江苏高考解析几何压轴题30题.doc

1 如图 在平面直角坐标 系 xOy 中 已知椭圆的离心率为 22 22 10 xy ab ab 且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3 2 2 1 求椭圆的标准方程 2 过 F 的直线与椭圆交于 A B 两点 线段 AB 的垂 直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P C 若 PC 2AB 求直线 AB 的方程 解 1 由题意得 且 解得 则 2 2 c a 2 3 a c c 2 1 ac 1b 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y 2 当轴时 又 不合题意 ABx 2AB 3CP 当与轴不垂直时 设直线的方程为 ABxAB 1yk x 11 x yA 22 xy 将的方程代入椭圆方程 得 AB 2222 124210kxk xk 则 的坐标为 且 22 1 2 2 22 1 12 kk x k C 2 22 2 1212 kk kk 2 222 2 212121 2 2 2 1 1 12 k ABxxyykxx k 若 则线段的垂直平分线为轴 与左准线平行 不合题意 0k AB y 从而 故直线的方程为 0k PC 2 22 12 1212 kk yx kkk 则点的坐标为 从而 P 2 2 52 2 12 k kk 22 2 2 311 12 kk PC kk 因为 所以 解得 2PCAB 222 2 2 2 3114 2 1 1212 kkk kkk 1k 此时直线方程为或 AB 1yx 1yx 2 已知椭圆的离心率为 一个交点到相应的准线的距离为 3 圆 N 的方程为 22 22 1 0 xy Mab ab 1 2 为半焦距 直线与椭圆 M 和圆 N 均只有一个公共点 分别设为 A B 2222 xcyac c 0 l ykxm k 1 求椭圆方程和直线方程 2 试在圆 N 上求一点 P 使 2 2 PB PA B A O x y l P C 3 如图 已知椭圆 O y2 1 的右焦点为 F 点 B C 分别是椭圆 O 的上 x2 4 下顶点 点 P 是直线 l y 2 上的一个动点 与 y 轴交点除外 直线 PC 交椭圆于另一点 M 1 当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时 求 FBM 的面积 2 记直线 BM BP 的斜率分别为 k1 k2 求证 k1 k2为定值 求的取值范围 PB PM 解 1 由题意 焦点 当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时 则直线 PM 的方程为 0 1 0 1 BC 3 0 F1 13 xy 即 联立 解得或 舍 即 2 分 3 1 3 yx 2 2 1 4 3 1 3 x y yx 8 3 7 1 7 x y 0 1 x y 8 3 1 77 M 连 BF 则直线 BF 即 而 4 分1 13 xy 330 xy 2BFa 22 8 312 3 33 3 777 27 1 3 d 故 5 分 1133 2 2277 MBF SBF d A 2 解法一 设 且 则直线 PM 的斜率为 2 P m 0m 1 2 1 0 k mm 则直线 PM 的方程为 联立化简得 解得 8 1 1yx m 2 2 1 1 1 4 yx m x y 2 2 48 1 0 xx mm 2 22 84 44 mm M mm 分 所以 所以为定值 10 分 2 2 2 1 2 4 1 21 4 8 84 4 m m m km m m m 2 1 2 3 0 k mm 12 3 13 44 kkm m 由 知 3 PBm 232 2222 841212 2 4444 mmmm m PMm mmmm 所以 13 分 3242 222 12121536 3 444 mm mmm PB PMm mmm 令 故 2 44mt 22 4 15 4 36788 7 tttt PB PMt ttt 因在上单调递增 故 即的取值范围为 16 分 8 7yt t 4 t 88 7479 4 PB PMt t PB PM 9 解法二 设点 则直线 PM 的方程为 令 得 7 分 000 0M xyx 0 0 1 1 y yx x 2y 0 0 2 1 x P y 所以 所以 0 1 0 1y k x 0 2 0 0 0 3121 1 y k x x y 定值 10 分 22 00 0 0 12 2 2 000 0 3131 3113 44 1 yy yy k k xxxy 由 知 0 0 3 1 x PB y 0 00 0 2 1 x PMxy y 所以 2 00 00 000 2 00 0 2 32 1 23 1 1 xyxx PB PMxyy yy y 13 分 第 第 4 题图 题图 2 00 00 0 2 0 0 4 12 72 32 1 1 yy yy y y y 令 则 因为在上单调递减 0 10 2ty 818 7 tt PB PMt tt 8 7yt t 0 2 t 所以 即的取值范围为 16 分 88 7279 2 PB PMt t PB PM 9 4 如图 已知椭圆 的左 右焦点为 是椭圆上一点 在上 