高中数学圆锥曲线练习题及答案历年高考试题

这个挺好的2009年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1（2009全国卷理）设双曲线21XYAB（A0,B0）的渐近线与抛物线YX21相切，则该双曲线的离心率等于（A）3（B）2（C）5（D）6解设切点0,PXY，则切线的斜率为0|2XY由题意有02YX又201解得2201,1BBEAA2（2009全国卷理）已知椭圆21XCY的右焦点为F,右准线为L，点AL，线段F交C于点B，若3FAB,则|FA2B2C3D3解过点B作ML于M,并设右准线L与X轴的交点为N，易知FN1由题意3B,故2|3M又由椭圆的第二定义,得2|3|2AF故选A3（2009浙江理）过双曲线210,XYAB的右顶点作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC若B，则双曲线的离心率是WWWKS5UCOMA2B3C5D0答案C【解析】对于,0A，则直线方程为0XYA，直线与两渐近线的交点为B，C，22,ABBB，则有22,BAABA，因24,5AE4（2009浙江文）已知椭圆210XYAB的左焦点为F，右顶点为，点B在椭圆上，且BFX轴，直线AB交轴于点P若2AB，则椭圆的离心率是（）WWWKS5UCOMA32B2C3D125D【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用【解析】对于椭圆，因为AP，则2,OAFACEWWWKS5UCOM72009山东卷理设双曲线12BYAX的一条渐近线与抛物线YX21只有一个公共点，则双曲线的离心率为A45B5C5D5【解析】双曲线12BYAX的一条渐近线为XABY,由方程组21BYXA,消去Y,得210BXA有唯一解,所以240BA,所以,2215CBEAA,故选D答案D【命题立意】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能82009山东卷文设斜率为2的直线L过抛物线20YAX的焦点F,且和Y轴交于点A,若OAFO为坐标原点的面积为4,则抛物线方程为A24YXB28YXC24YXD8【解析】抛物线0A的焦点F坐标为,则直线L的方程为24AYX,它与Y轴的交点为A0,2A,所以OAF的面积为1|24A,解得所以抛物线方程为8,故选B答案B【命题立意】本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数A的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一9（2009全国卷文）双曲线1362YX的渐近线与圆0322RYX相切，则R（A）3（B）2（C）3（D）6答案A解析本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于R，可求R310（2009全国卷文）已知直线02KXY与抛物线CXY82相交A、B两点，F为C的焦点。若F2,则KA31B32C3D3答案D解析本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由2FAB及第二定义知2BAX联立方程用根与系数关系可求K23。11（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为62的是（A）214Y（B）214XY（C）214XY（D）2140XY解析由6E得2223,CBAA，选B12（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是WWWKS5UCOMABCD【解析】依据双曲线21XYAB的离心率CEA可判断得62CEA选B。13（2009安徽卷文）直线过点（1，2）且与直线垂直，则的方程是ABCD【解析】可得L斜率为33122LYX即210Y，选A。14（2009江西卷文）设1F和2为双曲线21XYAB0,B的两个焦点,若12F，0,PB是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A32BC52D3答案B【解析】由3TAN62CB有24CBCA,则2CE,故选B15（2009江西卷理）过椭圆21XYA0的左焦点1F作X轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若120FP，则椭圆的离心率为AB3C2D3WWWKS5UCOM答案B【解析】因为2,BCA，再由1260FP有3,BA从而可得3CEA，故选B16（2009天津卷文）设双曲线,YX的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）AXY2BXY2CXY2DXY1【解析】由已知得到,3,1BCACB，因为双曲线的焦点在X轴上，故渐近线方程为AB2【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。172009湖北卷理已知双曲线21XY的准线过椭圆214XYB的焦点，则直线2YKX与椭圆至多有一个交点的充要条件是A1,2KB,2KC,D,【解析】易得准线方程是21AXB所以22241CAB即23所以方程是2143XY联立YKX可得3K60XX由可解得A18（2009四川卷文）已知双曲线12BY的左、右焦点分别是1F、2，其一条渐近线方程为，点,30YP在双曲线上则1PFA12B2C0D4【解析】由渐近线方程为XY知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是22YX，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且,3或1,P不妨去1,3P，则1,31F，1,3F202219（2009全国卷理）已知直线0YKX与抛物线28CYX相交于AB、两点，F为C的焦点，若|AB，则KA13B2C3D23解设抛物线8CYX的准线为LX直线20YKX恒过定点P,0如图过AB、分别作AML于,BNL于N,由|2|FA,则|2|MN,点B为AP的中点连结OB,则1,OF点的横坐标为1,故点的坐标为3K,故选D20（2009全国卷理）已知双曲线20,XYCAB的右焦点为F,过且斜率为的直线交于AB、两点，若4AFB,则C的离心率为WWWKS5UCOMA65B7C58D9解设双曲线21XYAB的右准线为L,过、分别作ML于M,BNL于,BDM于,由直线AB的斜率为3,知直线AB的倾斜角为16060|2AAB,由双曲线的第二定义有1