广东省中山市2016年中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年广东省中山市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1在下列实数中，无理数是（ ） A B C D 2下列几何体的三视图中，左视图是圆的是（ ） A B C D 3必然事件的概率是（ ） A 0 B 1 D不能确定 4下列几组线段能组成三角形的是（ ） A 358 8818 348下列计算正确的是（ ） A B x5+x5= x2=（ 2=若一个正多边形的每一个内角都等于 120，则它是（ ） A正八边形 B正六边形 C正五边形 D正方形 7如图， 半圆的直径， ， B=30，则 的长为（ ） A B C D 8在小正方形的网格中，下列四个选项中的三角形，与如图所示的三角形相似的是（ ） A B C D 第 2 页（共 19 页） 9某市为了加快城市建设力度 市政府共投资 2 亿元人民币，预计到 2016 年底三年共累计投资 元人民币，若在这两年内每年投资的增长率都为 x，可列方程（ ） A 2 2+2（ x+1） +2（ x+1） 2= 2（ x+1） 2= 2+（ x+1） +（ x+1） 2=9 10在平面直角坐标系中，点 P（ x， 0）是 x 轴上一动点，它与坐标原点 O 的距离为 y，则y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11不等式 4 x 1 的正整数 解为 12我市约有 495 万人口，用科学记数法表示为 人 13因式分解： 3a= 14某商品利润是 32 元，利润率为 16%，则此商品的进价是 15如图所示，反比例函数 的图象经过点 A，那么 k 的值是 16如图，如图， M、 N 分别是 边 中点， D 为 任意 一点，连接 向平移到 位置，且 上，已知 面积为 7，则图中阴影部分的面积为 三、解答题（本大题共 9 小题，共 66 分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17计算： 12 |2 |+2 18化简分式： ，并选择一个你喜欢的 x 的值求分式的值 第 3 页（共 19 页） 19如图，已知钝角 1）过点 A 作 的垂线，交 延长线于点 D；（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （ 2）在（ 1）的条件下，若 22， ， ，求 长（结果保留到 考数据： 20如图， 半圆的直径，点 O 是圆心，点 C 是 中点， 半圆于点 D，点 E 是 的中点，连接 点 D 作 延长线于点 P （ 1）求 度数； （ 2）求证： 半圆 O 的切线 21已知：一次函数 y=x 2 与反比例函数 y= （ m 0） （ 1）求证：这两个函数的图象一定有两个不同的交点； （ 2）若他们的一个交点是（ 1， m），求反比例函数的解析式 22如图，点 E 是矩形 上一点 ， 叠为 F 落在 （ 1）求证： （ 2）若 ，求 值 23某校 260 名学生参加植树活动，要求每人植 4 7 棵，活动结束后随机抽查了 20 名学生每人的植树量，并分为四种类型， A： 4 棵； B： 5 棵； C： 6 棵； D： 7 棵将各类的人数绘制成扇形图（如图 1）和条形图（如图 2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误 第 4 页（共 19 页） 回答下列问题： （ 1）写出条形图中存在的错误，并说明理由； （ 2）写出这 20 名学生每人植树量的众数、中位数； （ 3）求这 20 名学生每人植树量的平均数，并估计这 260 名学生共植树多少棵 24请阅读下列材料： 问题：如图 1，在菱形 菱形 ，点 A， B， E 在同一条直线上， P 是线段 接 0，探究 位置关系及 的值 小聪同学的思路是：延长 点 H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （ 1）写出上面问题中线段 位置关系及 的值； （ 2）将图 1中的菱形 顺时针旋转，使菱形 B 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）你在（ 1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明； （ 3）若图 1 中 （ 0 90），将菱形 点 B 顺时 针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 的值（用含 的式子表示） 25如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 三个顶点 B（ 4， 0）， C（ 8， 0）， D（ 8，8），抛物线 y= A， C 两点，动点 P 从点 A 出发，沿线段 终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 终点 D 运动，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 点 P 作 点 E （ 1）直接写出点 A 的 坐标，并求出抛物线的解析式 （ 2）过点 E 作 点 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时， 面积最大？最大值为多少？ （ 3）连接 点 P， Q 运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以 C， E， Q 为顶点的 等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的 t 值；如果不存在，请说明理由 第 5 页（共 19 页） 第 6 页（共 19 页） 2016 年广东省中山市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1在下列实数中，无理数是（ ） A B C D 【考点】 无理数 【分析】 初中范围内学习的无理数有： ， 2等；开方开不尽的数；以及像 等有这样规律的数由此即可判定选择项 【解答】 解： 是无限不循环小数， 是无理数，其它的数都是有理数 故选 B 2下列几何体的三视图中，左 视图是圆的是（ ） A B C D 【考点】 简单几何体的三视图 【分析】 分别找到四个立体图形的左视图即可，左视图是从左面看所得到的平面图形 【解答】 解： 正方体的左视图是正方形； 圆锥体的左视图是等腰三角形； 球体的左视图是圆； 圆柱体的左视图是长方形； 故选： C 3必然事件的概率是（ ） A 0 B 1 D不能确定 【考点】 概率的意义 【分析】 根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事 件即可解答 【解答】 解： 必然事件就是一定发生的事件， 必然事件发生的概率是 1 故选： C 4下列几组线段能组成三角形的是（ ） A 358 8818 348考点】 三角形三边关系 第 7 页（共 19 页） 【分析】 利用三角形的三边关系：三角形的任意两边之和 第三边即可判断 【解答】 解： A、 3+5=8，不能组成三角形； B、 8+8=16 18，不能组成三角形； C、是等边三角形； D、 3+4=7 8，不能组成三角形； 故选 C 5下列计算正确的是（ ） A B x5+x5= x2=（ 2=考点】 负整数指数幂；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；零指数幂 【分析】 根据负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、同底数幂的除法、合并同类项等知识点进行解答 【解答】 解： A、（ ） 0 3 1=1 = ；故不对； B、 x5+不对； C、 x2=不对； D、（ 2=确； 故选 D 6若一个正多边形的每一个内角都等于 120，则它是（ ） A正八边形 B正六边形 C正五边形 D正方形 【考点】 多边形内角与外角 【分析】 利用多边形内角和公式，根据性质列出方程即可 【解答】 解：设此多边形变数为 x，根据题意，得 （ x 2） 180=120x， 解之，得 x=6，所以此图形是正六边形 故选 B 7如图， 半圆的直径， ， B=30，则 的长为（ ） A B C D 【考点】 弧长的计算；圆周角定理 【分析】 首先连接 利用圆周角定理计算出圆心角 度数，然后利用弧长公式进行计算即可 【 解答】 解：连接 ， ， 半圆的直径， 0， 第 8 页（共 19 页） B=30， A=60， 20， = = ， 故选： B 8在小正方形的网格中，下列四个选项中的三角形，与如图所示的三角形相似的是（ ） A B C D 【考点】 相似三角形的判定；勾股定理 【分析】 根据网格结构以及勾股定理可得所给图形是两直角边分别为 、 2 的直角三角形 ，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可 【解答】 解：根据勾股定理，所给图形的两直角边为 = ， =2 ， 所以，夹直角的两边的比为 = ， 纵观各选项，只有 B 选项三角形符合，与所给 图形的三角形相似 故选 B 9某市为了加快城市建设力度 市政府共投资 2 亿元人民币，预计到 2016 年底三年共累计投资 元人民币，若在这两年内每年投资的增长率都为 x，可列方程（ ） A 2 2+2（ x+1） +2（ x+1） 2= 2（ x+1） 2= 2+（ x+1） +（ x+1） 2=9 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】 设每年市政府投资的增长率为 x根据到 2016 年底三年共累计投资 元人民币建设廉租房，列方程求解 【解答】 解：设每年市政府 投资的增长率为 x， 根据题意，得： 2+2（ 1+x） +2（ 1+x） 2= 故选： B 第 9 页（共 19 页） 10在平面直角坐标系中，点 P（ x， 0）是 x 轴上一动点，它与坐标原点 O 的距离为 y，则y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 【考点】 动点问题的函数图象 【分析】 根据 x 轴上的点 到原点的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案 【解答】 解： x 0 时， y= x， x 0 时， y=x 故选： A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11不等式 4 x 1 的正整数解为 1， 2 【考点】 一元一次不等式的整数解 【分析】 首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可 【解答】 解：不等式的解集是 x 3， 故不等式 4 x 1 