且满足1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 F 2 FPM 1 PF 为坐标原点 MPMF 1 R MFPO 2 O 1 若椭圆方程为 且 求点的横坐标 2 若 求椭圆离心率的取值范围 1 48 22 yx 22PM2 e 解 1 22 1 84 xy 12 2 0 2 0 FF 21 22 2 24 OPF MF M kkk 直线的方程为 直线的方程为 4 分 2 F M2 2 yx 1 FM 2 2 4 yx 由解得 点的横坐标为 6 分 2 2 2 2 4 yx yx 6 5 x M 6 5 2 设 00 MM P xyM xy 1 2FMMP uuuu ruuu r Q 100 2 3 MM FMxc yxc y 00200 212242 333333 MxcyF Mxcy 即 9 分 2 POF M 00 OPxy 2 000 242 0 333 xc xy 22 000 2xycx 联立方程得 消去得 解得 或 12 22 000 22 00 22 2 1 xycx xy ab 0 y 222222 00 2 0c xa cxaac 0 a ac x c 0 a ac x c 分 解得 综上 椭圆离心率 的取值范围为 15 0 axa 0 0 a ac xa c 2 0aacac 1 2 e e 1 1 2 分 5 如图 在平面直角坐标系中 已知椭圆 的离心率xoyC 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 左顶点为 过点作斜率为的直线 交椭圆于点 交 2 1 e 0 4 AA 0 kklCD 轴于点 1 求椭圆的方程 2 已知为的中点 是否存在定点yECPAD 对于任意的都有 若存在 求出点的坐标 若不存在说明Q 0 kkEQOP Q 理由 3 若过点作直线 的平行线交椭圆于点 求的最小值 OlCM OM AEAD 解 1 因为左顶点为 所以 又 所以 2 分 4 0 A 4a 1 2 e 2c 又因为 所以椭圆 C 的标准方程为 4 分 222 12bac 22 1 1612 xy 2 直线 的方程为 由消元得 l 4 yk x 22 1 1612 4 xy yk x 22 4 1 1612 xk x 化简得 所以 6 分 22 4 43 1612 0 xkxk 1 4x 2 2 2 1612 43 k x k 当时 2 2 1612 43 k x k 2 22 161224 4 4343 kk yk kk 所以 因为点为的中点 所以的坐标为 则 8 2 22 161224 4343 D kk kk PADP 2 22 1612 43 43 kk kk 3 0 4 OP kk k 分 P D M AO x y E 直线 的方程为 令 得点坐标为 假设存在定点 使得 l 4 yk x 0 x E 0 4 k 0 Q m n m OPEQ 则 即恒成立 所以恒成立 所以即1 OPEQ kk 34 1 4 nk km 412 30mkn 4120 30 m n 3 0 m n 因此定点的坐标为 10 分Q 3 0 3 因为 所以的方程可设为 由得点的横坐标为 12 分OMlAOMykx 22 1 1612 xy ykx M 2 4 3 43 x k 由 得 14 分OMlA 2 DAEA DA MM xxxxxxADAE OMxx 2 2 2 2 2 1612 149 43 4 33 43 4 8 3 k k k k k 当且仅当即时取等号 2 2 16 2 243 3 43 k k 2 2 6 43 43 k k 3 2 k 所以当时 的最小值为 16 分 3 2 k ADAE OM 2 2 6 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 a b 0 的两焦点分别为 F1 0 F2 0 22 22 1 xy ab 3 3 且经过点 1 求椭圆的方程及离心率 3 1 2 2 设点 B C D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点 点 B 与点 D 关于原点 O 对称 设 直线 CD CB OB OC 的斜率分别为 k1 k2 k3 k4 且 k1k2 k3k4 求 k1k2的值 求 OB2 OC2的值 解 1 方法一 依题意 c a2 b2 3 2 分3 由 解得 b2 1 b2 不合 舍去 从而 a2 4 故所求椭圆方程为 离心率 e 5 分 22 1 3 4 1 3bb 3 4 2 2 1 4 x y 3 2 方法二 由椭圆的定义知 2a 4 即 a 2 又因 c 故 b2 1 下 2222 11 33 0 33 0 22 3 略 2 设 B x1 y1 C x2 y2 则 D x1 y1 于是 k1k2 8 分 2121 2121 yyyy xxxx 1 22 2 22 21 yy xx 22 21 22 21 1 1 44 xx xx 1 4 方法一由 知 k3k4 k1k2 故 x1x2 1 4 12 4y y 所以 x1x2 2 4y1y2 2 即 x1x2 2 所以 4 11 分 22 12 16 1 1 44 xx 2222 1212 164 xxx x 22 12 xx 又 2 故 所以 OB2 OC2 5 14 分 22 2212 12 44 xx yy 22 2212 12 4 xx yy 22 12 1yy 2222 