（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第七章 数列 7.5.1 等差与等比数列的综合问题练习 新人教B版

7.5.1 等差与等比数列的综合问题核心考点精准研析考点一基本量的运算1.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()a.-24b.-3c.3d.82.已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()a.a1d0,ds40b.a1d0,ds40,ds40d.a1d03.(2019江苏高考)已知数列an(nn*)是等差数列,sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,s9=27,则s8的值是_.4.设公差不为0的等差数列an的前n项和为sn,若a2,a5,a11成等比数列,且a11=2(sm-sn)(mn0,m,nn*),则m+n=_.【解析】1.选a.设等差数列an的公差为d,由a2,a3,a6成等比数列可得a32=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),整理可得d2+2d=0,又公差不为0,则d=-2,故an前6项的和为s6=6a1+6(6-1)2d=61+6(6-1)2(-2)=-24.2.选b.因为数列an是等差数列,a3,a4,a8成等比数列,所以a1+3d2=a1+2da1+7d,解得a1=-53d,所以s4=2a1+a4=2a1+a1+3d=-23d,所以a1d=-53d20,ds4=-23d2n0,m,nn*,所以m=5,n=4,所以m+n=9.答案:9已知等比数列an的各项都为正数,且a3,12a5,a4成等差数列,则a3+a5a4+a6的值是()a.5-12b.5+12c.3-52d.3+52【解析】选a.设等比数列an的公比为q,由a3,12a5,a4成等差数列,可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=1+52或q=1-52(舍去),a3+a5a4+a6=a3+a3q2a4+a4q2=a3(1+q2)a4(1+q2)=1q=25+1=2(5-1)(5+1)(5-1)=5-12.等差数列、等比数列基本量的运算方法(1)等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差、等比数列的综合应用【典例】设数列an(n=1,2,3,)的前n项和sn满足sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)记数列1an的前n项和为tn,求使得|tn-1|11 000成立的n的最小值.【解题导思】序号题目拆解(1)sn=2an-a1将sn=2an-a1利用an=sn-sn-1转化为an与an-1的关系,由sn=2an-a1,将a2、a3用a1表示a1,a2+1,a3成等差数列根据关系列方程,得a1(2)记数列1an的前n项和为tn由(1)写出1an的表达式,表示出tn求使得|tn-1|11 000成立的n的最小值由|tn-1|11 000解关于n的不等式【解析】(1)由已知sn=2an-a1,有an=sn-sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).所以公比q=2.从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n.(2)由(1)得1an=12n,所以tn=12+122+12n=121-12n1-12=1-12n.由|tn-1|11 000,得1-12n-11 000.因为29=5121 0001 024=210,所以n10.于是,使|tn-1|0,bn的公比为q,则an=1+(n-1)d,bn=qn-1.依题意有q(2+d)=6,q+3+3d=8,解得d=1,q=2,或d=-43q=9(舍去).故an=n,bn=2n-1.(2)由(1)知sn=1+2+n=12n(n+1),所以1sn=2n(n+1)=21n-1n+1,所以1s1+1s2+1sn=21-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.已知公比不为1的等比数列an的首项a1=12,前n项和为sn,且a4+s4,a5+s5,a6+s6成等差数列.(1)求等比数列an的通项公式.(2)对nn*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列bn的前n项和tn.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,a4+s4,a5+s5,a6+s6成等差数列,所以a5+s5-a4-s4=a6+s6-a5-s5,即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0.因为q1,所以q=12,所以等比数列an的通项公式为an=12n.(2)由题意得bn=an+an+123n=3432n,tn=3432-32n+11-32=9432n-1.考点三求数列的通项公式命题精解读考什么:数列的通项公式怎么考:(1)由an与sn的关系求通项an(2)由递推公式求通项an(3)构造新数列求an新趋势:以数列为载体,与函数或不等式等综合考查学霸好方法1.求数列的通项公式an(1)形如an+1=an+f(n)的数列,常用累加法(2)形如an+1=anf(n)的数列,常可采用累乘法(3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b0,1)的数列,常用构造法2.交汇问题与函数或不等式等交汇时,经常先构造出新的等差或等比数列求解,然后再求an由an与sn的关系求通项an【典例】(2018全国卷改编)记sn为数列an的前n项和.若sn=2an+1,则an=_.【解析】因为sn=2an+1,当n2时,sn-1=2an-1+1,所以an=sn-sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.当n=1时,a1=s1=2a1+1,得a1=-1.所以数列an是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,所以an=-12n-1=-2n-1.答案:-2n-1sn与an关系问题的求解思路如何?提示:根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.