的正整数解为 1， 2 故答案为 1， 2 12我市约有 495 万人口，用科学记数法表示为 06 人 【考点 】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数本题 495万 =4 950 000 有 7 位整数， n=7 1=6 【解答】 解： 495 万 =4 950 000=106 人 故填 106 13因式分解： 3a= a（ a+3）（ a 3） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 原式提取公因式，再利用平方差公式分 解即可 【解答】 解：原式 = a（ 1） = a（ a+3）（ a 3） 故答案为： a（ a+3）（ a 3） 14某商品利润是 32 元，利润率为 16%，则此商品的进价是 200 元 【考点】 分式方程的应用 【分析】 根据利润 =进价 利润率根据此等量关系列方程得出结果 第 10 页（共 19 页） 【解答】 解：设商品的进价是 x 元， 则 16%x=32， x=200 元 ， 答：此商品的进价是 200 元 故答案为： 200 元 15如图所示，反比例函数 的图象经过点 A，那么 k 的值是 2 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 根据图示知 A（ 1， 2），所以把点 A 的坐标代入反比例函数解析式，通过方程来求k 的值 【解答】 解：如图所示， A（ 1， 2）则 2= ， 解得， k=2 故答案是： 2 16如图，如图， M、 N 分别是 边 中点， D 为 任意一点，连接 向平移到 位置，且 上，已知 面积为 7，则图中阴影部分的面积为 14 【考点】 平移的性质 【分析】 根据三角形中位线定理得到 到 据相似三角形的性质和平移的性质计算即可 【解答】 解： M、 N 分别是 边 中点， 似比为 1： 4， 面积为 7， 面积为 28， 由平移的性质可知， 面积 = 面积 =7， 第 11 页（共 19 页） 图中阴影部分的面积为 28 7 7=14， 故答案为： 14 三、解答题（本大题共 9 小题，共 66 分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17计算： 12 |2 |+2 【考点】 实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】 原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果 【解答】 解：原式 = 1 2+ +2 +2 = 2+3 18化简分式： ，并选择一个你喜欢的 x 的值求分式的值 【考点】 分式的化简求值 【分析】 这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要先确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分 x 取不为 1、 0 的任何数 【解答】 解： = =2x+4，取 x=2，原式 =8 19如图，已知钝角 1）过点 A 作 的垂线，交 延长线于点 D；（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （ 2）在（ 1）的条件下，若 22， ， ，求 长（结果保留到 考数据： 【考点】 作图 基本作图；解直角三角形 【分析】 （ 1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂 线作出垂线段 可； （ 2）根据三角形外角的性质求出 度数，在 ，利用锐角三角函数的定义求出 长，进而可得出结论 【解答】 解：（ 1）如图所示； （ 2） 22， D=90， 2 在 ， 第 12 页（共 19 页） ，即 ， = 20如图， 半圆的直径，点 O 是圆心，点 C 是 中点， 半圆于点 D，点 E 是 的中点，连接 点 D 作 延长线于点 P （ 1）求 度数； （ 2）求证： 半圆 O 的切线 【考点】 垂径定理；平行线的性质；圆周角定理；切线的判定 【分析】 （ 1）根据 数量关系，即可得出 度数，进而求出 度数； （ 2）利用点 E 是 的中点，进而求出 0，即可得出 0，即可得出答案 【解答】 （ 1）解： 半圆的直径，点 O 是圆心，点 C 是 中点， 2O， 0， 0， 0； （ 2）证明：如图，连接 点 E 是 的中点， = ， 由（ 1）得 0， 20， 0， 0， 0， 直线 O 的切线 第 13 页（共 19 页） 21已知：一次函数 y=x 2 与反比例函数 y= （ m 0） （ 1）求证：这两个函数的图象一定有两个不同的交点； （ 2）若他们的一个交点是（ 1， m），求反比例函数的解析式 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【 分析】 （ 1）将两个函数解析式联立后，通过方程 2x 的判别式判断方程总有两个不相等的实数根，再进行证明； （ 2）将点 A 分别代入两个函数解析式，继而即可求出 m 的值 【解答】 解：（ 1）证明：把 y=x 2 代入 y= 得 x 2= ， 整理得： 2x ， =4+4 m 0， 4+40， 方程 2x 有两个不相等的实数根， 这两个函数的图象一定有两个不同的 交点； （ 2）把 x=1， y=m 代入 y=x 2 得， m= 1， 故反比例函数的解析式为 y= 22如图，点 E 