M，速度为v，在t+dt时间内，在质量dm的燃料变成气体，并以相对火箭以u的速度向后喷出，而火箭质量减为M-dm，速度增加为v+dv,则t时刻和t+dt时刻的动量分别为忽略dmdt，可得系统动量的增量设火箭受到的合外力为F，根据动量定理得其中，所以就有：现在F=0，根据上式积分可得而题中给出的解法错误在于，动量的变化量应该是：，而不是题中的Fdt=mdv+vdm。Chapter 3-5 动量、能量、角动量习题解答一 讨论题1 （1）正确 选定一惯性系，若在该参照物下系统动量守恒，此时，换另一惯性系，则系统相对于新的惯性系所有速度都变化了一个相同等向的相对速度，这对动量等式m1v1+m2v2+=m1v，+m2v，+两边增减量相同，所以系统仍守恒。(2)错误 它们是过程量，但冲量为矢量，与参考系有一定的关系，而功，例如摩擦力做功，它与路程有关，不同的参考系必然会影响它的大小，所以这种说法是错误的。（3）错误 A外+A内非+A内保=Ek，所以只要A外+A内非=0，机械能就守恒，所以反之不一定正确。（4）正确 例如，在地面上悬挂一个单摆。我们把摆球和地球当作一个系统，由于摆绳对摆球的拉力（外力）始终与摆球的运动相垂直，所以A外=0，而系统又不存在非保守内力，故机械能是守恒的。但是在一个前进方向与摆球摆动平面相平行的匀速行驶的车厢中看那个单摆，那么摆球在任何时刻都附加了一个向后的运动。因此，绳对摆球的拉力就不再与摆球的运动相垂直，从而 A外也就不再为零了（A内非保仍然为零）。这样，在车厢这个惯性系中看，摆球-地球系统的机械能也就不守恒了。2（1）不一样在xoy坐标中， 在中，物体相对该坐标系的初速度为u，方向向左，所以在该坐标系中，W=F*S=（2）在xoy坐标中， ，动量定理成立，动能定理也成立同理在中，（取向右为正），动量定理成立，动能定理也成立综上，在此两个坐标系中，动量定理和动能定理都成立3由于刚放上去时候，砖块的速度为零，故在砖块和皮带达到共同运动之前两者会有一段相对滑动的距离，而摩擦力做功与路径有关，也即摩擦力对皮带做的功与摩擦力对砖块做的功不相等，所以（1）不对；而砖块水平上就受到皮带对它的摩擦力，摩擦力对砖块做的功之转变成了砖块获得的动能，（2）不对；（3）明显不对，因为砖块同时获得了动能，故驱动力的功与摩擦力对皮带做的功之和不可能为零；驱动力做的功一部分转变成了砖块的动能，一部分由于有相对滑动的存在被摩擦力做功消耗以热能方式消耗（4）不对；所以综上以上结论都不对。4由于是缓慢的往下拉绳，故可以将这一过程看做是准静态过程，并且该过程中绳子的作用力始终与物体的速度方向垂直，不做功，故物体的动能守恒；物体受到的合外力矢量和不为零，故动量不守恒；在缓慢拉绳的过程中绳的力F始终指向绳子的拐点，也即力矩始终为零，所以物体的角动量守恒。5（1）错 力矩与选取点的位置有关，故即使质点系的总动量为零，但选取不同的参考点，质点系的总角动量就不一定为零（2）错 角动量的大小方向是根据参考点来说的，质点做直线运动，若选直线外一点做参考，则质点的角动量就不为零（3），大小是由质点与所选取点的距离大小和夹角大小共同决定的，由（2）知该说法也是错误的（4），由右手螺旋定律可知，角动量方向垂直于圆周平面，又由于质点做匀速圆周运动，所以角动量大小方向都不变。6地球、弧座和小球组成的系统，水平支持力不做功，小球对弧座的正压力与弧座对小球的支持力做功之和为零（一对元功之和与参考系的选择无关，则一对力的总功之和A=A1+A2也与参考系的选择无关，所以该系统中，以弧座为参考系，它对小球的作用力始终垂直于小球的速度方向，故做功之和为零），所以整个系统的机械能守恒；小球相对对面在水平方向上有了一段位移，小球对弧座的正压力做正功使得弧座获得了向左的动能，而小球对弧座的正压力与弧座对小球的支持力做功之和为零，故弧座对小球偏右的支持力做功，而且是做正功。二 计算题7 ，根据题意，a=3+5t，得到F=ma+mg所以=356N.S。2s内恒定的重力冲量为I1=mg（t2-t1）=10*9.8*2=196 N.S，dt时间内作用于质点上外力的冲量等于在同一时间内质点的动量的增量，所以P=I-I1=160 N.S。