2020考研数学二真题附答案.pdf

0 x 0 0 2020 考研数学二真题及解析完整版 考研数学二真题及解析完整版 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 第小题 小题 第小题 4 分 共 分 共 32 分分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项 是符合题目要求的 请将选项前的字母填在答题纸指定位置上 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项 是符合题目要求的 请将选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 x 0 下列无穷小量中最高阶是 A x et2 1 dt B 0 ln 1 t3 dt C sin x sint 2dt 0 1 cos x D 0 答案 D sin3 tdt 解析 A x et 2 1 dt x t 2dt x3 0 0 3 B ln 1 t3 dt t 2dt x 2 x x 3 2 5 0 0 5 C sin x sin t2dt x t2dt 1 x3 0 0 3 1 cos x 1 x 2 3 D sin3 tdt 2 t 2 dt 5 2 1 x2 2 1 x5 5 2 10 2 2 f x A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 1 ex 1 ln 1 x ex 1 x 2 第二类间断点个数 解析 x 0 x 2 x 1 x 1 为间断点 t 2 2 1 x 0 x 0 ex x 0 x 1 x x d x lim f x lim 1 ex 1 ln 1 x lim 1 x 2 e 1 ln 1 x 2x e 1 2 lim ln x 1 x e 1 2 x 0 为可去间断点 1 lim f x lim e x 1 ln 1 x x 2 x 2 ex 1 x 2 x 2 为第二类间断点 1 lim f x lim e x 1 ln 1 x 0 x 1 x 1 ex 1 x 2 lim f x lim 1 ex 1 ln 1 x x 1 x 1 ex 1 x 2 x 1 为第二类间断点 1 lim f x lim ex 1 ln 1 x x 1 x 1 ex 1 x 2 x 1 为第二类间断点 3 dx 2 A 4 2 B 8 C 4 D 8 答案 A 解析 令u 则 原式 0 arcsin u 2u d u 1 arcsin x x 1 x u2 1 u2 x 0 1 u2 f x n n n 2 1 arcsin u d u 0 p t 令u sin t 2 2 cos t d t 0 cos t 2 1 t 2 p p2 2 2 0 4 4 f x x2 ln 1 x n 3 时 f n 0 n A B n 2 n n 2 n 2 C n n 2 D n 答案 A 解析 f x x2 ln 1 x n 3 f n x C 0 x2 ln 1 x n C1 x2 ln 1 x n 1 C 2 x2 ln 1 x n 2 ln 1 x n n 1 1 1 x n ln 1 x n 1 n 2 1 1 x n 1 ln 1 x n 2 n 3 1 1 x n 2 x2 2x x2 2 f n x x2 n 1 1 2n x n 2 1 2 n n 1 n 3 1 f n 0 1 x n n 1 x n 1 2 1 x n 2 n 2 xy xy 0 5 关于函数 f x y x y 0 y x 0 给出以下结论 1 0 0 2 f x y f x 1 0 0 lim f x y 0 x y 0 0 lim lim f x y 0 正确的个数是 y 0 x 0 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 B 解析 lim f x 0 f 0 0 0 0 x 0 x lim x 0 1 x 0 x f xy 0 时 x y f y 0 时 x 1 f x 0 时 x 0 lim fx 0 y fx 0 0 lim 1 不存在 0 0 y 0 y y 0 y xy 0 lim f x y lim xy 0 x y 0 0 x y 0 0 y 0 lim f x y lim x 0 x y 0 0 x y 0 0 x 0 lim f x y lim y 0 x y 0 0 x y 0 0 lim x y 0 0 f x y 0 xy 0 lim f x y lim xy 0 x 0 x 0 y 0 lim f x y lim x 0 x 0 x 0 x 0 lim f x y lim y y x 0 x 0 从而limlim f x y 0 y 0 x 0 x y 6 设函数 f x 在区间 2 2 上可导 且 f x f x 0 则 f 2 A 1 f 1 f 0 B f 1 f 1 C f 1 f 2 D f 1 e e2 f x 0知 f x 1 0 f x 即 ln f x x 0 令 F x ln f x x 则 F x 在 2 2 上单增因 2 1 所以 F 2 F 1 即ln f 2 2 e f 2 同理 1 0 F 1 F 0 即ln f 1 1 e f 1 7 设四阶矩阵 A aij 不可逆 a12 的代数余子式 A12 0 a 1 a2 a3 a4 为矩阵 A 的列向量 组 A 为 A 的伴随矩阵 则方程组 A x 0 的通解为 A x k1a 1 k2a2 k3a3 其中 k1 k2 k3 为任意常数 B x k1a 1 k2a2 k3a4 其中 k1 k2 k3 为任意常数 C x k1a 1 k2a3 k3a4 其中 k1 k2 k3 为任意常数 D x k1a 2 k2a3 k3a4 其中 k1 k2 k3 为任意常数 答 案 C 解析 A 不可逆 1 1 2 3 3 4 A 0 A12 0 r A 1 r A 3 