应用数理统计第1章PPT课件

第一章抽样分布 1 1基本概念 2 2抽样分布 一 母体1 母体是指被研究事物的全体 构成母体的元素称为个体 在数理统计中母体一般为一些具有相同性质的数据的集合 用随机变量X表示 个体用X1表示 例如 某地区人体身高X 甲身高为X1 1 1基本概念 2 母体的分布 母体X为随机变量 随机变量X的分布称为母体的分布 用F x 表示 当然 如果是离散型 可用分布律p x P X x 对于连续型随机变量 可用密度函数f x 是未知参数 3 母体的数字特征 用母体的分布计算的数学期望 方差等数字特征 1 母体平均数 E X 2 母体方差 D X 称为母体标准差 3 母体k阶原点矩 k E Xk 4 母体k阶中心矩 k E X EX k 注意 母体的分布及数字特征是客观存在但往往未知 数理统计的任务之一研究母体的分布及数字特征 所用工具是子样 二 子样1 子样 由若干个体构成的集合称为子样 X1 X2 Xn称为容量为n的一个子样 2 简单随机子样 X1 X2 Xn满足 1 用随机原则抽样 2 相互独立同分布 与母体分布相同 注 1 数理统计的子样均为简单随机子样 2 如何取得简单随机子样 其一是随机性 传统的做法是母体的所有元素编号 按随机抽样方法抽取号码 其二是独立性 抽样时采用有放回抽样则一定是独立的 但实际情况一般是不放回抽样 此时 如果母体元素个数N充分大 而子样容量相对小n n N 0 1 则可视为独立抽样 3 子样观察值 子样值 子样X1 X2 Xn在试验前是n维随机变量 而试验后是一组数值 称为子样值 表示为x1 x2 xn 例 X为人体身高 计划抽取100人测身高 此时为随机变量 具体实施为子样值 4 子样分布 子样分布为子样的频数分布 将在第三章给出 1 子样平均数 5 子样的数字特征 2 子样方差 S称为子样标准差 母体特征 E X D X E X EX 2 3 子样k阶原点矩 对子样值 x1 x2 xn可以计算出 4 子样k阶中心矩 数理统计的基本思路 母体分布F x 数字特征 k k 未知 抽样 试验 x1 x2 xn 子样分布及子样数字特征 推测 三 统计量 1 统计量的定义 对来自母体X的子样X1 X2 Xn 如果子样函数g X1 X2 Xn 不显含任何未知参数 则称g X1 X2 Xn 为一个统计量 对子样值x1 x2 xn 计算出g x1 x2 xn 为统计值 例 是统计量 未知 不是统计量 2 常用统计量 1 子样数字特征 2 子样位置统计量 子样X1 X2 Xn 按顺序排序为 1 2抽样分布 一 四个分布 一 标准正态分布 1 标准正态分布的密度函数 2 标准正态分布上侧分位数 1 上侧分位数的定义 满足 2 的求法 的满足 故可反查表 则得 3 的概率对称点 图形对称 例 例 二 2分布 卡方分布 1 2分布的定义 设X1 X2 Xn独立同分布 均服从标准正态分布 即 记 称Y服从自由度为n的 2分布 记作 注 自由度的意义是一个平方和中独立的变量 其计算可用平方和的项数减变量的线性关系式的个数 例 子样方差 其项数为n 令 可得 故的自由度为n 1 2 2 n 的密度函数的图形 由于 2分布是标准正态分布的平方和 故 2分布总是非负的 因此密度函数的图形是在y的右方的 在y的左方为0 2 n 的密度函数的图形 3 上侧分位数 1 定义 满足 2 的概率对称点 3 的求法 例 三 t分布 student分布 1 t分布的定义 设X与Y相互独立 且 记 称T服从自由度为n的t分布 记作 2 t分布的密度函数的图形 由于标准正态分布关于y轴对称 而分母是自由度为n的 2分布 n充分大 接近一个常数 可以证明t分布的密度函数关于y轴对称 t分布的密度函数的图形 3 上侧分位数 1 定义 满足 2 的概率对称点 图形对称 3 的求法 例 四 F分布 1 F分布的定义 设U与V相互独立 且 2 F分布的密度函数的图形 由于F分布的分子与分母都是 2分布 故F分布总是非负的 因此密度函数的图形是在y的右方的 在y的左方为0 的F分布记作 3 上侧分位数 1 定义 满足 2 的概率对称点 的密度函数的图形 4 的性质 设 则 5 与的关系 独立 X1 X2 Xn 二 抽样分布 一 单母体下的抽样分布 X是母体 X1 X2 Xn来自母体X的子样 子样平均数及子样方差为 1 基本定理 设母体 1 2 3 与相互独立 证明略 则有 2 单正态母体下抽样分布 母体 1 则有 证明 由t分布的定义 有 3 单一般母体下抽样分布 母体X 条件 大子样n 30 二 两母体下的抽样分布 X是母体 来自母体X的子样 子样平均数及子样方差为 Y是另一母体 来自母体Y的子样 子样平均数及子样方差为 X与Y独立 1 两正态母体下抽样分布 母体 1 则有 2 3 如果s12 s22 s2 s12 s22 s2 记 2 两一