第8讲 求解浅水方程的传统数值方法

.,1,浅水流动的特性与数值模拟,朱德军旧水利馆206,62772255zhudejun,.,2,数学方程的分类模型方程有限差分逼近和数值格式等价方程与修正方程数值格式稳定性分析模型方程的典型差分格式*,内容回顾,.,3,浅水流动的特征与控制方程浅水方程的不同形式浅水方程的双曲特性和特征空间浅水方程黎曼问题和溃坝问题无干湿变化情况的解析解有干湿变化情况的解析解污染物质的随流运动,.,4,一阶波动方程采用Lax-Wendroff格式进行离散，形成的差分方程为：,推导上述差分方程的修正方程。,题3：,课后作业讨论,.,5,修正方程式(标准形式);,意义：严格的含义下，差分方程和修正方程描述了同一个物理问题（尽管该物理问题可能只是虚拟的），因此通过对修正方程各种性质的讨论将得到差分方程的基本性质,修正方程式的应用;分析格式的耗散和频散特性提高格式精度、改善性能，创立新格式,.,6,考查方程：(2-7-1)解的性质,微分方程解的耗散或频散特性,设初值条件为：,其中：,.,7,得到解的一般形式为：(2-7-2),若将写成：其中为实数。,其中为复数，并且,代入(2-7-2)，得到：,(2-7-3),.,8,其中：,具有角度量纲；,波速,振幅,.,9,对于线性问题，可以对的每一个分量(即分立波)进行分析：,当时，解可以写成：,引入放大因子G；G是复数,.,10,的含义；是相邻时间间隔内解的振幅的改变；的含义是相邻时间间隔内解的相位差的改变。,对于复数G，可以考察，以及G的幅角：,.,11,（1）方程（271）的解既有耗散，也有频散，其耗散及频散特性与下面两个无穷级数的和有密切的关系：,（2）偶阶导数项影响解的耗散，并且对于能被4的整除的偶阶项，当其系数为负时，是正耗散，为正时是负耗散（解趋于无穷）；而其余的偶阶项（即不能被4整除的偶阶项，例如2阶、6阶、10阶等）当系数为正时是正耗散，系数为负时是负耗散（解）；（3）奇阶导数项只影响解的频散（色散）特性，不影响解的耗散特性。,.,12,分别取进行计算，画出计算10步、20步、30步以后的解的空间分布曲线。,采用FTCS格式：,题1:,.,13,差分格式的稳定性(Stability)一个微分物理问题可以形成各种不同的差分计算格式;差分计算格式包含:网格划分、差分方程、初边值条件的数值处理等，所有这些因素综合形成一个差分计算格式，对应这一格式的解称之差分数值解；对于一个差分格式，当初值条件为有界时，差分计算格式的数值解可能仍保持有界性；但也可能是无界的；有界的数值解称格式是稳定的，而数值解变为无界，则是不稳定的；误差传播方程的概念稳定性问题也可以解释为：稳定的差分格式对误差的传播是有界的，而不稳定的格式对误差的传播将是无界的。,.,14,放大因子：,.,15,差分格式的保单调性保单调格式的性质是指差分格式的计算，能保持原有函数的单调性。保单调格式对于防止数值解在连续区出现伪振荡是非常重要的；保单调性质是指；若所给初值函数值是的单调函数（也可以是分段单调函数），那么由保单调格式计算得到的也一定是的单调函数且与具有相同的单调性。,单调格式和狭义单调格式：对于守恒格式其中为自变量的元函数如果恒有，则称为单调格式;如果恒有，则称为狭义单调格式。,.,16,单调格式具有保单调性质证明：设是单调的（不失一般性，设为单调增加），即考虑考虑到单调格式的定义及函数单调性的假设，上式大于等于零，故证毕。狭义单调和耗散性之间密切相关,.,17,FTCS格式,.,18,题2：Burger方程，其守恒形式是：格式1（由守恒形式出发）：格式2（由非守恒形式出发）：,请分别判断上述两个格式是否守恒，要求写出判断过程。