A x 0 的基础解系有 3 个线性无关的解向量 A A A E 0 A 的每一列都是 A x 0 的解 又 A12 0 a 1 a3 a4 线性无关 A x 0 的通解为 x k a k a k a 8 设 A 为 3 阶矩阵 a 1 a2 为 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量 a3 为 A 的属于特征 1 0 0 值 1 的特征向量 则满足 P 1 AP 0 1 0 的可逆矩阵 P 可为 A a 1 a3 a2 a3 B a 1 a2 a2 a3 C a 1 a3 a3 a3 D a 1 a2 a3 a2 答案 D 解析 Aa 1 a1 Aa2 a2 Aa 3 a3 0 0 1 1 0 0 P 1 AP 0 1 0 0 0 1 P 的 1 3 两列为 1 的线性无关的特征向量a 1 a2 a2 P 的第 2 列为 A 的属于 1 的特征向量a 3 dt 1 1 1 1 1 x 1 3 x 1 0 0 P a 1 a2 a3 a2 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题 小题 每小题 4 分 共 分 共 24 分分 请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上 x t 2 1 9 设 则 y ln 解析 t t 2 1 t 1 dy 1 1 t dy t t 2 1 t 2 1 dt dx dx t dt 1 t d dy dy2 dy dt 2 dt t dx2 dx t 2 1 t3 dx t dt t 1 10 0 dy y x3 1dx 解析 0 dy y x3 1dx 2 0 dx 0 x3 1dy 2 x 1dx dy 0 x 3 1x2dx d 2 y dx2 t 2 1 t 2 1 dy2 dx2 d 1 a a 1 1 1 x3 1 2 d x3 1 3 0 1 2 3 3 3 1 x3 1 2 0 2 3 22 1 9 11 设 z arctan xy sin x y 则 dz 0 p 解析 dz z dx z dy x z x 1 y cos x y 1 x z y z 1 xy sin x y 2 1 x cos x y 1 xy sin x y 2 1 dx dy 0 0 1 x 0 12 斜边长为 2 a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中 且斜边与水面相齐 设重力加速度 为 g 水密度为r 则该平板一侧所受的水压力为 解析 建立直角坐标系 如图所示 F 2 0 r gx a x d x 2rg 0 ax x d x 2 a 2rg a x2 1 x3 2 3 0 1 rga3 3 13 设 y y x 满足 y 2 y y 0 且 y 0 0 y 0 1 则 y x d x 0 解析 特征方程l 2 2l 1 0 l 1 l2 1 y x C C x e x 1 2 z x z y 0 y x d x y x 2 y x d x 0 0 y x 2 y x y 0 2 y 0 1 a 0 1 1 0 14 行列式 a 1 1 1 1 a 0 解析 1 1 0 a a 0 1 1 a 0 1 1 0 a 1 1 0 a 1 1 0 a 1 a 2 1 a 1 a 2 1 0 a 1 1 a 1 1 1 1 a 0 0 a a 0 0 a a a a2 2 1 a 2 1 a 4 4a 2 0 0 a 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共 小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上 解答写出文字说明 证 明过程或演算步骤 解答写出文字说明 证 明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 x1 x 求曲线 y 1 x x x 0 的斜渐近线方程 解析 lim y x1 x lim lim x x xx x x 1 x x x x 1 x ex ln x lim x e x ln 1 x lim ex ln x ln 1 x x 1 1 a 0 1 1 a 0 1 1 0 a 0 0 a a 1 x 1e x 1 lim e x x ln x 1 1 1 x x ln 1 1 lim e 1 x x lim e x x 1 lim y e 1x x lim x1 x e 1 x 1 x lim x x e x 1 x x ln x lim x e 1 x e 1 x x ln x 1 lim xe 1 e 1 x 1 x lim e 1 x x ln x 1 x 1 x 1 1 ln t t 1 1 1 lim e 1 t t 0 t ln 1 t lim e 1 t 1 t 0 t 2 lim e 1 t ln 1 t 1 e 1 t 0 t2 2 曲线的斜渐近线方程为 y e 1x 1 e 1 2 16 本题满分 10 分 lim f x 1 g x 1 f xt dt 求g x 已知函数 f x 连续且 x 0 x 0 续 并证明 g x 在x 0 处连 x x x 1 x 0 x 解析 因为lim f x 1 f 0 lim f x 0 x 0 x x 0 所以 g 0 0 f 0 dt 0 因为 g x 1 f xt dtxt u 1 x f u du 0 x 0 当 x 0 时 g x xf x 0 f u du x2 当 x 0 时 g 0 lim g x g 0 lim 0 f u du 1 lim f x 1 x f u du x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 2 x 0 x 2 g x x2 1 2 x 0 又因为lim g x lim xf x x f u du x 0 