8方法一：设绳单位长度质量为m，绳子总长为l，由题意知，绳子做自由落体运动，经过t秒后，绳子下降的距离S=0.5gt2，桌子上已有的绳子质量m0=msg=0.5mgt2此时绳子的速度V0=gt，再经过一个极短时间t，在这极短的时间内，绳子前端又有一小段绳质量速度由V0变为0（这极短时间速度近似都看做V0）停到了桌子上，S，=0.5g(t+t)2-0.5gt2=0.5gt2+gtt,对于那一小段绳子，应用动量定理得Ft=mS，V0得到F=0.5mg2t2+mgt（0.5gt+gt），所以比值=1+=3+当t无限趋近于0时，比值=3方法二：设绳单位长度质量为，绳子总长为l变质量运动方程为取已落地的绳子为主体，其质量为这段绳子的速度故加速度主体所受外力为重力mhg和地面支持力N，即在dt时间内有质量为dm的绳子作为添加物加入主体，添加物dm的速度为将以上各量代入变质量运动方程，可得故地面支持力所以9当物体在圆周内运动速度为V时，根据牛顿定律FN= ，所以摩擦力Ff= FN=m ，作变量代换，其中= = ，代入得到Ff=FN=m =，又因为FN= ，综合得到将它两边同时积分得到，积分得到滑块滑出时速度v=v0，由动能定理可得摩擦力做的功A=mv2-mv02= 10以O为参考点，两质点的位矢分别为和，按定义，质点组的角动量因为与垂直，的大小为a，故的大小为的方向由的方向决定，方向：在杆与轴形成的面上，与z轴夹角为。11假设物体相对于斜面的运动速度为u，方向沿斜面向下，斜面相对于地面的运动速度为v，方向向右取物体与斜面为一个系统，在水平方向上的受力为零，故根据动量守恒得到（取地面为惯性系）m（ -v）=Mv （1）其中（-v）为物体相对于地面的水平速度物体相对于地面的速度为0= + 又对于系统使用机械能守恒得mV02+ Mv2=mgh（2），其中V02=u2+v2-2uvcos由（1）得m =（m+M）v（3）将（3）两边平方得m2u2cos2=（m+M）2v2（4）分别把（1）（3）（4）代入（2）综合即得到W=Mv2= （2）假设物体与斜面之间的相互的支持力的水平分力为F对于斜面F*S=Mv2（1）对于物体F*（-S）=m（ucos-v）2（2）（1）（2）两式相除，并结合上问中的动量守恒式即得S= 12 物体m自由下落，到达M时的速度为V，则有2gH=V2-02,得到V=2gH碰撞的瞬间两个物块之间动量可看做守恒，得到mV=(m+M)V1设开始时弹簧伸长为L，加上物体m后，弹簧加长了x，此时达到平衡位置O，此后两物块做减速运动，直至最大振幅A，从两物体粘上到最大振幅A处，系统机械能守恒，得到：，其中kL=Mg，k（L+x）=（M+m）g，综上可以得到13 在卫星外侧点燃火箭过程中，该卫星受到的冲力指向地心。此外，卫星在运动过程中始终受到方向指向地心的万有引力。所以，无论在点燃火箭过程中还是过程后，该卫星受到的外力对地心的力矩恒为零，故卫星对地心的角动量守恒，不过在点燃火箭后，从地心参考系看，该卫星的运动轨道由圆变为以地心为一个焦点的一个椭圆。设点燃火箭前卫星与地心的距离为r，点燃火箭后卫星在最低点或者最高点时与地心的距离为r，这时卫星的速度为v，两者垂直，则根据角动量守恒得mvtr=mvr，（1）点燃火箭发射后，卫星只受到地球的万有引力作用。取地球与卫星为一系统，则系统的机械能守恒。设后来卫星的速度为v0，由题意有，（2）根据机械能守恒定律有（3）其中G为万有引力恒量，M为地球的质量。利用万有引力和牛顿第二定律可得（4）由（1）-（4）可得解方程得到显然，所以h1=-R=997kmh2=-R=613km，即卫星后来轨道距离地面的最高点和最低点分别为997km、613kmChapter 6&7 质心力学、刚体力学习题解答一 讨论题1 （1）正确 质心运动定理通常说的是质心动量变化定理，有时也包括由牛顿第二定律直接导出的如动能变化定理、机械能变化定理和质点角动量定理等，但值得注意的是，牛顿定律只适用于惯性参考系，所以在此定义上，质心运动定理也只适用于惯性参考系。（2）错 在没有第三者作用的条件下，严格意义上选取其质心系的日-地系统才是惯性系，只是因为M太阳M地球，故一般也就可以说日心系也是惯性系。2均匀杆的质心在它的几何中心，即中点处，下端圆盘质心位置在其几何中心圆心上，分别将它们质量集中到对应的质心上，根据质心“质点化”的概念，以杆与圆盘的接触点为坐标原点，通过计算得一般情况下，质心与重心的位置不重合。尺寸不十分大的物体放在重力场中，它上面各质元所在处的重力加速度g相同。这时物体的质量分布和物体的重力分布是一致的，物体的质心和重心位置重合。