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第七章埃尔米特（Hermite）多项式,特殊函数之三,1,7.1Hermite多项式的定义,1.n阶Hermite方程的解,n阶Hermite方程,用幂级数法求解该方程，设方程的解为,代入方程，整理，得,从而有,由上式知,2,3,从而得方程的解为,4,其中是任意常数，又是方程的两个线性无关的解，故上式是方程的通解。,两个级数在实数域内收敛。,5,考察系数递推关系式,为了了解上述多项式的系数形式，改写递推关系式为,2.Hermite多项式,当n是正整数（包括零）时，,进一步知，当n是偶数（包括零）时，变成了多项式，仍为无穷级数；当n是奇数时，变成了多项式，仍为无穷级数。,则,6,则,7,取则,当n为偶数时，有系数，对应多项式,为关于x的偶次方的多项式,当n为奇数时，有系数，对应多项式,为关于x的奇次方的多项式,n次Hermite多项式,8,统一写法，有,前几次Hermite多项式,9,7.2Hermite多项式的母函数与递推公式,令,将其展开成变量t的Taylor级数，则有,则是n次Hermite多项式。,证明：,10,比较同次幂系数有,即,11,即,比较同次幂系数有,即,12,是Hermite方程的解，故是Hermite多项式。,定义：称是Hermite多项式的母函数。,Hermite多项式的微分形式：,13,Hermite多项式的微分形式：,Hermite多项式的递推公式：,14,证明从略。,7.3Hermite多项式的正交性及其应用,结论：Hermite多项式在上关于权函数正交，即,结论：设f(x)为定义在上的函数，且满足,（1）f(x)在任何有限区间内都是分段光滑的函数；,（2）,15,则f(x)必能展成如下形式的级数：,其中,在不连续处有,在连续处有,16,解：
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