利用an=sn-sn-1(n2)转化为只含sn,sn-1的关系式利用sn-sn-1=an(n2)转化为只含an,an-1的关系式由递推公式求数列通项【典例】1.设数列an满足a1=3,an+1=an+1n(n+1),则通项公式an=_.【解析】原递推公式可化为an+1=an+1n-1n+1,则a2=a1+11-12,a3=a2+12-13,a4=a3+13-14,an-1=an-2+1n-2-1n-1,an=an-1+1n-1-1n,以上(n-1)个式子的等号两端分别相加得,an=a1+1-1n,故an=4-1n.答案:4-1n2.在数列an中,a1=1,an=n-1nan-1(n2),则数列an的通项公式为_.【解析】因为an=n-1nan-1(n2),所以an-1=n-2n-1an-2,an-2=n-3n-2an-3,a2=12a1.以上(n-1)个式子相乘得an=a11223n-1n=a1n=1n.当n=1时,a1=1,上式也成立.所以an=1n(nn*).答案:an=1n(nn*)(1)形如an+1=an+f(n)的数列,选择何种方法求通项公式?提示:累加法.(2)形如an+1=anf(n)的数列,选择何种方法求通项公式?提示:累乘法.【误区警示】利用累乘法求通项公式时,易出现两个方面的问题:一是在连乘的式子中只写到a2a1,漏掉a1而导致错误;二是根据连乘求出an之后,不注意检验a1是否成立.构造等差、等比数列求通项an【典例】1.已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2,则数列an的通项公式为_.【解析】因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以an+1+1an+1=3,所以数列an+1为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,所以an+1=23n-1,所以an=23n-1-1(nn*).答案:an=23n-1-1(nn*)2.已知数列an满足:an+2=3an+1-2an,a1=2,a2=4,nn*.求证:数列an+1-an为等比数列,并求数列an的通项公式.【解析】因为an+2-an+1an+1-an=3an+1-2an-an+1an+1-an=2,所以数列an+1-an是公比为2,首项为2的等比数列,所以an+1-an=2n,累加可知:an-a1=2+22+2n-1=2n-2(n2),an=2n(n2),当n=1时,a1=2满足上式,所以an=2n(nn*).(1)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b0,1)的数列,其基本思路是什么?提示:等号两边同时加上一个数使an+成等比数列.(2)形如an+1=panqan+r(p,q,r是常数)的数列,构造新数列时是怎样变形的?提示:求倒数1an+1=qan+rpan=qp+rpan,再用构造法.(3)形如an+2=pan+1+qan(p,q是常数,且p+q=1)的数列,如何求通项?提示:等号两边同时加上an+1的倍数使an+1+an成等比数列.1.数列an的前n项和为sn,若a1=1,an+1=3sn(n1),则a6=()a.344b.344+1c.45d.45+1【解析】选a.a1=1,a2=3s1=3,a3=3s2=12=341,a4=3s3=48=342,a5=3s4=192=343,a6=3s5=768=344.【一题多解】选a.当n1时,an+1=3sn,则an+2=3sn+1,所以an+2-an+1=3sn+1-3sn=3an+1,即an+2=4an+1,所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列,又a2=3s1=3a1=3,所以an=1(n=1),34n-2(n2),所以当n=6时,a6=346-2=344.2.已知数列an的前n项和为sn,a1=1,sn=2an+1,则sn=()a.2n-1b.32n-1c.23n-1d.12n-1【解析】选b.由已知sn=2an+1得sn=2(sn+1-sn),即2sn+1=3sn,sn+1sn=32,而s1=a1=1,所以sn=32n-1.3.设数列an满足a1=1,且an+1=an+n+1(nn*),则数列an的通项公式为_.【解析】由题意得a2=a1+2,a3=a2+3,an=an-1+n(n2),以上各式相加,得an=a1+2+3+n.又因为a1=1,所以an=1+2+3+n=n2+n2(n2),因为当n=1时也满足上式,所以an=n2+n2(nn*).答案:an=n2+n24.设数列an满足a1=1,an+1=2nan,则通项公式an=_.【解析】由an+1=2nan,得anan-1=2n-1(n2),所以an=anan-1an-1an-2a2a1a1=2n-12n-221=21+2+3+(n-1)=2n(n-1)2.又a1=1适合上式,故an=2n(n-1)2.答案:2n(n-1)21.在数列an中,a1=3,且点pn(an,an+1)(nn*)在直线4x-y+1=0上,求数列an的通项公式.【解析】因为点pn(an,an+1)(nn*)在直线4x-y+1=0上,所以4an-an+1+1=0,即an+1=4an+1,得an+1+13=4an+13,所以an+13是首项为a1+13=103,公比为4的等比数列,所以an+13=1034n-1,故an=1034n-1-13.【变式备选】在数列an中,a1=1,数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列.(1)求a2,a3.(2)求数列an3n的前n项和sn.【解析】(1)因为数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列,所以an+1-3an=93n-1=3n+1,所以a2-3a1=9,a3-3a2=27,所以a2=12,a3=63.(2)因为an+1-3an=3n+1,所以an+13n+1-an3n=1,所以数列an3n是首项为13,公差为1的等差数列,所以数列an3n的前n项和sn=n3+n(n-1)2=3n2-n6.2.设数列an的前n项和为sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3sn-sn+1+3,nn*.(1)证明:an+2=3an.(2)求s2n.【解析】(1)由条件,对任意nn*,有an+2=3sn-sn+1+3,则对任意nn*,n2,有an+1=3sn-1-sn+3.两式相减,得an+2