江西省2020学年高二数学4月线上考试试题理

高二数学线上考试试题 理考试时间： 90分钟 总分：100分一选择题（每小题4分，共36分）1.复数1i，为z的共轭复数，则+i（）A2B2C2iD2i2. 已知双曲线中心为原点，焦点在x轴上，过点（，2），且渐近线方程为y2x，则该双曲线的方程为（）Ax21Bx24y22Cx21Dx22y213. 已知命题：角终边在直线上，命题：，那么是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4. 已知是函数的极小值点，则（ ）A. -4B. -16C. -2D. 25. 曲线过点，则该曲线在该点的切线方程是（）6. 已知双曲线：，当双曲线的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线：的焦点、若、是抛物线上两点，则中点的横坐标为（ ）A. B. 2C. D. 37. 已知函数f（x）（x2a）ex的图象过点（，0），若函数f（x）在（m，m+1）上是增函数，则实数m的取值范围为（）A1，2 B2，+）C0，+）D（，12，+）8. 等差数列的公差不为0，是其前项和，给出下列命题：若，且，则和都是中的最大项；给定，对一切，都有；若，则中一定有最小项；存在，使得和同号.其中正确命题的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 19. 已知函数满足，且，则函数零点的个数为（ ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 0个二填空题（每小题4分，共12分）10. 函数y =的导数为 。11. 已知三棱锥PABC的外接球的球心O在AB上，且二面角PABC的大小为120，若三棱锥PABC的体积为，PAPBACBC，则球O的表面积为 12. 已知O为坐标原点，F为抛物线C：y22x的焦点，直线l：ym（2x1）与抛物线C交于A，B两点，点A在第一象限，若|AF|2|BF|，则m的值为 三解答题13.（10分） 已知函数f（x）|x+3|2（）解不等式|f（x）|4；（）若xR，f（x）|x1|t2+4t1恒成立，求实数t的取值范围14. （10分）已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且BCBD，DD1平面ABCD，AA11，BECD于点E，点F是A1B1中点（）求证：AF平面BEC1；（）求平面ADF和平面BEC1所成锐二面角的余弦值15. （10分） 已知函数f（x）（a）x2+lnx（aR）（1）当a1时，求f（x）在区间1，e上的最大值和最小值；（2）证明：当时，在区间（1，+）上，不等式f（x）2ax恒成立16. （10分） 已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，焦距为2c，直线bxy+a0过椭圆的左焦点（）求椭圆C的标准方程；（）若直线bxy+2c0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，APB的平分线在y轴上，|PA|PB|试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由17. （12分）设f（x）xlnx+ax2，a为常数（1）若曲线yf（x）在x1处的切线过点A（0，2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2且xlx2求证：a0求证：f （x2）f （x1）高二线上考试数学理试卷答案1.【分析】把已知代入+i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案解：1i，z1+i，则+i1i+1+i2故选：A2. 【分析】首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为4x2y2，0，把点的坐标代入即可求出结果解：渐近线方程为2xy0，设双曲线方程为4x2y2，0，将P（，2）的坐标代入方程得4（）222，求得4， 则该双曲线的方程为x21，故选：C3 【答案】C【解析】【分析】对命题根据终边相同的角的概念进行化简可得可得答案.【详解】角的终边在直线上或，故是的充分必要条件，故选：C.4. 【答案】D【解析】【分析】求导并化简可得，列表即可求出极小值点，得解.【详解】因为所以可得，和如下表-2(-2，2)2+0-0+极大值极小值由表知函数的极小值点为2.故选：D5. 【答案】；由得，再由可得。6.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数取得最小值的条件，求得，从而可得双曲线方程，再根据双曲线的焦点坐标求得抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程，然后根据抛物线的定义和中点坐标公式可得答案.【详解】由题意可得，即有，由，可得当时，焦距取得最小值，所以双曲线的方程为，于是右焦点为，即抛物线的焦点为，所以，则抛物线：，准线方程，设，解得，线段的中点横坐标为2.故选：B7. 【分析】根据题意可以得出，在对其进行求导求出其单调性即可求解；解：f（x）（x2a）ex的图象过点（，0），a3；，；令f（x）0，则1x3；f（x）的单调递增区间为1，3，；1m2故选：A 8. 【答案】B【解析】【分析】中可推导，结合，可知数列前5项为正，第6项为0，即可判断结论正误根据等差数列中下标之和相等则项的和相等的性质，可判断正误时，不论首项的符号，都能判断中一定有最小项根据等差数列的定义可知和分别为，即可判断正误.【详解】对于若，可得，即，所以和都是中的最大项，正确；根据等差中项性质可知，所以是正确的；根据等差数列求和公式可知，当时，是最小值；当，或时取最大值；和，因为，所以和异号，故是错误的.9. 【答案】B【解析】【分析】根据，可得，即有，可推出，解方程，得或，判断零点个数即可.【详解】，代入，得，.或，；，如图所示，函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个，故选：B10.