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双曲线定义及其标准方程 内容选自数学选修1 1第二章 主讲人 长沙县一中刘婷 平面内与两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 回顾 思考 思考 F2F 2a F1F 2a 由 可得 类比椭圆的定义 你能给出双曲线的定义吗 思考 通常 F1F2 记为2c c 0 常数记为2a a 0 在定义中 若把 绝对值 去掉 轨迹只能是双曲线的一支 注意 由定义知 0 2a F1F2 即0 2a 2c 平面内与两个定点F1 F2的距离的等于常数的点的轨迹叫做双曲线 双曲线的定义 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点的距离叫做双曲线的焦距 小于 F1F2 差的绝对值 热电厂冷却塔 广州新电视塔 双曲线的标准方程推导 如图建立直角坐标系 设M x y 是双曲线上任意一点 F1 c 0 F2 c 0 椭圆的标准方程的推导 以F1 F2所在直线为x轴 线段F1F2垂直平分线为y轴 建立坐标系 F1F2 2c c 0 则F1 c 0 F2 c 0 设M x y 为椭圆上的任意一点 点M满足的集合 由两点间距离公式得 双曲线的标准方程推导 平方整理得 再平方得 即 令 代入上式 得 即 即 代入上式 得 平方整理得 再平方得 移项得 移项得 双曲线的标准方程 这个方程叫做双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在轴上 焦点是F1 c 0 F2 c 0 这里 二 双曲线的标准方程 a 0 b 0 想一想 焦点在轴上的标准方程是 1 2 2 b a 焦点在轴上的标准方程是 焦点是F1 c 0 F2 c 0 例 已知F1 5 0 F2 5 0 求动点M到F1 F2的距离的差的绝对值等于6的轨迹方程 变式1 若已知F1 0 5 F2 0 5 变式2 例题改求 动点M到F1 F2的距离的差等于6的轨迹方程 解 由定义知动点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线 所以可设它的标准方程为 2a 6 a 3 b2 52 32 16 所求双曲线的标准方程为 例题讲解 又c 5 1 判断下列方程是否表示双曲线 若是 写出其焦点的坐标 解 是 是 3 不是 4 不是 练一练 2 方程是否表示双曲线 解 m 0 n 0时 表示焦点在x轴的双曲线 m 0 n 0时 表示焦
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