1122 xyxy 方法二由 知 k3k4 k1k2 将直线 y k3x 方程代入椭圆中 得 9 分 1 4 2 2 1 4 x y 2 1 2 3 4 14 x k 同理 所以 4 11 分下同方法一 2 2 2 4 4 14 x k 22 12 22 34 44 1414 xx kk 2 2 3 3 44 1 14 14 4 k k 7 如图 已知椭圆其率心率为两条准线之间的距离为分别为椭圆的上 下顶点 过点 0 1 2 2 2 2 ba b y a x M 2 3 CB 3 38 M 的直线分别与椭圆交于两点 0 2 ttTTCTB MFE 1 椭圆的标准方程 2 若 的面积是 的面积的倍 求的最大值 MTBCTEFkk y xO F1F2 B C 第 17 题 D 解 1 由题意 解得 所以 椭圆方程为 4 分 2 3 28 3 23 ca ac 2 3ac 1b 2 2 1 4 x y 2 解法一解法一 6 分 1 2 TBC SBC tt 直线方程为 联立 得 所以 到的距离TB 1 1yx t 2 2 1 4 1 1 x y yx t 2 8 4 E t x t 2 22 84 44 tt E tt TC30 xtyt 直线方程为 联立 得 8 分 2 22 2 222 4 24 44 212 994 t t t t tt t t d ttt TC 3 1yx t 2 2 1 4 3 1 x y yx t 2 24 36 F t x t 所以 所以 2 22 2436 3636 tt F tt TF 2 2 2 22 2436 2 3636 tt t tt 10 分 222 2222222 222 22 12336129129 36 3636 ttttttt t tt 所以 2 2222 2 22 22 12921212 11 2236364 94 TEF ttt tt t STF d ttt tt 所以 令 则 14 分 22 2 2 364 12 TBC TEF tt S k S t 2 1212tm 22 8 24 161924 1 3 mm k mmm 当且仅当 即时 取 所以的最大值为 16 分24m 2 3t k 4 3 解法二 解法二 直线方程为 联立 得 6 分TB 1 1yx t 2 2 1 4 1 1 x y yx t 2 8 4 E t x t 直线方程为 联立 得 8 分TC 3 1yx t 2 2 1 4 3 1 x y yx t 2 24 36 F t x t 10 分 1 sin 2 1 sin 2 TBC TEF TB TCBTC STB TC k STE TF TE TFETF TCTB TETF xxxxTB TC TE TFxxxx 12 分 22 22 22 436 824 1212 436 tt tt tt tt tt tt 令 则 14 分 2 1212tm 22 8 24 161924 1 3 mm k mmm 当且仅当 即时 取 所以的最大值为 16 分24m 2 3t k 4 3 8 如图 在平面直角坐标系中 椭圆的离心率为 直线 与轴交于点 与椭圆交xoy 22 22 1 0 xy Cab ab 6 3 lxEC 于 两点 当直线 垂直于轴且点为椭圆的右焦点时 弦的长为 ABlxECAB 2 6 3 y x B P A OEF1F2 第 18 题 1 求椭圆的方程 2 若点的坐标为 点在第一象限且横坐标为 连结点与原点的直线交椭CE 3 0 2 A3AO 圆于另一点 求的面积 3 是否存在点 使得为定值 若存在 请指出点的坐标 CPPAB E 22 11 EAEB E 并求出该定值 若不存在 请说明理由 解 1 由 设 则 6 3 c a 3 0 ak k 6ck 22 3bk 所以椭圆的方程为 因直线 垂直于轴且点为椭圆的右焦点 即 代入椭圆方C 22 22 1 93 xy kk lxEC6 AB xxk 程 解得 于是 即 所以椭圆的方程为 5 分yk 2 6 2 3 k 6 3 k C 22 1 62 xy 2 将代入 解得 因点在第一象限 从而 3x 22 1 62 xy 1y A 3 1 A 由点的坐标为 所以 直线的方程为 E 3 0 2 2 3 AB k PA 23 23 yx 联立直线与椭圆的方程 解得 PAC 37 55 B 又过原点 于是 所以直线的方程为 PAO 3 1 P 4PA PA30 xy 所以点到直线的距离 10 分BPA 37 3 55 3 3 25 h 13 36 3 4 255 PAB S 3 假设存在点 使得为定值 设 E 22 11 EAEB 0 0 E x 当直线与轴重合时 有 ABx 2 0 2222 22 0 00 1221111 6 6 6 x EAEBxxx 当直线与轴垂直时 由 解得 ABx 2222 00 1126 6 2 1 6 xEAEBx 2 0 222 00 1226 6 6 x xx 0 3x 所以若存在点 此时 为定值 2 12 分 2 0 6 2 6x E 3 0 E 22 11 EAEB 根据对称性 只需考虑直线过点 设 又设直线的方程为 与AB 3 0 E 11 A x y 22 B xyAB3xmy 椭圆联立方程组 化简得 所以 C 22 3 2 330mymy 12 2 2 3 3 m yy m 12 2 3 3 y y m 又 222222 22 111 11 1111 1 3 EAm yymyxy 所以 2 1212 