2020年中考数学二轮复习 重难题型突破 类型六 二次函数与三角形相似问题

类型六 二次函数与三角形相似问题例1、如图1，已知抛物线的顶点为a（2，1），且经过原点o，与x轴的另一个交点为b。求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）若点c在抛物线的对称轴上，点d在抛物线上，且以o、c、d、b四点为顶点的四边形为平行四边形，求d点的坐标；连接oa、ab，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点p，使得obp与oab相似？若存在，求出p点的坐标；若不存在，说明理由。例1题图图1图2【答案】解:由题意可设抛物线的解析式为抛物线过原点，.图1抛物线的解析式为,即 如图1,当ob为边即四边形ocdb是平行四边形时,cdob,由得,b(4,0),ob4.d点的横坐标为6 将x6代入,得y3,d(6,3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点d,使得四边形odcb是平行四边形,此时d点的坐标为(2,3), 当ob为对角线即四边形ocbd是平行四边形时,d点即为a点,此时d点的坐标为(2,1)如图2，由抛物线的对称性可知:aoab,aobabo.若bop与aob相似,必须有pobboabpo 图2设op交抛物线的对称轴于a点,显然a(2,1)直线op的解析式为 由,得.p(6,3)过p作pex轴,在rtbep中,be2,pe3,pb4.pbob,bopbpo,pbo与bao不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的p点.所以在该抛物线上不存在点p,使得bop与aob相似. 例2、已知抛物线经过及原点（1）求抛物线的解析式（由一般式得抛物线的解析式为）（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（3）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？【答案】解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，抛物线的解析式为：（2）存在设点的坐标为，则，要使，则有，即解之得，当时，即为点，所以得要使，则有，即解之得，当时，即为点，当时，所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为（3）在中，因为所以当点的坐标为时，所以因此，都是直角三角形又在中，因为所以即有所以，又因为，所以例3、如图，四边形oabc是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点a在x轴上，点c在y轴上，将边bc折叠，使点b落在边oa的点d处。已知折叠，且。（1）判断与是否相似？请说明理由；（2）求直线ce与x轴交点p的坐标；（3）是否存在过点d的直线l，使直线l、直线ce与x轴所围成的三角形和直线l、直线ce与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。oxycbe【答案】解：（1）与相似。oxy图1cbed312a理由如下：由折叠知，又，。（2），设ae=3t，则ad=4t。图2oxycbedpmglnaf由勾股定理得de=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。oc=8，ae=3，点c的坐标为（0，8），点e的坐标为（10，3），设直线ce的解析式为y=kx+b，解得，则点p的坐标为（16，0）。（3）满足条件的直线l有2条：y=2x+12，y=2x12。如图2：准确画出两条直线。例4、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为）（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围ycxbao【答案】解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，由解得此二次函数的表达式为（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似在中，令，则由，解得令，得设过点的直线交于点，过点作轴于点点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为yxbeaocd要使或，已有，则只需，或成立若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为此时易知，再求出直线的函数表达式为联立求得点的坐标为若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点将点的坐标代入中，求得此直线的函数表达式为设点的坐标为，并代入，得解得（不合题意，舍去）xbeaocp点的坐标为此时，锐角又二次函数的对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为当时，锐角；当时，锐角；当时，锐角例5 、如图所示，已知抛物线与轴交于a、b两点，与轴交于点c（1）求a、b、c三点的坐标（2）过点a作apcb交抛物线于点p，求四边形acbp的面积（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点m，过m作mg轴于点g，使以a、m、g三点为顶点的三角形与pca相似若存在，请求出m点的坐标；否则，请说明理由cbapy【答案】图1cpbya解：（1）令，得 解得令，得 a b c （2）oa=ob=oc= bac=aco=bco=apcb， pab=过点p作pe轴于e，则ape为等腰直角三角形令oe=，则pe= p点p在抛物线上 解得，（不合题意，舍去）pe=四边形acbp的面积=aboc+abpe=(3) 假设存在pab=bac = paacmg轴于点g， mga=pac =在rtaoc中，oa=oc= ac=在rtpae中，ae=pe= ap= 设m点的横坐标为，则m 点m在轴左侧时，则gm图2cbypa() 当amg pca时，有=ag=，mg=即 解得（舍去） （舍去）() 当mag pca时有=即 解得：（舍去） gm图3cbypam 点m在轴右侧时，则 () 当amg pca时有=ag=，mg= 解得（舍去） m () 当magpca时有= 即 解得：（舍去） m存在点m，使以a、m、g三点为顶点的三角形与pca相似m点的坐标为，例6、已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，点的坐标分别为，（1）求过点的直线的函数表达式；点，（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的