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文档简介

,1,第八节高阶导数与高阶微分,一、高阶导数的定义,二、高阶导数求法举例,三、高阶微分,2,一、高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义,记作,3,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,4,二、高阶导数求法举例,例1,解,1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,5,例2,解,同理可得,6,例3,解,同理可得,7,例4,解,特别地,8,例5,解,注意,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),9,例6,解,10,2.高阶导数的运算法则:,莱布尼兹公式,11,例7,解,12,3.间接法,常用高阶导数公式,利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.,13,例8,解,14,例1,解,隐函数的高阶导数,用复合函数求导法则,直接对方程两边对x逐次求导,(y是x的函数),最后解出y的高阶导数.,15,16,例2,解,17,参数方程的高阶导数,18,例1,解,19,20,例3,设连续，,求.,不一定存在,故用定义求,解,21,22,例3,例4,23,例5,24,一阶微分的定义,三高阶微分,25,若可微时，称它的微分,为y的二阶微分，记为.当可微时，,一般地，当y的n-1阶微分可微时，,为y的三阶微分，记为,称它的微分,二阶微分：,n阶微分：称n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作,高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。,1高阶微分的定义,26,2.高阶微分的求法,用同样的方法，得,这里dx的是x处的产生的增量,与变量x无关,视作常数,即y的n阶微分等于它的n阶导数乘上自变量的微分,的n次方.,27,但对于复合函数我们就不能得出这一公式,这时才回能到前面导出的公式,这里当u的是自变量x时,这事实也说明高阶导数不具有形式不变性,所以,28,对于复合函数我们就不能得出,注意这里记号,如n=2时,应有,表示不同含义,不能混淆.,29,例1,求的二阶微分.,解:,所以,若把看成是由复合而成的函数，,则,所以,且,30,例2设分别依公式（1）、（2）求,解由得依公式（1）得类似地，依公式（2）得,31,三、小结,高阶导数的
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