222222222 1212 21111 1 1 1 yyy y EAEBmymymy y 将上述关系代入 化简可得 综上所述 存在点 使得为定值 2 16 分 22 11 2 EAEB 3 0 E 22 11 EAEB 9 如图 在平面直角坐标系中 椭圆 E 的离心率为 xOy 22 22 1 0 xy ab ab 2 2 直线 l 与椭圆 E 相交于 A B 两点 C D 是椭圆 E 上异于 A B 两点 1 2 yx 2 5AB 且直线 AC BD 相交于点 M 直线 AD BC 相交于点 N 1 求的值 2 求证 直线 MN 的斜率为定值 a b 解解 1 因为 e 所以 c2 a2 即 a2 b2 a2 所以 a2 2b2 2 分 c a 2 2 1 2 1 2 故椭圆方程为 1 由题意 不妨设点 A 在第一象限 点 B 在第三象限 x2 2b2 y2 b2 由解得 A b b 又 AB 2 所以 OA 即 b2 b2 5 解得 b2 3 故 a b 5 分 y 1 2 x x2 2b2 y2 b2 1 2 3 3 3 355 4 3 1 3 6 3 2 方法一方法一 由 1 知 椭圆 E 的方程为 1 从而 A 2 1 B 2 1 x2 6 y2 3 当 CA CB DA DB 斜率都存在时 设直线 CA DA 的斜率分别为 k1 k2 C x0 y0 显然 k1 k2 从而 k1 kCB 所以 kCB 8 分 y0 1 x0 2 y0 1 x0 2 y02 1 x02 4 3 1 s do1 f x02 6 1 x02 4 2 x02 2 x02 4 1 2 1 2k1 同理 kDB 于是直线 AD 的方程为 y 1 k2 x 2 直线 BC 的方程为 y 1 x 2 1 2k2 1 2k1 由解得 从而点 N 的坐标为 y 1 1 2k1 x 2 y 1 k2 x 2 4k1k2 4k1 2 2k1k2 1 2k1k2 4k2 1 2k1k2 1 用 k2代 k1 k1代 k2得点 M 的坐标为 11 分 4k1k2 4k2 2 2k1k2 1 2k1k2 4k1 1 2k1k2 1 所以 kMN 1 即直线 MN 的斜率为定值 1 14 分 4 k1 k2 4 k2 k1 当 CA CB DA DB 中 有直线的斜率不存在时 根据题设要求 至多有一条直线斜率不存在 故不妨设直线 CA 的斜率不存在 从而 C 2 1 仍然设 DA 的斜率为 k2 由 知 kDB 此时 CA x 2 DB y 1 x 2 它们交点 M 2 1 1 2k2 1 2k2 2 k2 x y A O B C D M N 第 18 题图 BC y 1 AD y 1 k2 x 2 它们交点 N 2 1 从而 kMN 1 也成立 2 k2 由 可知 直线 MN 的斜率为定值 1 16 分 方法二方法二 由 1 知 椭圆 E 的方程为 1 从而 A 2 1 B 2 1 x2 6 y2 3 当 CA CB DA DB 斜率都存在时 设直线 CA DA 的斜率分别为 k1 k2 显然 k1 k2 直线 AC 的方程 y 1 k1 x 2 即 y k1x 1 2k1 由得 1 2k12 x2 4k1 1 2k1 x 2 4k12 4k1 2 0 y k1x 1 2k1 x2 6 y2 3 1 设点 C 的坐标为 x1 y1 则 2 x1 从而 x1 2 4k12 4k1 2 1 2k12 4k12 4k1 2 2k12 1 所以 C 又 B 2 1 所以 kBC 8 分 4k12 4k1 2 2k12 1 2k12 4k1 1 2k12 1 2k12 4k1 1 2k12 1 1 4k12 4k1 2 2k12 1 2 1 2k1 所以直线 BC 的方程为 y 1 x 2 又直线 AD 的方程为 y 1 k2 x 2 1 2k1 由解得从而点 N 的坐标为 y 1 1 2k1 x 2 y 1 k2 x 2 4k1k2 4k1 2 2k1k2 1 2k1k2 4k2 1 2k1k2 1 用 k2代 k1 k1代 k2得点 M 的坐标为 11 分 4k1k2 4k2 2 2k1k2 1 2k1k2 4k1 1 2k1k2 1 所以 kMN 1 即直线 MN 的斜率为定值 1 14 分 4 k1 k2 4 k2 k1 当 CA CB DA DB 中 有直线的斜率不存在时 根据题设要求 至多有一条直线斜率不存在 故不妨设直线 CA 的斜率不存在 从而 C 2 1 仍然设 DA 的斜率为 k2 则由 知 kDB 此时 CA x 2 DB y 1 x 2 它们交点 M 2 1 1 2k2 1 2k2 2 k2 BC y 1 AD y 1 k2 x 2 它们交点 N 2 1 从而 kMN 1 也成立 2 k2 由 可知 直线 MN 的斜率为定值 1 16 分 10 在平面直角坐标系中 已知椭圆 C 的离心率为 且经过点 过椭圆的左顶点xOy 22 22 1 0 xy ab ab 2 2 6 1 2 A 作直线 l x 轴 点 M 为直线 l 上的动点 点 M 与点 A 在不重合 点 B 为椭圆右顶点 直线 BM 交椭圆 C 于点 P 1 求椭圆 C 的方程 2 求证 AP OM 3 试问是否为定值 若是定值 请求出该定值 若不是 请说明理由 OP OM 11 如图 在平面直角坐标系中 椭圆的左顶点为 与轴平行的直线与椭圆交于 xOy E 22 22 1 0 xy ab ab AxEB 两点 过 两点且分别与直线 