天津市和平区2016年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

天津市和平区 2016 年高考数学二模试卷（理科） （解析版） 一 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=x| 1 x 4， B=x|4x+3 0，则 A（ 表示为（ ） A 1， 1） （ 3， 4） B 1， 1 3， 4） C 2设变量 x， y 满足约束条件 其中 k ，若目标函数 z=x y 的最小值大于 3，则 k 的取值范围是（ ） A （ ， 3） B（ 3， +） C（ ， 5） D（ 5， +） 3阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的 S 值是（ ） A 12 B 16 C 24 D 32 4设 x R，则 “a=b”是 “f（ x） =（ x+a） |x+b|为奇函数 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知直线 l 的 参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 =4直线 l 被圆 C 截得的弦长为（ ） A B C 2 D 2 6如图，圆 O 的两条弦 交于点 E，圆 O 的切线 延长线于 F 点，且 ： 2， F， ， ，则 长为（ ） A 6 B 5 C 2 D 2 7已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点 分别为 一条渐近线为x+ y=0，点 M 在双曲线上，且 x 轴，若 时为抛物线 2x 的焦点，则 直线 距离为（ ） A B C D 8已知 g（ x） =| |x 2|的三个零点为 a， b， c 且 a b c，若 f（ x） =|则f（ a）， f（ b）， f（ c）的大小关系为（ ） A f（ b） f（ a） f（ c） B f（ b） f（ c） f（ a） C f（ a） f（ b） f（ c）D f（ c） f（ a） f（ b） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9若 a 是复数 1 i）（ 3+i）的虚部， b 是复数 的实部，则 于 10一个几何体的三视图如图所示（单位： ，则该几何体的体积为 11曲线 y= 与直线 x= 、直线 x=e 及 x 轴所围成的封闭图形的面积等于 12若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 13在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 2c=3b， 的值为 14已知菱形 边长为 1， 20，若 = ， = ，其中 0 1， 的最小值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 明过程或演算步骤 . 15已知函数 f（ x） = x x）， x R （ ）求 f（ x）的最小正周期及单调区间； （ ）求 f（ x）在区间 ， 上的最大值和最小值 16一个 袋子中有 k 个红球， 4 个绿球， 2 个黄球，这些球除颜色外其他完全相同从中一次随机取出 2 个球，每取得 1 个红球记 1 分、取得 1 个绿球记 2 分、取得 1 个黄球记 5 分，用随机变量 X 表示取到 2 个球的总得分，已知总得分是 2 分的概率为 （ ）求袋子中红球的个数； （ ）求 X 的分布列和数学期望 17如图，在四棱锥 S ，底面 正方形， 平面 E 为 中点， F 为 一点，且 ， （ ）求证： （ ）若 平面 确定 F 点的位置； （ ）求二面角 B D 的余弦值 18已知数列 前 n 项和为 ，且 =1 （ ）求 通项公式； （ ）若 （ n+ ） 为等差数列，求 的值 19设椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 A（ a， 0）、 B（ 0，b）满足条件 | | （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若坐标原点 O 到直线 距离为 ，求椭圆 C 的方程； （ ）在（ ）的条件下，过点 P（ 2， 1）的直线 l 与椭圆 C 交于 M、 N 两点，且点 P 恰为线段 中点，求直线 l 的方程 20已知函数 f（ x） =4 2 （ ）当 a=1 时，求曲线 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）若函数 f（ x）在其定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围； （ ）设函数 g（ x） = ，若在区间 1， e上至少存在一点 得 f（ g（ 立，求实数 a 的取值范围 2016 年天津市和平区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=x| 1 x 4， B=x|4x+3 0，则 A（ 表示为（ ） A 1， 1） （ 3， 4） B 1， 1 3， 4） C 【分析】 化简集合 B，求出 计算 A（ 【解答】 解：集合 A=x| 1 x 4= 1， 4）， B=x|4x+3 0=x|1 x 3=（ 1， 3）， ， 1 3， +）； A（ = 1， 1 3， 4） 故选： B 【点评】 此题考查了交、并、补集的混合运算问题，熟练掌握各自的定义是解题的关键 2设变量 x， y 满足约束条件 其中 k ，若目标函数 z=x y 的最小值大于 3，则 k 的取值范围是（ ） A（ ， 3） B（ 3， +） C（ ， 5） D（ 5， +） 【分析】 先作出不等式组对应的平面区域，利用 z=x y 的最小值大于 3，先求出 z=x 3 时 k 的值，建立条件关系即可求实数 k 的值 【解答】 解： 由 