复杂物体重心位置可以由实验（悬挂法）测定，因此，利用质心与重心重合这一点也可以由实验测定复杂物体的质心位置。如果物体各处的重力加速度不同，则质心和重心不再重合，而且当物体或质点组与地球相距极远时，可以认为它们不再受重力，重心也就失去了意义，但是质心的概念却仍然有效。由此可见，质心的概念比重心的概念更具有普遍的意义。3设角加速度为，刚体上各点速度方向沿切线方向，大小，又，故刚体上任一点存在切向加速度，并且，切向加速度大小不变；法向加速度，由于存在角加速度，故法向加速度大小不断在变化4（1）错 两个力平行于轴，但若他们方向相反则合力矩不为零（2）对 当两个力都垂直于轴同向，在轴的两侧并且距离轴的距离相等，则它们对轴的合力矩相等（3）错 由（1）（2）可知，该说法显然不成立5选地球、小球和环组成的系统，由于小球滑动过程中只有重力做功，所以系统机械能守恒，小球在下落过程中所受合外力不为零，所以小球的动量不守恒；对于小球来说，在下落过程中所受合力对OO，轴的力矩不为零，故其角动量不守恒。O点6刚体做平行运动时，基面上必定存在一个特殊点O，其瞬时速度为零，该点称为瞬心。如图所示O点若以A为基点，若以B为基点，由该两个方程即解得图示O瞬心位置。二 计算题7设绳子的线密度为y，全长为l，将整个绳子视为研究对象，则绳子受重力为ylg和地面的支持力N1，则有ylg-N1=ylac，其中，此时必须先求出绳子的质心位置hc根据质心定义得hc=式中yhl一项是已落地的一段绳子对质心位置的贡献，一项是自由下落的一段绳子对质心位置的贡献。质心速度为，质心加速度为式中，因此，将上式代入质心定理，可得N1=3yhg，由牛顿第三定律得，即任意时刻作用于桌子的压力与已经落到桌子上绳子的重力的比值为3。8碰撞的瞬间，以滑块和细杆为研究对象，显然系统所受的外力对轴无力矩作用，由角动量守恒得撞击前L0=m2v1l撞击后L1=，由L0=L1得，后杆在平面内做匀减速运动，由转动定律可得角加速度为，得到AOYXx9解： 取如图所示坐标系，设小球与棒子的右端点做弹性碰撞，碰撞后绕图中的A点旋转，设OA距离为x（取向上顺时针为正方向）碰撞的瞬间，以滑块和细杆为研究对象，显然系统所受的外力对轴无力矩作用，由角动量守恒得撞击前L0=m2v1（l-x）（1）撞击后L1=（2），其中，L0=L1，m1=3m2（3）细棒的中心平动速度为（4）由于碰撞时候系统水平面内部受力，所以动量守恒（4）小球与棒的碰撞为弹性碰撞，所以（5）综上（1）（2）（3）（4）（5）， =12v1/7l10选人、滑轮与重物组成的系统为研究对象，系统所受到的对滑轮转轴的外力矩为M，=MgR-0.5MgR=0.5MgR设u为人相对于绳子上爬的速度，v为重物上升的速度，则该系统对轴的角动量为考虑到绳子与滑轮之间无相对滑动，则有v=R即根据角动量守恒定理M,= ,即，因为题设人相对于绳匀速上爬，所以du/dt=0，故重物上升加速度11 (1)选取粘土块与圆盘作研究对象，碰撞前后只受到重力作用过圆心，M=0，根据角动量守恒得L0=mvcosRL1=T=（MR2+mR2）0L0=L1得0= 再取粘土块和木盘、地球为研究对象，此时在转动过程中只有保守力作用，故系统机械能守恒，得E0= E1= E0=E1得= (2) AOMm圆盘的质心在圆心，小粘块看做一个质心，由质心定理得两者的质心A在距离O点指向粘块处，对于新的质心3mgFxFy由质心定理得（取顺时针向下为正）其中为向心加速度，为角加速度角加速度由转动定律即 得到综合（1）（2）得到 12分别应用各自的定轴转动定理，注意到相互接触过程中摩擦力大小f1=f2，于是得两边积分从初态到终态，得最终稳定时v1=v2，即，据此可以得到m1V2r21CX13. m2r1cr2cV1r2r1rcO如上图所示，质点组对惯性参考系固定参考点O的总角动量L0，等于质心对该点的角动量Lc与质心系中质点组对质心C的角动量Lrc的矢量和，即在该题中只需证明即可应用上图几何关系质点组在质心系中的总动量恒为零，即则根据速度合成公式，质点m2在质心系中的速度为根据质心动量等于质点组的总动量，则质点速度故有式中为质点2对于质点1的速度，则有，式中为约化质量最后得到，得证。Chapter 8 振动习题解答一 讨论题1判断一个物体是否做简谐运动，可以从动力学和运动学特征来分析动力学特征：F=-kx运动学特征x（t）=Acos（wt+j）（1）按题意，皮球在升降过程中只受不变的重力作用，不符合其动力学特征，所以该运