是矩形 上一点， 叠为 F 落在 （ 1）求证： （ 2）若 ，求 值 【考点】 相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解 直角三角形 【分析】 （ 1）根据矩形的性质可知 A= D= C=90， 叠为 出 C=90，再根据三角形的内角和为 180，可知 0，得出 可证明 第 14 页（共 19 页） （ 2）已知 ，设 DE=a， a， =2 a，可得出 F=3a，E+a， a， （ 1）中 得 = 【解答】 （ 1）证明： 四边形 矩形 A= D= C=90， 叠为 C=90， 80 0， 又 0， （ 2） 解：在 ， = ， 设 DE=a， a， =2 a， 叠为 F=3a， E+a， a， 又由（ 1） = = = ， = ， 23某校 260 名学生参加植树活动，要求每人植 4 7 棵，活动结束后随机抽查了 20 名学生每人的植树量，并 分为四种类型， A： 4 棵； B： 5 棵； C： 6 棵； D： 7 棵将各类的人数绘制成扇形图（如图 1）和条形图（如图 2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误 回答下列问题： （ 1）写出条形图中存在的错误，并说明理由； （ 2）写出这 20 名学生每人植树量的众数、中位数； （ 3）求这 20 名学生每人植树量的平均数，并估计这 260 名学生共植树多少棵 第 15 页（共 19 页） 【考点】 众数；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数 【分析】 （ 1）利用总人数 20 乘以对应的百分比即可求 得 D 类的人数解答； （ 2）根据众数、中位数的定义即可直接求解； （ 3）首先求得调查的 20 人的平均数，乘以总人数 260 即可 【解答】 解（ 1） D 错误，理由为： 20 10%=2 3（人） （ 2）众数为 5 棵，中位数为 5 棵 （ 3） = =） 估计 260 名学生共植树 260=1378（棵） 24请阅读下列材料： 问题：如图 1，在菱形 菱形 ，点 A， B， E 在同一条直线上 ， P 是线段 接 0，探究 位置关系及 的值 小聪同学的思路是：延长 点 H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （ 1）写出上面问题中线段 位置关系及 的值； （ 2）将图 1中的菱形 顺时针旋转，使菱形 B 在同一条直线上，原问 题中的其他条件不变（如图 2）你在（ 1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明； （ 3）若图 1 中 （ 0 90），将菱形 点 B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 的值（用含 的式子表示） 【考点】 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【分析】 （ 1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形 全 等三角形来得出证明三角形 等腰三角形且 P 为底边中点的条件； （ 2）思路同上，延长 点 H，连接 题中除了如（ 1）中证明 到 P 是 点）外还需证明 出三角形 等腰三角形） （ 3） （ 0 90），那么 0 ，由（ 1）可知： PC=90 ） 【解答】 解：（ 1） F， G， F， C， B= G， 0， 第 16 页（共 19 页） 20， 0， PC= ， 线段 位置关系是 = ； （ 2）猜想：（ 1）中的结论没有发生变化 证明：如图 2，延长 点 H，连接 P 是线段 中点， P， P， D， 四边形 菱形， B， 0， 0，菱形 对角线 好与菱形 边 同一条直线上， 0， 四边形 菱形， B， B， G， 线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线 上） 0 20 20 0 = ； （ 3） （ 0 90）， 0 ， 由（ 1）可知： PC=90 ）， =90 ） 第 17 页（共 19 页） 25如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 三个顶点 B（ 4， 0）， C（ 8， 0）， D（ 8，8），抛物线 y= A， C 两点，动点 P 从点 A 出发，沿线段 终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 终点 D 运动，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 点 P 作 点 E （ 1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式 （ 2）过点 E 作 点 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时， 面积最大？最大值为多少？ （ 3） 连接 点 P， Q 运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以 C， E， Q 为顶点的 等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的 t 值；如果不存在，请说明理由 【考点】 二次函数综合