AC垂直的直线相交于点 已知椭圆的离心率为CBCABDE 右焦点到右准线的距离为 1 求椭圆的标准方程 5 3 4 5 5 E 2 证明点在一条定直线上运动 并求出该直线的方程 3 求面积的最大值 DBCD 解 1 由题意得 解得 所以 5 3 c a 2 4 5 5 a c c 3 5ac 22 4bac 所以椭圆的标准方程为 4 分E 22 1 94 xy 2 设 显然直线的斜率都存在 设为 0000 B xyCxy AB AC BD CD 1234 k k k k 则 00 12 00 33 yy kk xx 00 34 00 33 xx kk yy x y D C O B A 所以直线的方程为 BD CD 00 0000 00 33 xx yxxyyxxy yy 消去得 化简得 故点在定直线上运动 10 分y 00 0000 00 33 xx xxyxxy yy 3x D3x 3 由 2 得点的纵坐标为 又 所以 D 2 00 000 00 39 3 D xx yxyy yy 22 00 1 94 xy 2 2 0 0 9 9 4 y x 则 所以点到直线的距离 为 2 0 0 0000 00 9 35 4 3 4 D y x yxyyy yy DBCh 0000 59 44 D yyyyy 将代入得 所以面积 0 yy 22 1 94 xy 2 0 3 1 4 y x BCD 2 0 0 119 6 1 2244 ABC y SBC hy 当且仅当 即 22 00 2 0 0 1 2712727 44 1 242224 yy y y 22 00 1 44 yy 时等号成立 0 2y 故时 面积的最大值为 16 分 0 2y BCD 27 4 12 如图 在平面直角坐标系中 分别是椭圆的左 右焦点 顶点的坐标为 xOy 12 F F 22 22 1 0 xy ab ab B 0 b 且 是边长为的等边三角形 求椭圆的方程 12 BFF2 1 过右焦点的直线 与椭圆交于两点 记 的面积分别为 若 求直线 的斜率 2 2 Fl A C 2 ABF 2 BCF 12 S S 12 2SS l 13 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 C D 分别为线段 OA 3 4 9 0 AB OB 上的动点 且满足 AC BD 1 若 AC 4 求直线 CD 的方程 2 证明 OCD 的外接圆恒过定点 异于原点 O 解析 1 因为 3 4 A 所以 22 3 45OA 1 分 又因为 4AC 所以 1OC 所以 3 4 5 5 C 由 4BD 得 5 0 D 4 分 所以直线的斜率 所以直线的方程为 即 6 分 CD 4 0 1 5 37 5 5 CD 1 5 7 yx 750 xy 2 设 3 4 01 Cmmm 则 5OCm 7 分 则 55ACOAOCm 因为AC BD 所以 5 4ODOBBDm 所以D点的坐标为 5 4 0 m 8 分 又设 OCD 的外接圆的方程为 22 0 xyDx EyF 则有 10 分 22 2 0 916340 54540 F mmmDmEF mmDF 解得 54 0DmF 103Em 所以 OCD 的外接圆的方程为 22 54 103 0 xymxmy 12 分 整理得 令 22 43 0 2 0 xyxy xy 所以 0 0 x y 舍 或 2 1 x y 22 435 2 0 xyxym xy 所以 OCD的外接圆恒过定点为 2 1 14 分 x y O A B C D F 第 18 题 E 14 如图 在平面直角坐标系中 离心率为的椭圆的左xOy 2 2 C 22 22 1 0 xy ab ab 顶点为 过原点的直线 与坐标轴不重合 与椭圆交于两点 直线分AOC P Q PA QA 别与轴交于两点 若直线斜率为时 y M NPQ 2 2 2 3PQ 1 求椭圆的标准方程 C 2 试问以为直径的圆是否经过定点 与直线的斜率无关 请证明你的结MNPQ 论 解 1 设 直线斜率为时 分 00 2 2 P xxPQ 2 2 2 3PQ 22 00 2 3 2 xx 2 0 2x 椭圆的标准方程为 分 22 21 1 ab 22 2 2 cab e aa 22 4 2ab C 22 1 42 xy 以为直径的圆过定点 设 则 且 即 MN 2 0 F 00 P xy 00 Qxy 22 00 1 42 xy 22 00 24xy 直线方程为 2 0 A PA 0 0 2 2 y yx x 0 0 2 0 2 y M x 直线方程为 分QA 0 0 2 2 y yx x 0 0 2 0 2 y N x 以为直径的圆为 即 12 分MN 00 00 22 0 0 0 22 yy xxyy xx 2 22 000 22 00 44 0 44 x yy xyy xx 令 解得 22 00 42xy 22 0 0 2 20 x xyy y 0y 22 20 xy 2x 以为直径的圆过定点 16 分MN 2 0 F 15 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆 2 2 22 1 0 y x ab ab 的右焦点为 1 0 F 离心率为 2 2 分别过O F 的两条 弦 AB CD相交于点E 异于A C两点 且OEEF 1 求椭圆的方程 2 求证 直线AC BD的斜率之和为定值 解 1 由题意 得1c 2 2 c e