z=x y 得 y=x z， 目标函数 z=x y 的最小值大于 3， 当目标函数 z=x y 的最小值等于 3 时， 由图象可知要使 z=x y 的最小值为 3， 即 y=x+3，此时直线 y=x+3 对应区域的截距最大， 由 ，解得 ， 即 C（ ， ）， 同时 A 也在直线 y+1=0 上，则 k +1=0， 得 k= 1= ， 即 k=5， 要使目标函数 z=x y 的最小值大于 3，则 k 5， 故选： C 【点评】 本题主要考查线性 规划的应用，利用目标函数先求出 z 取得最小值为 3 时，对应的 k 的值，然后得到平面区域的对应关系是解决本题的关键 3阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的 S 值是（ ） A 12 B 16 C 24 D 32 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， i， k 的值，当 i=12 时，不满足条件 i 12，退出循环，输出 S 的值为 32 【解答】 解：模拟执行程序，可得 i=2， k=1， S=1 满足条件 i 12，执行循环体， S=2， i=4， k=2 满足 条件 i 12，执行循环体， S=4， i=6， k=3 满足条件 i 12，执行循环体， S=8， i=8， k=4 满足条件 i 12，执行循环体， S=16， i=10， k=5 满足条件 i 12，执行循环体， S=32， i=12， k=6 不满足条件 i 12，退出循环，输出 S 的值为 32 故选： D 【点评】 本题考查了循环框图中的当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件算法结束，此题在运算过程中极易出错，是易错题 4设 x R，则 “a=b”是 “f（ x） =（ x+a） |x+b|为奇函数 ”的（ ） A 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：若 f（ x） =（ x+a） |x+b|为奇函数， 则 f（ 0） =0，即 a|b|=0， 则 a=0 或 b=0， 若 a=0， f（ x） =x|x+b|，则 f（ x） = x| x+b|= x|x+b|，即 |x b|=|x+b|，则 b=0，此时 a=b， 若 b=0， f（ x） =（ x+a） |x|，则 f（ x） =（ x+a） | x|=（ x+a） |x|，即 x+a= xa，则 a= a，则 a=0，此时 a=b，即必要性成立， 若 a=b=1，则 f（ x） =（ x+1） |x+1|，则 f（ 0） =1 0，则函数 f（ x）不是奇函数，即充分性不成立， 故 “a=b”是 “f（ x） =（ x+a） |x+b|为奇函数 ”的必要不充分条件， 故选： B 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键 5已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 =4直线 l 被圆 C 截得的弦长为（ ） A B C 2 D 2 【分析】 直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），消去 t 化为： 3x 4y+3=0圆 C 的极坐标方程为 =4 2=4 2=x2+y=入可得直角坐标方程求出圆心 C 到直线 l 的距离 d利用直线 l 被圆 C 截得的弦长 =2 即可得出 【解答】 解：直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），消去 t 化为： 3x 4y+3=0 圆 C 的极坐标方程为 =4 2=4得直角坐标方程： x2+y，配方为： y 2） 2=4可得圆心 C（ 0， 2），半径 r=2 圆心 C 到直线 l 的距离 d= =1 则直线 l 被圆 C 截得的弦长 =2 =2 故选： C 【点评】 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、点到直线的距离公式、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6如图，圆 O 的两条弦 交于点 E，圆 O 的切线 延长线于 F 点，且 ： 2， F， ， ，则 长为（ ） A 6 B 5 C 2 D 2 【分析】 利用相交弦定理可得： 利用切割线定理即可得出 【解答】 解：设 x，则 x， 3， 解得 x=1 ， 设 FB=y，则 FE=y+2= 由切割线定理可得： （ y+2） 2=y（ y+5）， 解得 y=4， 故选： A 【点评】 本题考查了相交弦定理、切线长定理、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 一条渐近线为x+ y=0，点 M 在双曲线上，且 x 轴，若 时为抛物线 2x 的焦点，则 直线 距离为（ ） A B C D 【分析】 求出双曲线的渐近线的方程，可得 a= b，由抛物线的焦点坐标，可得 c=3，即a2+，解得 a， b，可得双曲线的方程，求得 M 的坐标和直 线 方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 =1（ a 0， b 0）的渐近线方程为 y= x， 由题意可得 = ， 又抛物线 2x 的焦点为（ 3， 0）， 即有 c=3，即 a2+， 解得 b= ， a= ， 可得双曲线的方程为 =1， 令 x= 3，可得 y= 3 = ， 可设 M（ 3， ）， 直线 方程为 y= x+ ， 可得 直线 距离为 = 故选： D 【点评】 本题考查双曲线的方程和性质，考查点到直线的距离的求法，注意运用抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，以及运算能力，属于中档题 8已知 g（ x） =| |x 2|的三个零点为 