第2章 信号和频谱

.,简明通信原理ConcisePrinciplesofCommunications,武汉理工大学计算机学院,.,第2章信号和频谱,.,学习目标,信号的分类与特性。傅里叶级数和傅里叶变换。能量（或功率）谱与相关函数。平稳、高斯、窄带随机过程的统计特性。高斯白噪声和低通（或带通）白噪声。带宽的概念与定义。,.,2.1信号分类,信号（signal）是指表示消息的某种电（物理）量，如电压、电流或电磁波等。为方便研究不同问题，可将信号进行如下分类：模拟信号与数字信号（详见第1章）基带信号与已调信号（详见第1章）确知信号和随机信号周期信号和非周期信号能量信号和功率信号,.,2.1.1确知信号和随机信号确知信号是可以预先确知其变化规律的信号。例如，。随机信号（不确知信号），其在定义域内的任意时刻都没有确定的函数值。例如，通信系统中的接收信号、热噪声等。2.1.2周期信号和非周期信号周期信号是定义在（）区间上，且每隔固定的时间按同样规律重复变化的信号，即满足：T0为信号的周期。提问：冲激函数、正弦信号、Sa(x)函数、矩形脉冲序列、语音信号，哪些是周期信号？,.,2.1.3能量信号和功率信号电压v(t)或电流i(t)在电阻R上所产生的瞬时功率为或“归一化”瞬时功率（取R=1欧姆）：s(t)代表v(t)或i(t)s(t)的（归一化）总能量为（归一化）平均功率为：若E有限，而P0，则称为能量（有限）信号。如单个矩形脉冲。若P有限，而E，则称为功率（有限）信号。如周期信号和随机信号。,.,确知信号的分析方法是信号分析的基础。信号的特性可从时域和频域来描述。时域特性反映信号随时间变化的特性，可借助示波器观察信号的波形。频率特性反映信号各个频率分量的分布情况，可借助频谱仪观察信号的频谱。在数学上，周期信号的频谱可用傅里叶（Fourier）级数来分析；非周期信号的频谱可用傅里叶变换来分析。,2.2确知信号,.,2.2.1傅里叶级数周期信号s(t)可展成（指数型）傅里叶级数：其中，傅氏系数Cn为式中，f0=1/T0为信号的基频，nf0为n次谐波频率。由于Cn反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，故称Cn为信号的频谱。可记为幅度随频率（nf0）变化的特性称为信号的幅度谱，相位n随频率（nf0）变化的特性称为信号的相位谱。,.,【例2-1】一个周期矩形脉冲信号的时域波形与幅度谱如图2-2所示，简述周期信号频谱的特点，并确定该信号需要占用的频带宽度（即信号带宽）。解：周期信号的频谱具有“离散性（谱线）、谐波性和收敛性”的特点。幅度谱的主瓣宽度（指第一个零点频率范围）定义为信号带宽(零点带宽)：可见，脉宽越窄，B越宽。,.,2.2.2傅里叶变换一个非周期确知信号s(t)的傅里叶（Fourier）变换：（2-2-5）称为该信号的频谱密度，简称频谱。的傅里叶反变换就是原信号：（2-2-6）这对傅里叶变换关系可简记为当引入冲激函数之后，傅里叶变换对周期信号和非周期信号都适用。,.,【例2-2】试求幅为A，宽为的单个矩形脉冲（门函数）的频谱。解：对该信号进行傅里叶变换可得其频谱为式中，称为抽样函数，且有。谱的第1个零点频率为。图2-3矩形脉冲信号及其频谱函数,第一零点f=1/,.,评注：（1）非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与图2-2所示的周期矩形脉冲信号的离散频谱的包络线相似。（2）信号带宽与脉冲持续时间（脉宽）成反比，即。这意味着，若要压缩信号的持续时间则以展宽频带为代价。【例2-3】已知，求的频谱（密度）。解：利用欧拉公式可得根据傅里叶变换的频移特性可得另一解法：利用傅里叶变换的频域卷积性质求解。评注：上式通常称为调制定理，它在通信系统中的调制与解调过程中经常用到。,.,2.2.3冲激函数和冲激序列1、单位冲激函数(t)(t)是一个幅值无限大、宽度无穷小、面积为1的脉冲，可表示为（1）筛选特性（采样特性）或（2）搬移特性（3）傅里叶变换和反变换2、单位冲激序列,.,2.2.4能量谱密度和功率谱密度意义：。