a 故2a 从而 222 1bac 所以椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 5 分 2 证明 设直线AB的方程为ykx 直线CD的方程为 1 yk x 7 分 N M Q A O P x y 由 得 点A B的横坐标为 2 2 21k 由 得 点C D 的横坐标为 22 2 22 1 21 kk k 9 分 记 11 A x kx 22 B xkx 33 1 C xkx 44 1 D xkx 则直线AC BD的斜率之和为 1324 1324 1 1 kxkxkxkx xxxx 13241324 1324 1 1 xxxxxxxx k xxxx 12341234 1324 2 x xx xxxxx k xxxx 13 分 2 2 222 1324 2 1 24 20 212121 k k kkk k xxxx 0 16 分 16 椭圆C的右焦点为F 右准线为l 离心率为 3 2 点A在椭圆上 以F为圆心 FA为半径的圆与l的两个公共点是 B D 1 若FBD 是边长为的等边三角形 求圆的方程 2 2 若 A F B三点在同一条直线上 且原点到直线的距离为2 求椭圆方程 mm 解 设椭圆的半长轴是a 半短轴是b 半焦距离是c 由椭圆C的离心率为 3 2 可得椭圆C方程是 22 22 1 4 xy bb 2 分 只要是一个字母 其它形式同样得分 焦点 3 0 Fb 准线 4 3 b x 设点 00 A xy 1 FBD 是边长为的等边三角形 则圆半径为 且F到直线l的距离是 223 又F到直线l的距离是 22 3 abb FMc cc 所以 所以3 3 b 3b 3 3c 所以 圆的方程是 6 分 22 3 3 4xy 2 因为 A F B三点共线 且F是圆心 所以F是线段AB中点 由B点横坐标是 4 3 b 得 2 0 42 22 333 33 a xcbbb c 8 分 再由 22 00 22 1 4 xy bb 得 2 222 0 0 2 43 x ybb 0 6 3 yb 所以直线m斜率 0 0 6 3 2 3 3 b y k xcb 10 分 直线m 2 yxc 220 xyc 12 分 原点O到直线m的距离 2 3 c d 依题意 2 2 3 c 6c 所以2b 所以椭圆的方程是 22 1 82 xy 15 分 17 如图 在平面直角坐标系中 椭圆 C 的左焦点为 右xOy 22 22 1 xy ab 0ab F 顶点为 A 动点 M 为右准线上一点 异于右准线与轴的交点 设线段交椭圆 C 于xFM 点 P 已知椭圆 C 的离心率为 点 M 的横坐标为 1 求椭圆 C 的标准方程 2 3 9 2 2 设直线 PA 的斜率为 直线 MA 的斜率为 求的取值范围 1 k 2 k 12 kk M A P F O x y 解 1 由已知 得 2 2 3 9 2 c a a c 18 已知椭圆 E 22 22 1 a0 xy b ab 过点 0 2 且离心率为 2 2 1 求椭圆 E 的方程 2 设直线 1xmymR 交椭圆 E 于 A B 两点 判断点 G 9 4 0 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系 并说明理由 解法一 由已知得 222 2 2 2 b c a abc 解得 2 2 2 a b c 所以椭圆 E 的方程为 22 1 42 xy 故 2222 22 012 222 AB 52553 m 1 25172 GH my m 1 y0 42162 m2 m21616 m2 mm y 所以 AB GH 2 故 G 9 4 0 在以 AB 为直径的圆外 解法二 同解法一 设点 1122 y B y A xx 则 1122 99 GA GB 44 xyxy 由 22 22 1 m2 y230 1 42 xmy my xy 得所以 1212 22 23 y y y y m2m2 m 12121212 9955 GA GB my my 4444 xxy yy y A 22 2 1212 22 52553 m 1 25 m 1 y y 4162 m2 m216 m ym y 2 2 172 0 16 m2 m 所以cos GA GB0 GAGB 又 不共线 所以AGB 为锐角 故点 G 9 4 0 在以 AB 为直径的圆外 19 如图 圆 O 与离心率为的椭圆 T 相切于点 M 2 3 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 0 求椭圆 T 与圆 O 的方程 过点 M 引两条互相垂直的两直线 与两曲线分别交于点 A C 与点 B D 均不重合 1 l 2 l P 为椭圆上任一点 记点 P 到两直线的距离分别为 求的最大值 1 d 2 d 2 2 2 1 dd 若 求与的方程 MDMBMCMA 43 1 l 2 l 解 1 由题意知 解得可知 222 1 2 3 abcb a c 3 1 2 cba 椭圆的方程为与圆的方程 4 分C1 4 2 2 y x O1 22 yx 2 设因为 则 00 yxP 1 l 2 l 2 0 2 0 22 2 2 1 1 yxPMdd 因为 所以 7 分1 4 2 0 2 0 y x 3 16 3 1 3 1 44 2 0 2 0 2 0 2 2 2 1 yyydd 因为 所以当时取得最大值为 此时点 9 分11 0 y 3 