x 0 x2 0 x f u du lim f x 0 1 1 1 x 0 x x2 2 2 g x 在x 0 处连续 17 本题满分 10 分 求二元函数 f x y x3 8 y3 xy 的极值 解析 求一阶导可得 f 3x2 y x f 24 y2 x y f 0 x 1 x f x 0 6 y 0 1 0 令 y 求二阶导可得 y 12 2 f x2 6x 2 f x2 y 1 2 f y2 48 y 当 x 0 y 0时 A 0 B 1 C 0 可得 1 1 x2 1 3 x AC B2 0 A 1 0故 1 1 且极小值 1 1 1 3 6 12 1 3 1 1 极小值 f 8 6 6 12 6 12 12 216 18 已知 1 x2 2x 求 f x 并求直线 y 1 与函数 f x 所 2 f x x f y x 1 x2 2 2 围图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 2 1 x2 2x 解析 2 f x x f 2 f 1 1 x2 f x x 1 2 1 x2 x 1 x2 1 2 x 2 x2得 f x x 1 2 3 x2 V p 2 3 p 2 1 p dx x2 1 3 3 p 1 p p p 2 4 4 12 p 2 1 p 3 p 12 4 4 2 x 1 x2 x2 y2 x2 y2 4 x p 19 本题满分 10 分 平面 D 由直线 x 1 x 2 y x与x 解析 积分区域如图 轴围成 计算 D dxdy dxdy D p 2 r 0 1 r cosq 4 dq cosq cosq rdr p 1 1 2 cosq 4 r 2 dq 0 cosq 2 1 cosq 1 p 1 3 4 dq 2 0 cosq cos q 3 p 3 p 4 sec3 qdq 2 0 2 4 secqd tanq 0 3 p p secqtanq 4 4 tan 2 secqdq 2 3 0 0 p q q 4 sec2 0 1 sec dq 3 p q q p q 4 sec3 d 4 sec dq 2 0 0 p p 3 4 sec3 qdq ln secq tanq 2 3 0 q q 4 sec3 0 p d ln 1 1 4 sec3 qdq ln 1 所以 0 2 2 3 2 1 x dxdy 2 2 ln 2 2 1 D 2 x2 y2 2 0 2 3 ln 2 1 4 20 本题满分 11 分 设函数 f x x et 2 dt 1 x x 1 2 f x x 2 x x ex x 2 h h 1 2 f 2 ln 2 h heh h 2 证明 1 构造辅助函数 F x f x x 2 x 2 xe t2dt 1 显然 F 1 0 F 2 0 又F x 在 1 2 连续 1 2 上可导 由罗尔定理知 x 1 2 使得F x 0 又因为 F x x et2 dt x 2 ex2 f x x 2 ex2 1 f x 2 x ex 2 令 g x ln x 由柯西中值定理得 h 1 2 f 2 f 1 f 2 e heh 2 g 2 g 1 ln 2 1 使得 h f 2 ln 2 heh 2 21 本题满分 11 分 设曲线 y f x 可导 且 f x 0 x 0 f x 的图象过原点 O 曲线上任意一点 M 的切线与 X 轴交于 T MP x 轴 曲线 y f x MP x 轴围成的面积 与DMTP 面积比为 3 2 求曲线方程 解析 设切点 M 坐标为 x y 则过 M 的切线方程为 Y y y X x 令Y 0 得 X x y y 由题意得 n2 所以 证 存在 2 证 存在 即 x 0 f t dt 3 1 y y 2 2 y 整理并求导得 令 y p 3yy 2 y 2 0 y p dp 代入上式得 dy 3yp dp 2 p 2 0 dy 2 解得 p C1 y 3 2 即 y C1 y 3 dy C dx 2 1 y 3 1 3y 3 C1x C2 1 3y 3 C1x y Cx3 由 y 0 0 得C2 0 22 本题满分 11 分 设 二 次 型 f x x x x 2 x 2 x 2 2ax x 2ax x 2ax x 经 可 逆 线 性 变 换 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 x 1 y 1 x P y 得 g y y y y 2 y 2 4 y 2 2 y y 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 x y 3 3 1 求 a 的值 2 求可逆矩阵 P 解析 1 a a A a 1 a 1 令 f x1 x2 x3 的矩阵 a a 1 f y1 y2 y3 的矩阵 1 1 0 B 1 1 0 0 0 4 2 3 2 A 与 B 合同 则 r A r B 由于 B 0 故 r B 3 故 A 0 1 a a A a 1 a 2a 1 a 1 2 0 而 a a 1 a 1 解得 2 或 a 1 当 a 1时 r A 1 而 r B 2 故舍去 a 1 所以 2 当 2 a 1 2 时 利用配方法把 f x1 x2 x3 化为规范形 f x x x x 2 x 2 x 2 x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 x 2 3 3 3 x1 2 x2 3 2 x 2 4 x 2 4 2 x 2 x3 x 1 x x3 3 x x 2 1 2 2 2 4 2 3 z x 1 x 1 x 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 z 3 x x P 0 3 3 2 2 2 3 1 2 2 z3 x3 0 0 1 令 即令 f x x x z 2 z 2 Z P1 X 则 1 2 3 1 2 利用配方法把 f y1 y2 y3 化为规范形 f y y y y 2 y 2 2 y