1能量谱密度（ESD）ESD是指信号的能量在频域上的分布情况。表示为或式中的S()为能量信号s(t)的傅里叶变换。信号能量为上式称为Parseval（帕塞瓦尔）能量守恒定理。,.,2功率谱密度（PSD）PSD是指信号的功率在频域上的分布情况。设是功率信号s(t)的截短信号，是的傅里叶变换，则s(t)的功率谱密度为或信号功率为对于周期性功率信号来说，其平均功率由下式给出：式中，=1/f0为信号周期；|Cn|2是第n次谐波的功率。|Cn|2随nf0分布的特性称为周期信号的（离散）功率谱密度，可表示为或,.,3.能量（功率）带宽对于能量信号，可利用能量谱E(f)，由下式求出带宽B：式中，为百分比，可取90%、95%或99%等。对于功率信号，则可利用功率谱P(f)，由下式求出带宽B：2.2.5波形的互相关和自相关相关函数用于研究信号波形之间的关联程度或相似程度。,.,1相关函数表2-3不同类型信号相关函数的表达式其中，为时间差；T0为周期。,.,2互相关函数的性质，表示两个信号互不相关;越大，说明无时差时的两个信号越相似;3自相关函数的性质能量信号的R(0)=E(能量)；功率信号的R(0)=P(功率)。,.,2.2.6相关函数与谱密度能量信号的自相关函数和其能量谱密度是一对傅里叶变换，即功率信号的自相关函数和其功率谱密度是一对傅里叶变换，即以上关系称为维纳-辛钦定理。该定理为谱密度的求解提供了另一条途径，即通过自相关函数来求得信号的谱密度。【例2-5】求余弦信号的PSD和平均功率。解：余弦（或正弦）信号都是周期性功率信号，它的自相关函数为,.,利用积化和差三角函数公式，可得利用维纳-辛钦定理，可得信号的PSD：信号的平均功率为或正弦信号与余弦信号具有相同的PSD、自相关函数和平均功率。习惯把和统称为正弦信号。,.,2.3随机过程,本节内容是本课程的数学基础，因为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性，需要用随机过程的理论来描述。随机过程的基本概念和数字特征；平稳、高斯、窄带过程的统计特性；随机过程通过线性系统；高斯白噪声的统计特性。,.,2.3.1何谓随机过程？随机过程可定义为所有样本函数的集合。其在任意时刻上的取值是一个随机变量，因此又可定义为在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。图2-4随机过程的样本2.3.2数字特征分布函数或概率密度函数可充分地描述随机过程的统计特性。数字特征可描述随机过程的基本特性。常用的数字特征有均值、方差和相关函数。,.,1均值或数学期望含义：均值表示随机过程n个样本曲线的摆动中心（见图2-4中虚线）。2方差含义：方差反映了随机过程在任意时刻的取值偏离均值的程度。3自相关函数若并令，则相关函数可写成含义：描述随机过程在不同时刻的取值之间的关联程度。,.,2.4平稳随机过程,2.4.1平稳性严（狭义）平稳：随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。宽（广义）平稳：随机过程的数字特性不随时间的推移而改变：均值与t无关自相关函数仅与时间间隔有关严平稳必然宽平稳，反之不一定（高斯过程例外）。通信系统中的信号与噪声大多可视为宽平稳过程。,.,2.4.2各态历经性如果平稳过程的统计平均等于它的任意一个样本的时间平均，即则称该平稳随机过程具有各态历经性。各态历经性的意义：可用一个样本的“时间平均”替代随机过程的“统计平均（需要对随机过程的所有样本求平均）”，使得测量和计算的问题大大简化。,.,2.4.3自相关函数的性质平稳随机过程的自相关函数只是时间差的函数，即它具有如下性质：（1）的平均功率（2）的直流功率（3）（方差）的交流功率当均值为0时，有（4）的偶函数（5）时有最大值,.,2.4.4功率谱密度平稳过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换关系，即简记为称为维纳-辛钦定理。