1 0 y 2 2 2 1 dd 3 16 3 1 3 24 P 3 设的方程为 由解得 由解 11 1 l1 kxy 1 1 22 yx kxy 1 1 1 2 2 2 2 k k k k A 1 4 1 2 2 y x kxy 41 41 14 8 2 2 2 k k k k C 把中的置换成可得 12 分CA k k 1 1 1 1 2 2 2 2 k k k k B 4 4 4 8 2 2 2 k k k k D 所以 1 2 1 2 2 2 2 k k k k MA 41 8 14 8 2 2 2 k k k k MC 1 2 1 2 22 kk k MB 4 8 4 8 22 kk k MD 由得解得 15 分34MA MCMB MD 4 4 41 3 22 2 kk k 2 k 所以的方程为 的方程为 1 l12 xy 2 l1 2 2 xy 或的方程为 的方程为 16 分 1 l12 xy 2 l1 2 2 xy 20 已知圆过点 且与圆 关于直线对称 C 1 1 PM 222 2 2 0 xyrr 20 xy 1 求圆的方程 2 设为圆上的一个动点 求的最小值 CQCPQ MQ 3 过点作两条相异直线分别与圆相交于 且直线和直线的倾斜角互补 为坐标原点 试判断直线和PCBA PAPBOOP 是否平行 请说明理由 AB 解 1 设圆心 则 解得 3 分 C a b 22 20 22 2 1 2 ab b a 0 0 a b 则圆的方程为 将点的坐标代入得 故圆的方程为 5 分 C 222 xyr P 2 2r C 22 2xy 2 设 则 且 7 分 Q x y 22 2xy 1 1 2 2 PQ MQxyxy 所以的最小值为 可由线性规划或三角代换求得 10 分 22 4xyxy 2xy PQ MQ 4 3 由题意知 直线和直线的斜率存在 且互为相反数 故可设 PAPB 1 1 PA yk x 由 得 11 分 1 1 PB yk x 22 1 1 2 yk x xy 222 1 2 1 1 20kxkk xk 因为点的横坐标一定是该方程的解 故可得 13 分 P1x 2 2 21 1 A kk x k 同理 所以 2 2 21 1 B kk x k 1 1 2 1 BABABA AB BABABA yyk xk xkk xx k xxxxxx OP k 所以 直线和一定平行 16 分 ABOP 21 已知圆的方程为 直线 的方程为 点在直线 上 过点作圆的切线 切M 22 2 1xy l20 xy PlPM PA PB 点为 1 若 试求点的坐标 A B60APB P 2 若点的坐标为 过作直线与圆交于两点 当时 求直线的方程 P 2 1 PM C D2CD CD 3 求证 经过三点的圆必过定点 并求出所有定点的坐标 A P M 解 1 设 由题可知 所以 解之得 2 Pm m2MP 22 2 2 4mm 4 0 5 mm 故所求点的坐标为或 P 0 0 P 8 4 5 5 P 2 设直线的方程为 易知存在 由题知圆心到直线的距离为 所以CD1 2 yk x kMCD 2 2 2 212 2 1 k k 解得 或 故所求直线的方程为 或 1k 1 7 k CD30 xy 790 xy 3 设 的中点 因为是圆的切线 2 Pm mMP 1 2 m Q m PAM 所以经过三点的圆是以为圆心 以为半径的圆 故其方程为 A P MQMQ 2222 1 1 22 mm xmym 化简得 此式是关于的恒等式 22 2 2 0 xyym xy m 故解得或 所以经过三点的圆必过定点或 22 20 20 xyy xy 0 2 x y 1 1 x y A P M 0 2 1 1 22 已知椭圆 E 的离心率为 它的上顶点为 A 左 右焦点分别为 直线 AF1 AF2分别 22 22 1 0 xy ab ab 3 3 12 F F 交椭圆于点 B C 1 求证 直线 BO 平分线段 AC 2 设点 P m n m n 为常数 在直线 BO 上且在椭圆 外 过 P 的动直线 l 与椭圆交于两个不同点 M N 在线段 MN 上取点 Q 满足 试证明点 Q 恒在一定直线 MPMQ PNQN 上 解 1 由题意 则 故椭圆方程为 3 2 c a 3ac 2222 2bacc 22 22 1 32 xy cc 即 其中 222 2360 xyc 0 2 Ac 1 0 Fc 直线的斜率为 此时直线的方程为 1 AF2 1 AF2 yxc 联立得 解得 舍 和 即 222 2360 2 xyc yxc 2 230 xcx 1 0 x 2 3 2 xc 32 22 Bcc 由对称性知 直线 BO 的方程为 线段 AC 的中点坐标为 32 22 Ccc 2 3 yx 32 44 cc AC 的中点坐标满足直线 BO 的方程 即直线 BO 平分线段 AC 32 44 cc 2 设过 P 的直线 l 与椭圆交于两个不同点的坐标为 点 1122 M x yN xy Q x y 则 设 则 222 11 236xyc 222 22 236xyc MPMQ PNQN MPMQ PNQN APPB AQQB 求得 1212 11 xxxx mx 1212 11 yyyy ny 222222 1212 22 11 xxyy mxny 22222222222 2 12121122 22 223323 23 236 11 xxyyxyxy mxnyc 由于 m n C 为常数 所以点 Q 恒在直线上 