2011年全国高水平大学(华约)自主招生选拔学业能力测试数学试题.doc

湖南省岳阳县第一中学高三数学组 2011年高水平大学(华约)自主招生选拔学业能力测试数学试题分值: 分 时量: 分钟一、选择题(本大题共10小题,每小题3分)1. 设复数满足且,则=( ) A. B. C. D. 2.在正四棱锥中,分别为的中点,且侧面与底面所成二面角的正切值为.则异面直线与所成角的余弦值为 ( ) A. B. C . D.3.过点的直线与曲线相切,且不是切点,则直线的斜率是( ) A. 2 B. C. D. 4.若,则的最小值和最大值分别为 ( )ABCOO1O2 A. B. C. D. 5.如图,和外切于点又都和内切,切点分别为,设,则( ) A. B. C. D. 6.已知异面直线成角,为空间中一点,则过与都成角的平面有且只有( ) A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个7.若向量,则最小值为 ( ) A. B. C. D. 8.为过抛物线焦点的弦,为坐标原点,且为抛物线准线与轴的交点,则的正切值为 ( ) A. B. C. D.ABCEDF9.如图,已知的面积为,分别为边上的点,为线段上一点,设且则面积的最大值为 ( ) A. B. C. D. 10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形,这些三角形在正11边形内两两不相交,则( ) A.存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形 B.存在某种分法,所分出的三角形恰有两个锐角三角形C.存在某种分法,所分出的三角形至少有3个锐角三角形D.任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 二、解答题11.(本小题满分14分)已知不是直角三角形.(1)证明:;(2)若,且的倒数成等差数列,求的值.12. (本小题满分14分)已知圆柱形水杯质量为克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直主放置),质量为克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯重心还在圆柱轴的中点处.(1)若,求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值;(2)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么?13. (本小题满分14分)已知函数另(1)求数列的通项公式;(2)证明:.14. (本小题满分14分)已知双曲线分别为的左、右焦点,为右支上一点,且使,又的面积为.(1)求的离心率; (2)设为的左顶点,为第一象限内上的任意一点,问是否存在常数,使得恒成立.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.15. (本小题满分14分)将一枚均匀的硬币币连续抛掷次,以表示未出现连续3次正面的概率.(1)求和;(2)探究数列的递推公式,并给出证明;(3)讨论数列的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.MNODyCBAPxz参考答案:一.选择题1【解】由,得,解得|z| =2(舍),.2【解】法一：如图右,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为.如图建立坐标系,则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),则,.MNDCBAPQ设所成的角为,则.法二: 如图,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为.平移DM与AN在一起.即M移到N,D移到CD的中点Q.于是QN = DM = AN.而PA = PB = AB = 2,所以QN = AN = ,而AQ = ,容易算出等腰AQN的顶角.3.【解】易知点在曲线上,但题交待其不是切点,故设切点为,则所以切线方程为,也所以有,也即,化简得所以,也即4【解】ABCOO1O2,可见答案是B5.【解】题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱.我们来转化一下,就可以去掉三个圆,接,C在上,则如右图所示,由于所以设同理设,由于三点共线,于是又中,有,所以联立得.6.【解】已知平面过A,再知道它的方向,就可以确定该平面了.因为涉及到平面的方向,我们考虑它的法线,并且假设a,b为相交直线也没关系.于是原题简化为：已知两条相交直线a,b成60角,求空间中过交点与a,b都成角的直线.答案是4个.7.【解】由得,由于,可以用换元法的思想,看成关于三个变量,答案B8.【解】法一:焦点,直线AB方程,与抛物线方程联立,解得,于是,答案A法二:如图,利用抛物线的定义,将原题转化为:在直角梯形中,EABCDFxBAD = 45,EBDA,AF = AD,BF = BC.类似的,有,所以有,也所以有,答案A9.【解】连结,则有,于是.注意到,且即,所以由三元均值不等式得即(当时取等号)EFABCD于是.10.【解】我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形.如图,假设ABC是锐角三角形,我们证明另一个三角形DEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的D一定是钝角.事实上,而四边形ABCD是圆内接四边形,所以ADC = 180-B,所以D为钝角.这样就排除了B,C.下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形.假设ABC中B是钝角,在AC的另一侧一定还有其他顶点,我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC) ACD,则D = 180-B是锐角,这时如果或是钝角,我们用同样的方法继续找下去,则最后可以找到一个锐角三角形.所以答案是D.DBAC二.解答题11.【解】(1)证:两边取正切,即,去分母得(2)依题意,比较(1)中结论得所以,又,所以,即将代入,得解得或.由于所以或.12.【解】(1)设装满半杯水后,水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值为,则此时水的重心到底面距离与水杯高的比值为,杯子的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值为,杯中水重克,从而有,解得.(2)设杯中装入克水时,水杯重心到水杯底面的距离与水杯高的比值为,则此时水的重心到底面距离与水杯高的比值为,水的质量与水杯质量之比为,则化简得(当且仅当时取等号)所以当杯中装入克水时,水杯重心最低.13.【解】(1)所以得即,所以有.所以,令比较系数得.也所以,(2) 由均值不等式得,即注意到单调递增,且.yOxPQF1F2A所以.14.【解】(1),如图,在中,所以即也所以,得所以.(2)由(1),双曲线方程为若轴,此时为等腰.下证令则 所以存在常数使恒成立.15.【解】(1)显然又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有:正正正正或正正正反或反正正正,故.(2)共分三种情况:1)如果第n次出现反面,那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是2)如果第n次出现正面,第次出现反面,那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是3)如果第次出现正面,第次出现正面,第次出现反