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2011年哈三中第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）评分标准一、选择题：（每小题5分，共计60分）题号123456789101112答案ABBBCCAACDDB二、填空题：（每小题5分，共计20分）13. 14. 15. 16. 上异于一条直径两个端点的任意一点，与这条直径两个端点的连线斜率乘积等于三、解答题：17（本小题满分12分）设经过小时在点处刚好追上走私船，依题意： 在中，, 所以， 6分所以，解得， 10分所以最少经过小时可追到走私船，沿北偏东的方向航行. 12分18（本小题满分12分）解：() 由样本数据得，可知甲、乙运动员平均水平相同； 由样本数据得，乙运动员比甲运动员发挥更稳定； 甲运动员的中位数为，乙运动员的中位数为 (4分)()设甲乙成绩至少有一个高于分为事件,则 (6分)()设甲运动员成绩为，则乙运动员成绩为， (8分) 设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于的事件为,则 (12分)19（本小题满分12分）（）连接BD交AC于点，若平面，则，点为BD中点，则为棱的中点4分（），又四边形为矩形， 5分法（一）中点为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，如图建系，设平面的法向量，不妨令，则 8分，设平面的法向量CDAEFBM，不妨令则 11分设二面角为， 12分法（二）设二面角的平面角为，取中点O，中点， 8分同理设二面角的平面角为， 11分设二面角为， 12分20（本小题满分12分）（）有题意， 即，得所以抛物线方程为， 4分（）由题意知直线的斜率不为，设直线的方程为（）联立方程得，设两个交点 6分，整理得8分此时恒成立，由此直线的方程可化为 从而直线过定点9分因为，所以所在直线平行轴三角形面积11分所以当时有最小值为，此时直线的方程为 12分21（本小题满分12分）解：（）令，则，当时，此时在条件下， 则在上为减函数，所以，所以在上为减函数，所以当时，即；当，即时，存在，使得，当时，为减函数，则，即在上递减，则时，所以，即； (2分)当，即时，则在上为增函数，即当时，即；当，即时，当时，则在上为增函数，当时，即.综上，则的最小值. (4分)（）不妨设,，所以在上为增函数， (5分)令.,当时, 因为，所以， (7分)即在上为增函数，所以，则，则原结论成立. (8分)（）（）当时，结论成立； （）假设当结论成立，即存在个正数，时，对于个自变量的值, 有.当时，令存在个正数, ，令，则，对于个自变量的值,此时. (10分)因为, 所以所以时结论也成立， (11分)综上可得.当时, ， (12分)所以在上单调递增，所以.22（本小题满分10分）证明：连结,是直径，,又，/，又,23（本小题满分10分）解：（）设圆上任一点坐标为，由余弦定理得所以圆的极坐标方程为 (5分) （）设则，在圆上，则的直角坐标方程为 (10分)24
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