a， b， c 且 a b c，若 f（ x） =|则f（ a）， f（ b）， f（ c）的大小关系为（ ） A f（ b） f（ a） f（ c） B f（ b） f（ c） f（ a） C f（ a） f（ b） f（ c）D f（ c） f（ a） f（ b） 【分析】 问题转化为 f（ x） =| h（ x） =|x 2|的交点，结合函数图象求出其大小即可 【解答】 解： g（ x） =| |x 2|的三个零点为 a， b， c， 即 f（ x） =| h（ x） =|x 2|的三个交点的横坐标为 a， b， c， 如图示： ， 结合图象： f（ b） f（ a） f（ c）， 故选： A 【 点评】 本题考查了对数函数的性质，考查绝对值问题以及数形结合思想，是一道中档题 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9若 a 是复数 1 i）（ 3+i）的虚部， b 是复数 的实部，则 于 【分析】 由复数代数形式的乘法运算化简复数 据已知条件即可求出 a 的值，再由复数代数形式的乘除运算化简复数 可得到 b 的值，则 值可求 【解答】 解： 1 i）（ 3+i） =4 2i， 由 a 是复数 1 i）（ 3+i）的虚部，得 a= 2 = ， 由 b 是复数 的实部，得 b= 则 故答案为： 【 点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 10一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积为 【分析】 由三视图可知：该几何体为上下部分组成，上面为一个球，下面为一个圆锥利用体积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为上下部分组成，上面为一个球，下面为一个圆锥 该几何体的体积 = + = 故答案为： 【点评】 本题考查了三视图的有关计算、圆锥与球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 11曲线 y= 与直线 x= 、直线 x=e 及 x 轴所围成的封闭图形的面积等于 2 【分析】 由题意，利用定积分表示所围成的封闭图形的面积，利用定积分计算 【解答】 解：由题意，曲线 y= 与直线 x= 、直线 x=e 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为=2； 故答案为： 2 【点评】 本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数 12若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 180 【分析】 如果 n 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果 n 是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定 n 的值，进而利用展开式，即可求得常数项 【解答】 解：如果 n 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果 n 是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大 若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大， n=10 的展开式的通项为 （ 1） r 2r x 2r= （ 2） r令 =0，可得 r=2 展开式中的常数项等于 =180 故答案是 180 【点评】 本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键 13在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 2c=3b， 的值为 【分析】 利用正弦定理得出三角形三边的比例关系，利用余弦定理求出 出比值 【解答】 解： 2c=3b， b： C=2： 3 a=2b， a： b； c=4： 2： 3 设 a=4， b=2， c=3， 则 = ， = = = 故答案为： 【点评】 本题考查了正弦定理，余弦定理，属于基础题 14已知菱形 边长为 1， 20，若 = ， = ，其中 0 1， 的最小值为 【分析】 根据向量加法的几何意义及相等向量的概念便可得出，由 进行数量积的运算便可以得到 ，而由基本不等式 便可求出的最小值，从而便可得出 的最小值 【解答】 解：如图，根据条件： = = = = = = ，当且仅当 ，即时取 “=”； 的最小值为 故答案为： 【点评】 考查向量加法的几何意义，相等向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，分离常数法的运用，基本不等式用于求最值，运用基本不等式时需判断等号能否取到 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 明过程或演算步骤 . 