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文档简介

第四节、非奇次偏微分方程的定解问题,1、Fourier展开法,令其奇次边界条件、奇次偏微分方程的分布方程的解系为：,例，对于受外力驱动的一维弦振动问题：,利用Fourier展开，将函数u(x,t),f(x,t)展开为:,所以：,对比展开系数得：,再由初识化条件：,得：,将初始条件也作Fourier展开：,则：,最终得关于Tn(t)常微分方程的定解问题：,上式的解可表示为：,这里分别为非奇次偏微分方程的一个特解。,最终可得非奇次偏微分方程的解为：,这里Tn(t)为：,2、冲量定理法,该定解问题为非奇次偏微分方程、奇次边界条件、奇次初始化条件。,若将持续受力过程理解为在不连续时间点上多次短时间的瞬间受力，则定解问题可以表示为：,还是考虑受外力驱动的一维弦振动问题：,同时令：,则：,假设在时刻所受瞬间力作用的定解问题可以表述为：,则在时：,而时间由演化至，则：,由此得：,所以：,这是奇次边界条件的奇次偏微分方程，利用前面的讲解即可求解得，最后可得：,则在时刻所受瞬间力作用的定解问题可以以为初始点重新表述为：,而对于任意非奇次初始条件问题：,则令：，且分别满足：,则可以借助于冲量定理计算，则利用奇次偏微分方程、奇次边界条件的定解问题求解。,例1：对于有外力驱动的弦振动问题，其定解问题为：,求弦振动。,解：则在时刻所受瞬间力作用的定解问题为：,利用分离变量法求解，得的通解式为：,根据初始条件：,则：,则为：,则最后得：,3、Green函数法,对于有外力驱动的弦振动问题，其定解问题为：,以弦振动问题为例，将持续作用力，考虑为点源力的作用，并求解点源力的振动解，持续力的作用可以表示为点源力作用的合振动。,采用Green函数方法，驱动力表示为：,f(x,t)被表示为点源的合作用，只要求解点源的定解问题，就可以通过点源积分得到持续力作用的解，令点源引起的振动为为Green函数：。,并满足：,显然，Green函数满足的定解问题为：,利用冲量法的讨论，此定解问题可以转化为：,这是一个奇次边界条件、奇次偏微分方程的定解问题，若可解，则：,例2、对于有外力驱动的弦振动问题，其定解问题为：,求弦振动。,解：Green函数的定解问题为：,利用分离变量法求解，得的通解式为：,将函数作Fourier展开：,Green函数的解为：,显然：,所以：,则由初始条件有：,弦振动的解为：,若驱动力为周期驱动：，则：,例2：考虑热传导问题，若系统内部存在热源，系统与边界绝热，系统初始时刻与环境处于热平衡态，其定解问题为：,求解温度分布。,解：采用Green函数法，Green函数的定解问题为：,利用分离变量法求解，得的通解式为：,若令，则Green函数
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