它建立了平稳过程频域和时域的联系。（1）当时，有即功率谱密度（PSD）的积分面积等于归一化平均功率。（2）功率谱密度（PSD）具有非负性和实偶性，即,.,2.5高斯随机过程,2.5.1定义与特性高斯过程的n维（n=1，2，）分布都服从正态分布。高斯过程的统计特性完全由它的数字特征决定。它的一维分布完全可由均值和方差来描述。（1）若高斯过程是宽平稳的，则也是严平稳的。（2）若高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则它们也是统计独立的。（3）高斯过程经过线性系统后的过程仍是高斯过程。以上几个性质在对高斯过程进行数学处理时十分有用。,.,2.5.2一维高斯（或正态）分布高斯过程在任意时刻上的取值都是一个高斯随机变量，其一维概率密度函数为具有如下特性：曲线对称于这条直线。的图形将随的减小而变得尖锐，说明随机变量X落在a点附近的概率越大。,.,在分析数字通信系统的抗噪声性能时，往往需要计算高斯随机变量X小于或等于某一取值的概率，记为式中，称为分布函数，是概率密度函数的积分，即（2-5-3）为了便于计算上式积分的结果，常引用一些在数学手册上可查函数值的特殊函数来表示F(x)。例如，误差函数和互补误差函数，其公式与性质如表2-4所示。,.,表2-4误差函数和互补误差函数,.,若对式（2-5-3）的积分区间进行处理（如），然后进行变量代换，令，并与式（2-5-4）或式（2-5-5）联系，则有（2-5-8）利用函数或函数表示F(x)的好处是，其简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。,.,2.6随机过程通过线性系统,对于线性时不变系统，其输出过程是输入过程与系统单位冲激响应的卷积，即根据上式，若给定的统计特性，则可求得的统计特性，结果如表2-5所示。表2-5平稳随机过程通过线性系统表2-5中，为线性系统的频率响应，且；H(0)是线性系统在处的频率响应，即直流增益；是线性系统的功率增益。,.,2.7窄带随机过程,窄带随机过程概念。例子：调频（FM）信号、数字调相（2PSK）信号、白噪声通过带通滤波器后的噪声等。谱特征：频带宽度（中心频率），且0。样本波形：包络随机缓变的正弦波。表达式：等价式：式中，分别称为的同相和正交分量。,.,两个重要结论：结论1：对于均值为零、方差为的平稳高斯窄带过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，且均值皆为零，方差都等于（相当于平均功率相等）。结论2：对于均值为0、方差为的平稳高斯窄带过程，它的包络的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，与是统计独立的。以上两个结论在带通传输系统（如调制系统）的抗噪声性能分析中将会用到。,.,2.8通信系统中的噪声,例子：电子设备中的电阻性器件所产生的热噪声，它是一种零均值的高斯白噪声。常被用作信道中的噪声模型。2.8.1白噪声白噪声是一种带宽无限的平稳过程，它具有恒定的功率谱密度：式中，是一个常数，表示单边功率谱密度，单位是瓦/赫。,白噪声仅在（同一时刻）时的取值才相关。若白噪声的取值服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。,.,2.8.2带限白噪声这是白噪声通过带宽有限的信道或滤波器的情形。常见形式有：设低通或带通滤波器的频率特性函数为，则白噪声通过的输出噪声的功率谱为（2-8-3）的积分面积等于输出噪声功率：（2-8-4）,.,为了便于计算，引入等效噪声带宽（或称等效矩形带宽）Bn，使得式中，对于低通信号，f0=0；对于带通信号，f0为中心频率（通常是载频fc）。而Bn正是滤波器的功率传输函数的等效矩形宽度。利用等效噪声带宽Bn的概念，实际滤波器的特性可以用矩形滤波器的特性（见图中虚