|ABNDAFBE1|2ABFB又15643|2FEE故选A21（2009湖南卷文）抛物线8YX的焦点坐标是【B】A（2，0）B（2，0）C（4，0）D（4，0）解由8YX,易知焦点坐标是,P，故选B22（2009辽宁卷文）已知圆C与直线XY0及XY40都相切，圆心在直线XY0上，则圆C的方程为（A）221XYB221CD【解析】圆心在XY0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可2答案B23（2009宁夏海南卷理）双曲线24X1Y1的焦点到渐近线的距离为（A）23（B）2（C）3（D）1解析双曲线4X1Y1的焦点4,0到渐近线YX的距离为34023D,选A24（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F1，0，直线L与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_解析抛物线的方程为24YX，21121121212124,4YXAYBXXYXY则有，两式相减得，直线L的方程为X,即答案YX25（2009陕西卷文）过原点且倾斜角为60的直线被圆学20Y所截得的弦长为科网（A）3（B）2（C）（D）23答案D解析22,4XXY直线方程Y3圆的标准方程,圆心0,2到直线的距离2301D，由垂径定理知所求弦长为213D故选D26（2009陕西卷文）“0MN”是“方程21MN”表示焦点在Y轴上的椭圆”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析将方程21XNY转化为21XYMN,根据椭圆的定义，要使焦点在Y轴上必须满足10,MN所以1NM，故选C27（2009四川卷文）已知双曲线012BYX的左、右焦点分别是1F、2，其一条渐近线方程为XY，点,30P在双曲线上则1PFA12B2C0D4【解析】由渐近线方程为XY知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是22YX，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且,3或1,P不妨去1,3P，则1,31F，1,3F202228（2009全国卷文）设双曲线20XYABB，的渐近线与抛物线2YX相切，则该双曲线的离心率等于（A）3（B）2（C）5（D）6【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。解由题双曲线20XYABB1，的一条渐近线方程为ABXY，代入抛物线方程整理得02ABX，因渐近线与抛物线相切，所以042B，即552EC，故选择C。29（2009全国卷文）已知椭圆21XCY的右焦点为F,右准线L，点AL，线段AF交C于点B。若3FAB,则A2B2C3D3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解过点B作ML于M,并设右准线L与X轴的交点为N，易知FN1由题意3FAB,故2|3M又由椭圆的第二定义,得2|3BF|2故选A30（2009湖北卷文）已知双曲线14122BYXYX的准线经过椭圆（B0）的焦点，则BA3B5C3D【解析】可得双曲线的准线为21AXC,又因为椭圆焦点为24,0B所以有241B即B23故B故C31（2009天津卷理）设抛物线Y2X的焦点为F，过点M（3，0）的直642246105510X05F051,000HX2X3GY12FYY22ABFC线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF2，则BCF与ACF的面积之比BCFAS（A）45（B）23（C）47（D）12【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。解析由题知12ABABACFBXS，又3321|BBBYXX由A、B、M三点共线有MAX即2302AX，故AX，54132ACFXS，故选择A。32（2009四川卷理）已知双曲线210XYB的左右焦点分别为12,F，其一条渐近线方程为YX，点03,PY在该双曲线上，则12PFA12BC0D4【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）解析由题知2B，故0,2,310Y，,1,321F，故选择C。解析2根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程1XY，则左、右焦点坐标分别为12,0,F，再将点0,PY代入方程可求出3,1P，则可得20PF，故选C。33（2009四川卷理）已知直线1460LXY和直线L，抛物线24YX上一动点P到直线1L和直线2L的距离之和的最小值是A2B3C5D3716【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析直线2LX为抛物线24YX的准线，由抛物线的定义知，P到2L的距离等于P到抛物线的焦点0,F的距离，故本题化为在抛物线24YX上找一个点使得到点,1和直线2L的距离之和最小，最小值为0,1F到直线14360LXY的距离，即25|6|MIND，故选择A。解析2如下图，由题意可知2|310|434（2009宁夏海南卷文）已知圆1C2X2Y1，圆C与圆1关于直线10XY对称，则圆2C的方程为（A）2X2Y1（B）221（C）1（D）XY1【解析】设圆2的圆心为（A，B），则依题意，有10AB，解得2AB，对称圆的半径不变，为1，故选B。35（2009福建卷文）若双曲线213XYAO的离心率为2，则A等于A2BC3D1解析解析由2213XYAAC可知虚轴B，而离心率E，解得A1或A3，参照选项知而应选D36（2009重庆卷理）直线X与圆21Y的位置关系为（）A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离【解析】圆心0,为到直线1Y，即0的距离12D，而01，选B。37（2009重庆卷理）已知以4T为周期的函数,3MXFX，其中M。若方程3FX恰有5个实数解，则M的取值范围为（）A18,3B15,73C48,3D4,7【解析】因为当1,X时，将函数化为方程210YXM，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当,3得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线XY与第二个椭圆2410YXM相交，而与第三个半椭圆2410YX无公共点时，方程恰有5个实数解，将3代入2410YX得29735,M令229085TTTXT则由1815,3TTM得由且得同样由3XY与第二个椭圆28YX由可计算得7综上知15,7M38（2009重庆卷文）圆心在Y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A22XYB22XC2231XYD2231XY解法1（直接法）设圆心坐标为0,B，则由题意知OB，解得B，故圆的方程为22。