线性代数复习第1-6章典型例题PPT课件

1 线性代数 2 例12 解 3 注 1 2 4 计算n阶行列式 解 将第列都加到第一列上 得 5 特征1 对于所有行 列 元素相加后相等的行列式 可把第2行至n行加到第一行 列 提取公因子后在简化计算 6 爪形行列式 特征2 第一行 第一列及对角线元素除外 其余元素全为零的行列式称为爪型行列式 7 范德蒙德 Vandermonde 行列式 从最后一行开始 每行减去上一行的倍 8 按最后一列展开再提取每列的公因子 9 10 11 例5 证明A和A 2E都可逆 并求其逆 设方阵A满足 证 12 例6 设A B和A B均可逆 证明也可逆 并求其逆 证 13 例7 设A为3阶方阵 求 解 14 设即有初等矩阵使得 问 作一次行变换 再作一次行变换 继续 考虑对作行变换 求逆矩阵的初等变换法 15 解矩阵方程 解 例12 16 17 18 证 19 5 设A是n阶方阵 其中都是方阵 则称A为分块对角矩阵 20 时 有无穷多解 时 无解 时 有无穷多解 问a b为何值时 方程组有解 无解 解 21 解 系数矩阵是方阵首选行列式法 问为何值时 方程组有唯一解 无解 无穷多解 有无穷多解时 求通解 22 分析 当时有唯一解 当时 此时系数矩阵中的参数已确定 方程组可能无解 也可能有无穷多解 这取决于右端项 再用初等行变换法加以判别 当时 方程组有唯一解 当时 当时 方程组无解 当时 方程组有无穷多解 23 通解为 24 向量可由向量组线性表示 存在数使 另外 如果解唯一 则表示方法是唯一的 如果 按定义 转换为方程组 用矩阵的秩 方程组 25 存在不全为零的数使 按定义 转化为方程组 齐次方程组 用矩阵的秩 把向量组排成矩阵 如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关 否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关 证明向量组线性相关性的基本方法 向量方程 26 7 含有n个向量的n元向量组线性相关 无关 P101推论2 由它构成的n阶矩阵的行列式 t取何值时 下列向量组线性相关 解 记 当t 5时 上面向量组线性相关 例4 27 设线性无关 问满足什么条件 分析 这是一个向量组表示另一向量组的问题 就是矩阵乘法的关系 P104 则 例6 28 设 要讨论上面方程组何时有非零解 由 29 线性相关 30 另证 由于是列满秩矩阵 故 31 例7 重要结论 设向量组能由向量组 线性表示为 且A组线性无关 证明B组线性无关的充要条件是 证法一 适用于一般的线性空间 设 32 求向量 一个最大无关组 并把其余 向量用该最大无关组表出 矩阵的秩 线性无关吗 是最大无关组吗 阅读书P109例3 33 34 是右边的最大无关组 是左边的最大无关组 总结 矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系 引理2 35 注 以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用 而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因 但对于无限向量组符号就不能混用了 向量组的秩与矩阵秩的关系 三秩相等定理 36 证 以前证过 证明齐次方程组的解集 是一个向量空间 以后称为齐次方程组的解空间 37 定义 设是一向量组 称 为由该向量组生成的 或张成的 向量空间 记为 特别地 由矩阵A的列向量生成的向量空间称为A的列空间 或称像空间或称值域 记为R A 38 六 正交矩阵 A是正交矩阵 39 非齐次方程组解的存在性定理 对于非齐次方程组 4 1 向量可由A的列向量组 线性表示 40 对于齐次方程组 1 A的列向量组线性无关 2 A的列向量组线性相关 推论1 当方程的个数m小于未知量的个数n 则 4 3 必有非零解 41 证明 设 首先证明 利用这一结论 证 重要结论 42 求一个齐次方程组 使它的基础解系为 记之为AB O 这相当于要解矩阵方程 习惯把未知 然后再把这些解拼成的列 A的行 即可 解得基础解系 设所求的齐次方程组为 则 解 43 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知是它的三个解向量 且 求该方程组的通解 解 取 则它就是解 从而也是基础解系 基础解系所含向量个数 4 3 1 故非齐次方程组的通解为 44 第1 4章 典型例题行列式计算矩阵方程求解向量组的极大无关组及表示含参数