解析：11. 【分析】根据题给信息，利用等腰三角形常作辅助线能够证出对棱垂直，再利用对棱垂直时的体积公式进行求解解：设球半径为r，则OAOBOCOPr，所以O是AB的中点，因为PAPB，ACBC，所以OPAD，OCAB，所以AB平面OPC，所以体积，所以r2，所以球的表面积S4r216故答案为：1612 【分析】求得抛物线的焦点坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），（x10，y10），联立直线l的方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得m的值解：y22x的焦点F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），（x10，y10），直线l：ym（2x1）（m0）与抛物线y22x联立，可得4m2x2（2+4m2）x+m20，即有x1x2，x1+x21+，由题意可得2，即为x12（x2），即x1+2x2，由可得x11，x2（x1x2舍去），代入可得1+1+，解得m（负的舍去），故答案为：13. 【分析】（）由绝对值不等式的解法，化简可得所求解集；（）若xR，f（x）|x1|t2+4t1恒成立，可得|x+3|x1|t2+4t+1恒成立，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值，运用二次不等式的解法，可得所求范围解：（）函数f（x）|x+3|2，不等式|f（x）|4即为4f（x）4， （2分）即4|x+3|24，即有2|x+3|6， 所以|x+3|6，即6x+36，可得9x3，则原不等式的解集为（9，3）； （5分）（）若xR，f（x）|x1|t2+4t1恒成立，可得|x+3|x1|t2+4t+1恒成立，由|x+3|x1|（x+3）（x1）|4， （8分）可得t2+4t+14，即t24t+30，解得1t3则实数t的取值范围是1，3 （10分）14. 【分析】（）根据边长与相应的倍数关系，构造平行四边形，即可证明线面平行；（）根据题给条件建立空间直角坐标系，得出相应点的坐标，即可求解【解答】（）证明：因为BCBD，BECD，E是CD的中点，取AB中点G，连B1G，GE，则在菱形ABCD中，EGBC，EGBC，因为BCB1C1，BCB1C1，所以EGB1C1，EGB1C1，四边形B1C1EG为平行四边形，所以C1EB1G，又B1FGA，B1FGA，四边形B1GAF为平行四边形，AFB1G，所以AFC1E，又AF平面BEC1，C1E平面BEC1，AF平面BEC1 （4分）（）解：以D为原点，以DC，DG，DD1，分别为x，y，z建立如图所示的空间直角坐标系，因为已知该四棱柱为直四棱柱，BCBD，BCCD，所以三角形BCD为等边三角形，因为BECD，所以点E是CD的中点，故点， （6分）设平面ADF的法向量，由，得，取y1，得，故， 7分因为，所以，所以是平面BEC1的法向量， （8分）设平面ADF和平面BEC1所成锐角为，则，即平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值为 （10分）15. 【分析】（1）当a1时，利用导数研究函数的单调性即可得出最值；（2）令，x（1，+），在区间（1，+）上，不等式f（x）2ax恒成立g（x）0在区间（1，+）上恒成立利用导数研究函数的单调性即可得出g（x）大值【解答】（1）解：当a1时，对于x1，e，有f（x）0，f（x）在区间1，e上为增函数， （5分）（2）证明：令，x（1，+），在区间（1，+）上，不等式f（x）2ax恒成立g（x）max0，x（1，+），当时，则有2a10，此时在区间（1，+）上恒有g（x）0，从而g（x）在区间（1，+）上是减函数；g（x）g（1），又，g（x）0，即f（x）2ax恒成立 （10分）16. 【分析】（）因为直线bxy+a0过椭圆的左焦点，故令y0，得xc，又因为离心率为，从而求出b2，又因为a2b2+c2，求出a的值，从而求出椭圆C的标准方程；（）先求出点P的坐标，设直线AB的方程为ykx+m，联立方程组，利用根与系数的关系，设A（x1，y1），B（x2，y2），得到k1+k2，又因为APB的平分线在y轴上，所以k1+k20，从而求出m的值，得到直线AB的方程为ykx+1过定点坐标解：（）因为直线bxy+a0过椭圆的左焦点，故令y0，得xc，解得b2，又a2b2+c2b2+，解得a2，椭圆C的标准方程为：； （4分）（）由（）得ca2，直线bxy+2c0的方程为2xy+40，令x0得，y4，即P（0，4）， （5分） 设直线AB的方程为ykx+m，联立方程组，消去y得，（2k2+1）x2+4kmx+2m280，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2，x1x2， （6分）则直线PA的斜率k1k+，则直线PB的斜率k2k+，所有k1+k22k+2k+， （8分）APB的平分线在y轴上，k1+k20，即0，又|PA|PB|，k0，m1，直线AB的方程为ykx+1，过定点（0，1） （10分）17. 【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式计算即可得到a1；（2）由题意可得f（x）0有两个不等的实根x1，x2，且0x1x2，设g（x）lnx+1+2ax，求出导数，对a讨论，分a0，a0，求出单调区间和极值，令极大值大于0，即可得到a的范围；由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有f（x2）f（x1），求出x1（0，1），设h（x）（xlnxx），0x1，求出导数，判断单调性，运用单调性，即可得到所求范围解：（1）f（x）xlnx+ax2的导数为f（x）lnx+1+2ax，在x1处的切线斜率为k1+2a，切点为（1，a），在x1处的切线过点A（0，2），则k1+2aa+2，解得a1； （3分）（2）证明：由题意可得f（x）0有两个不等的实根x1，x2，且0x1x2，设g（x）lnx+1+2ax，g（x）+2a，x0当a0，则g（x）0，g（x）在（0，+）递增，不合题意；当a0时，g（