2 2360mxnyc 23 椭圆 C 两个焦点为 点 P 在椭圆 C 上 且 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 12 F F 211 FFPF 2 1 1 PF32 21 FF 1 求椭圆 C 的方程 2 以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC 这样的直角三角形是 否存在 若存在 请说明有几个 若不存在 请说明理由 解 解 1 又 32 21 FF 3 c 211 FFPF 2 7 4 49 2 2 21 2 1 2 2 PFFFPFPF 所求椭圆 C 的方程为 1 2 42 222 21 cabaPFPFa则 1 4 2 2 y x 2 假设能构成等腰直角三角形 ABC 其中 由题意可知 直角边不可能垂直或平行于轴 故可设 1 0 BBCBA x 边所在直线的方程为 则边所在直线的方程为 BA 1 kxy 0 k不妨设 BC 1 1 x k y 由得 故 22 1 44 ykx xy 12 2 8 0 14 k xx k 舍 1 41 8 41 8 2 2 2 k k k k A 用代替上式中的 得 41 18 41 8 41 8 2 2 2 2 2 2 2 k kk k k k k AB k 1 k 2 2 4 18 k k BC 由 即即 得 BCAB 41 4 22 kkk 32 4410 kkk 2 1 31 0 kkk 故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形 2 53 1 0 kkk或解得 24 已知椭圆 经过与两点 过原点的直线 与椭圆交于 两点 C1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 1 2 3 2 6 lCAB 椭圆上一点满足 CM MBMA 1 求椭圆的方程 2 求证 为定值 C 222 2 1 1 OMOBOA 解 1 将与代入椭圆的方程 得 2 分 1 1 2 3 2 6 C 1 4 3 2 3 1 11 22 22 ba ba 解得 所以椭圆的方程为 6 分 3 2 a 2 3 2 bC1 3 2 3 22 yx 2 由 知在线段的垂直平分线上 由椭圆的对称性知 关于原点对称 MBMA MABAB 若点 在椭圆的短轴顶点上 则点在椭圆的长轴顶点上 此时ABM 1 分 2 11 2 211 2 1 1 22222222 baabbOMOBOA 同理 若点 在椭圆的长轴顶点上 则点在椭圆的短轴顶点上 此时ABM 2 分 2 11 2 211 2 1 1 22222222 babaaOMOBOA 若点 不是椭圆的顶点 设直线 的方程为 ABMlkxy 0 k 则直线的方程为 设 OMx k y 1 11 yxA 22 yxM 由 解得 4 分 1 3 2 3 22 yx kxy 2 2 1 21 3 k x 2 2 2 1 21 3 k k y 所以 同理可得 2 2 2 1 2 1 22 21 1 3 k k yxOBOA 2 2 2 2 1 3 k k OM 所以 7 分 2 1 3 2 2 1 3 21 1 3 21 2 1 1 2 2 2 2 2 2 222 k k k k k k OMOBOA 综上 为定值 8 分 222 2 1 1 OMOBOA 2 25 已知左焦点为 F 1 0 的椭圆过点 E 1 过点 P 1 1 分别作斜率为 k1 k2的椭圆的动弦 AB CD 设 M N 分 2 3 3 别为线段 AB CD 的中点 1 求椭圆的标准方程 2 若 P 为线段 AB 的中点 求 k1 3 若 k1 k2 1 求证直线 MN 恒过定点 并求出定点坐 标 解解 依题设 c 1 且右焦点 1 0 F O A B M x y O A B M x y 所以 2a b2 a2 c2 2 故所求的椭圆的标准方程为 4 分EF EF 2 22 32 3 1 1 2 3 33 2 2 1 32 y x 2 设 A B 则 1 x 1 y 2 x 2 y 22 11 1 32 xy 22 22 1 32 xy 得 所以 k1 9 分 21212121 0 32 xxxxyyyy 2121 2121 2 4 2 3 63 P P yyxxx xxyyy 3 依题设 k1 k2 设 M 直线 AB 的方程为 y 1 k1 x 1 即 y k1x 1 k1 亦即 y k1x k2 M x M y 代入椭圆方程并化简得 于是 11 分 222 1122 23 6360kxk k xk 12 2 1 3 23 M k k x k 2 2 1 2 23 M k y k 同理 12 2 2 3 23 N k k x k 1 2 2 2 23 N k y k 当 k1k2 0 时 直线 MN 的斜率 k 13 分 MN MN yy xx 22 2211 2121 46 9 kk kk k k kk 21 21 106 9 k k k k 直线 MN 的方程为 即 22112 22 21 11 21063 9 2323 kk kk k yx k k kk 2121122 22 2121 11 10610632 99 2323 k kk kk kk yx k kk k kk 亦即 此时直线过定点 15 分 21 21 106 2 93 k k yx k k 2 0 3 当 k1k2 0