15已知函数 f（ x） = x x）， x R （ ）求 f（ x）的最小正周期及单调区间； （ ）求 f（ x）在区间 ， 上的最大值和最小值 【分析】 （ ）由诱导公式、二倍角公式及辅助角公式化简 f（ x），由此得到周期与单调区间 （ ）由 f（ x）的单调性得到在区间 ， 上的单调性，由此得到最值 【解答】 解：（ ） = =2x+ ） + f（ x）的最小正周期 由 2x+ ， k Z， 可得 x ， k Z， 故 f（ x）的单调递增区间为 ， ， k Z 由 2x+ ， k Z， 可得 x ， k Z， 故 f（ x）的单调递减区间为 ， ， k Z （ ）解：由（ ）可知， f（ x）在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减， ， ， 所以 f（ x）在区间 上的最大值为 ，最小值为 0 【点评】 本题考查三角函数的化简，以及求周期与单调性，由单调性得最值 16一个袋子中有 k 个红球， 4 个绿球， 2 个黄球，这些球除颜色外其他完全相同从中一次随机取出 2 个球，每取得 1 个红球记 1 分、取得 1 个绿球记 2 分、取得 1 个黄球记 5 分，用随机变量 X 表示取到 2 个球的总得分 ，已知总得分是 2 分的概率为 （ ）求袋子中红球的个数； （ ）求 X 的分布列和数学期望 【分析】 （ ）当取到的 2 个球都是红球时，总得分是 2 分，从而 ，由此能求出袋子中有 3 个红球 （ ）依题意， X 的所有可能取值为 2， 3， 4， 6， 7， 10，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 （本题 13 分） 解：（ ）当取到的 2 个球都是红球时，总得分是 2 分， 即 ， （ 2 分） 化简得 1123k 30=0，即（ k 3）（ 11k+10） =0， （ 3 分） 解得 k=3 或 （舍去） 故袋子中有 3 个红球 （ 4 分） （ ）依题意， X 的所有可能取值为 2， 3， 4， 6， 7， 10 （ 5 分） ， ， ， ， ， （ 10 分） X 的分布列为： X 2 3 4 6 7 10 P （ 11 分） （ 13 分） 【点评】 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用 17如图，在四棱锥 S ，底面 正方形， 平面 E 为 中点， F 为 一点，且 ， （ ）求证： （ ）若 平面 确定 F 点的位置； （ ）求二面角 B D 的余弦值 【分析】 （ ）以 A 为原点， 在直线分别为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 （ ）设 交点为 G，则 G（ 1， 1， 0），连接 出， ，若使 平面 需此能求出当 F 点坐标为 时， 平面 （ ）求出平面 一个法向量和平面 一个法向量，得用向量法能求出二面角 B D 的余弦值 【解答】 证明：（ ）以 A 为原点， 在直线分别为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 2， 0）， D（ 0， 2， 0）， ， ， F（ a， a， 0），其中 （ 2 分） ， ， （ 5 分） 解：（ ）设 交点为 G，则 G（ 1， 1， 0），连接 ， ， 若使 平面 需 只需 ，即 （ 7 分） 故当 F 点坐标为 时， 平面 （ 8 分） （ ）设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 而 ， ， 则 ，即 ，取 z=1，得 = （ 10 分） 设平面 一个法向量为 =（ 而 =（ 0， 2， 2 ）， =（ 2， 0， 0） ， 则 ，取 ，得 = （ 11 分） = = ， 由图形知所求二面角是锐角， 故二面角 B D 的余弦值为 （ 13 分） 【点评】 本题考查异面直线垂直的证明，考查使线面平行的点的位置的确定，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 18已知数列 前 n 项和为 ，且 =1 （ ）求 通项公式； （ ）若 （ n+ ） 为等差数列，求 的值 【分析】 （ I）利用递推关系、 等比数列的通项公式即可得出 （ 用等比数列的前 n 项和公式、等差数列的通项公式即可得出 【解答】 解：（ ）依题意，可得 2， 当 n 2 时， 1=2 2（ 1 分） ，得 2， （ 3 分） 故 （ n 2） （ 4 分） 因为 ， ， （ 5 分） 所以 首项为 1，公比为 的等 比数列，故 （ 6 分） （ ）解：由（ ）可得 （ 8 分） 由 为等差数列， 则 ， ， 成等差数列 （ 10 分） 即 ， 故 ， （ 12 分） 解得 =2 （ 13 分） 【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19设椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 A（ a， 0）、 B（ 0，b）满足条件 | | （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若坐标原点 O 到直线 距离为 ，求椭圆 C 的方程； （ ）在（ ）的条件下，过点 P（ 2， 1）的直线 l 与椭圆 C 交于 M、 N 两点，且点 P 恰为线段 中点，求直线 l 的方程 【分析】 （ ）由 A， B 的坐标求得 |=a2+合 ，可得 2c2=a2+结合隐含条件求得离心率； （ ）由（ ）可得 b= ，写出直线 方程，由 O 到直线 距离为 ，得，联立 b= ，求得 a， b 的值得答案； （ ）设 M、 N 两点的坐标分别为（ （ 把 M， N 的坐标代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，再由直线方程的点斜式得直线 l 的方程 【解答】 解：（ ）依题意，得 |=a2+ ， （ 2 分） 则有 2c2=a2+b2= 即 2 ， （ 3 分） 离心率 ； （ 4 分） （ ）由（ ）可得 ， （ 5 分） 直线 截距式方程为 ，即 bx+， （ 6 分） 依题意，得 ， （ 7 分） 由 ，解得 椭圆 C 的方程的方程为 ； （ 10 分） （ ）设 M、 N 两点的坐标分别为（ （ 依题意，可知 ， ， （ 11 分） 两式相减，得 （ 12 分） P（ 2， 1）是线段 中点， x1+ 4， y1+， 则有 ，即直线 l 的斜率为 ，且直线 l 过点 P（ 2， 1）， （ 13 分） 故直线 l 的方程为 ，即 2x 3y+7=0 （ 14 分） 【点评】 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用 “点差法 ”求解中点弦问题