【数学】.2.2《单位圆与三角函数线》(1)(新人教B版必修4)

.,单位圆与三角函数线,.,由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法,.,单位圆的概念,一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1，0)，A(1，0).而与y轴的交点分别为B(0，1)，B(0，1).,.,有向线段的概念：,带有方向的线段叫有向线段；有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。,如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3,.,设任意角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M；做PN垂直y轴于点N，,则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.,三角函数线,.,根据三角函数的定义有点P的坐标为(cos,sin),其中cos=OM，sin=ON.,这就是说，角的余弦和正弦分别等于角的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.,以A为原点建立y轴与y轴同向，y轴与角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T)，则tan=AT(或AT),.,我们把轴上的向量分别叫做的余弦线、正弦线和正切线.,.,例1.分别作出、的正弦线、余弦线、正切线。,.,例2.比较大小：(1)sin1和sin1.5;(2)cos1和cos1.5;(3)tan2和tan3.,解：由三角函数线得,sin1cos1.5,.,tan2tan3,.,例3.已知sinx=0.5，求角x的大小.(0x360),解：由在y轴上找到y=0.5的点，做x轴的平行线，交单位圆于点P和P两点，由三角函数线知x1=30,x2=150.,.,例4.利用三角函数线证明|sin|+|cos|1.,证明：在OMP中，OP=1，OM=|cos|,MP=ON=|sin|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin|+|cos|1。,.,例5.已知(0，)，试证明sintan.,证明：sin=|ON|=|MP|,=,tan=|AT|.,又,所以,即sintan.,.,小结：,1.给定任意一个角，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。,2.三角函数线的位置：,正弦线为从原点到的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段；,余弦线为从原点到的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段；,正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，为有向线段,.,3.特殊情况：当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或1。当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。,.,练习,1.函数y=+的值域是()(A)1，1(B)1，1，3(C)1，3(D)1，3,C,.,2.已知角的终边上有一点P(4a,3a)(a0),则2sin+cos的值是()(A)(B)(C)或(D)不确定,C,.,3.设A是第三象限角，且|sin|=sin,则是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角,D,.,4.sin2cos3tan4的值()(A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)不确定,B,.,5.若sincos0,则是第象限的角,一、三,0,6.sin()+costan4c