,.,19,差分格式的守恒性如果对一个差分方程在定义域的任意有限空间内作求和运算，（即相当于在连续问题中对微分方程在空间域中作积分运算）所得的表达式仍能满足该区域上物理量的守恒关系，则称该差分格式具有守恒性，或守恒格式,.,20,渠道长20km，坝位于10km处，瞬时全溃uL=uR=0,hL=10m,分别计算hR为5m，2m，以及为0时，溃坝100s后的水面线uL=-25m/s，uR=25m/s，hL=hR=10m,计算溃坝100s后的水面线,题4：,.,21,.,22,.,23,h*是下面关于h的方程的解,.,24,根据第一簇特征线两侧关系：,根据第三簇特征线两侧关系：,.,25,存在干湿变化的情况,思考题,解有没有可能是其他形式，为什么？,.,26,如果h*=0，得到：,间断波不可能和河床直接相连,不失一般性，设h0，根据间断波R-H关系，得到：,与h0矛盾，证明了间断波不能直接和河床相连,.,27,.,28,.,29,另一种出现干湿变化的情况,.,30,思考题,无论上述哪一种情况，F(0,t)始终为常数，为什么？,.,31,第五章求解浅水方程的传统数值方法,特征线法显式差分法隐式差分法多维格式应用实例,.,32,一维浅水方程组-圣维南方程组,矩形渠道,.,33,将偏微分方程化为常微分方程进行求解,乘拉格朗日算子,1.特征线方程和特征方程,？全微分概念,5.1特征线法,.,34,特征线方程,特征方程,通过特征线将偏微分方程组（非线性、双曲型）,讨论限于矩形渠道,由于,定义,特征线在流动中能观察到吗？,.,35,缓流,2.特征线在(s,t)平面上的形式,急流,.,36,3影响区域与依赖区域,黎曼不变量,准黎曼不变量,A,.,37,沿正特征线积分：,4.沿特征线积分,假定,在RP段上的值可以用来近似在LP段上的值可以用来近似,沿负特征线积分：,两个方程，求解两个未知数：,.,38,5.初始条件与边界条件,下游边界,上游边界,.,39,缓流：,急流：,.,40,初始条件,边界条件,上游,下游,6个之中只给出两个即可,.,41,6.特征线法,P位置s,t已知，h,v未知,.,42,未知:(n+1)时刻的（h,v）,已知：1）网格结点上的(s,t)2）n时刻的（hv）,Step_1确定L点的(h,v,s),.,43,Step_2确定R点的(h,v,s),.,44,沿正特征线积分：,沿负特征线积分：,两个方程，求解两个未知数,.,45,例1,o点水位每小时以1m速度下落（水位已知）,Ao距离为SAO=2km，hA=4-1.8=2.2m,P,初始条件,边界条件,B处;s=0,h=h0=4m,h0=4m,v0=0.9m/s(),求：A处下降1.8m所需时间,.,46,t=0时刻，O未受扰动，过O点作逆特征线，交S=0垂线于B点,OB上处处存在h=h0=4m,v=v0=0.9m/s,.,47,1）特征线分析,由于i=0,Jf=0,在特征线上成立,过A点的逆特征线交S=L垂线于P点过A点的正特征线交OB线于N点过P点的正特征线交OB线于R点,.,48,说明PA为一条直线,.,49,2）求P点各要素,由(5)式得，,P在边界上，下降1.8m需要的时间为1.8小时tP=1.8(h)=6480(s),由（2）式得,.,50,得到,3）根据PA特征线关系，PA间距离为2km,求A处的要素tA,PA特征线为直线，其斜率为,即,tA6480-2000/(-0.5)=10480(s)=3(h),答案：A处下降1.8m需要的时间为3小时。,.,51,特征线方程和特征方程影响域和依赖域初始条件和边界条件特征线法,小结,.,