高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.6正弦定理、余弦定理课件理.ppt

4.6正弦定理、余弦定理,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,1.正弦定理、余弦定理,知识梳理,b2c22bccosA,c2a22cacosB,a2b22abcosC,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC,2.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：,3.三角形常用面积公式,(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)SabsinC；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径).,acsinB,bcsinA,1.三角形内角和定理在ABC中，ABC；,2.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sinC；(2)cos(AB)cosC；,3.三角形中的射影定理在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在ABC中，若sinAsinB，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形.()(5)在ABC中，.()(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(),1.(2016天津)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC等于A.1B.2C.3D.4,考点自测,答案,解析,由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosC，即13AC292AC3cos120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去).故选A.,2.(教材改编)在ABC中，A60，B75，a10，则c等于,答案,解析,由ABC180，知C45，,3.在ABC中，若sinBsinCcos2，且sin2Bsin2Csin2A，则ABC是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形,答案,解析,2sinBsinC1cosA1cos(BC)，cos(BC)1，B、C为三角形的内角，BC，又sin2Bsin2Csin2A，b2c2a2，综上，ABC为等腰直角三角形.,4.(2016辽宁五校联考)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a,3sinA5sinB，则角C.,答案,解析,因为3sinA5sinB，所以由正弦定理可得3a5b.,令a5，b3，c7，则由余弦定理c2a2b22abcosC，得49259235cosC，,答案,解析,题型分类深度剖析,题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形,答案,解析,1,证明：sinAsinBsinC；,证明,则aksinA，bksinB，cksinC，,sinAsinBsinAcosBcosAsinBsin(AB).在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sinC.所以sinAsinBsinC.,解答,由(1)知，sinAsinBsinAcosBcosAsinB，,思维升华,应用正弦、余弦定理的解题技巧,(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2b2c2ab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.,答案,解析,(边化角),(2)在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c2b，且sin(AC)2cosAsinC，则b等于A.6B.4C.2D.1,答案,解析,(角化边)由题意，得sinAcosCcosAsinC2cosAsinC，即sinAcosC3cosAsinC，由正弦、余弦定理，得,整理得2(a2c2)b2，又a2c2b，联立得b2，故选C.,题型二和三角形面积有关的问题,例2(2016浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acosB.(1)证明：A2B；,证明,由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB，于是sinBsin(AB).又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.,解答,由sinB0，得sinCcosB.,思维升华,(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,跟踪训练2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是,答案,解析,c2(ab)26，c2a2b22ab6.,由得ab60，即ab6.,题型三正弦定理、余弦定理的简单应用,命题点1判断三角形的形状,例3(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形,答案,解析,即sin(AB)0，所以cosB0，sinA1，,即A，ABC为直角三角形.,引申探究1.例3(2)中，若将条件变为2sinAcosBsinC，判断ABC的形状.,解答,2sinAcosBsinCsin(AB)，2sinAcosBsinAcosBcosBsinA，sin(AB)0，又A，B为ABC的内角.AB，ABC为等腰三角形.,2.例3(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cosAsinBsinC，判断ABC的形状.,解答,又由2cosAsinBsinC得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形.,命题点2求解几何计算问题,解答,例4(2015课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍.,因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.,(2)若AD1，DC，求BD和AC的长.,解答,在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，又由(1)知AB2AC，所以解得AC1.,思维升华,(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.(2)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.,跟踪训练3(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacosB(2ab)cosA，则ABC的形状为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形,答案,解析,cacosB(2ab)cosA，C(AB)，由正弦定理得sinCsinAcosB2sinAcosAsinBcosA，sinAcosBcosAsinBsinAcosB2sinAcosAsinBcosA，cosA(sinBsinA)0，cosA0或sinBsinA，,A或BA或BA(舍去)，,ABC为等腰或直角三角形.,(2)(2015课标全国)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是.,答案,解析,如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，,在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，,二审结论会转换,审题路线图系列,(1)求cosA的值；,规范解答,审题路线图,返回,返回,课时作业,A.135B.105C.45D.75,答案,解析,又由题知，BCAB，A45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,3.(2016西安模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，且sin2Bsin2C，则ABC的形状为A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形,答案,解析,由bcosCccosBasinA，得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sinAsin2A，在三角形中sinA0，sinA1，A90，由sin2Bsin2C，知bc，综上可知ABC为等腰直角三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定,答案,解析,角B不存在，即满足条件的三角形不存在.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,即a2c2b2ac，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,8,又bc2，b22bcc24，b2c252，,a8.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinBbcosA.若a4，则ABC周长的最大值为.,答案,解析,12,由余弦定理得a216b2c22bccosA,则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)，ABC周长abc4bc12，即最大值为12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2015湖南)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，abtanA.(1)证明：sinBcosA；,证明,又A(0，)，sinA0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若sinCsinAcosB，且B为钝角，求A，B，C.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2015陕西)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m(a，)与n(cosA，sinB)平行.(1)求A；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,方法一由余弦定理，得a2b2c22bccosA，,得74c22c，即c22c30，因为