解法2（数形结合法）由作图根据点1,2到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为XY解法3（验证法）将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在Y轴上，排除C。39（2009年上海卷理）过圆2CXY的圆心，作直线分别交X、Y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|,SS则直线AB有（）（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条【解析】由已知，得,IVIIIS，第II，IV部分的面积是定值，所以，IVI为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。二、填空题1（2009四川卷理）若215OXY与220OXMYR相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是W【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。解析由题知0,21M，且3|，又21OA，所以有5522M，4502AB。2（2009全国卷文）若直线被两平行线1230LXYLXY与所截得的线段的长为2，则的倾斜角可以是1304607其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解两平行线间的距离为21|D，由图知直线M与1L的夹角为O30，1L的倾斜角为O45，所以直线M的倾斜角等于075430O或053O。故填写或3（2009天津卷理）若圆24XY与圆26XYA（A0）的公共弦的长为23，则A_。【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。解析由知260XYA的半径为26，由图可知2221A解之得1A4（2009湖北卷文）过原点O作圆X2Y26X8Y200的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为。【解析】可得圆方程是2345Y又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得45（2009重庆卷文）已知椭圆210AB的左、右焦点分别为12,0,FC，若椭圆上存在一点P使1221SINSIACFP，则该椭圆的离心率的取值范围为解法1，因为在中，由正弦定理得2112SINSIPF则由已知，得121ACF，即12AC设点0,XY由焦点半径公式，得020,EXAEX则00EXCAEX记得EECA由椭圆的几何性质知1则，整理得21,解得21,或，又，故椭圆的离心率21,解法2由解析1知CPF由椭圆的定义知212APFAC则即，由椭圆的几何性质知222,0,CC则既所以210,E以下同解析16（2009重庆卷理）已知双曲线21,XYAB的左、右焦点分别为12,0,FC，若双曲线上存在一点P使12SINFAC，则该双曲线的离心率的取值范围是解法1，因为在12中，由正弦定理得2112SINSIPF则由已知，得121ACPF，即12APFC，且知点P在双曲线的右支上，设点0,XY由焦点半径公式，得020,EXFA则00EXCA解得EECA由双曲线的几何性质知1则，整理得21,解得211,，又，故椭圆的离心率,21解法2由解析1知2CPF由双曲线的定义知12CAPFA则即，由椭圆的几何性质知222,0,C则既所以210,E以下同解析17（2009北京文）椭圆19XY的焦点为12,F，点P在椭圆上，若1|4PF，则2|；12FP的大小为W【解析】UCOM本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理属于基础知识、基本运算的考查29,3AB，27C，127F，又124,6PFA，2PF，又由余弦定理，得221471COSFP，120F，故应填,108（2009北京理）设FX是偶函数，若曲线YFX在点1,F处的切线的斜率为1，则该曲线在,F处的切线的斜率为_【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念属于基础知识、基本运算的考查取2FX，如图，采用数形结合法，易得该曲线在1,F处的切线的斜率为1故应填9（2009北京理）椭圆219XY的焦点为12,F，点P在椭圆上，若1|4PF，则|_；12的小大为_【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理属于基础知识、基本运算的考查29,3AB，27C，17F，又24,6PA，2PF，又由余弦定理，得221471COSFP，10，故应填,1010（2009江苏卷）如图，在平面直角坐标系XOY中，12,AB为椭圆210XYAB的四个顶点，（第11题解答图）F为其右焦点，直线12AB与直线1F相交于点T，线段O与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线12AB的方程为XYAB；直线F的方程为1C。二者联立解得2,ACBT，则,2ACBM在椭圆20XYAB上，2221,03,134CE，解得75E11（2009全国卷文）已知圆O52YX和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。解析由题意可直接求出切线方程为Y2X1，即X2Y50,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和25，所以所求面积为4251。12（2009广东卷理）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在X轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为【解析】3E，12A，6，3B，则所求椭圆方程为19362Y132009年广东卷文以点（2，）为圆心且与直线XY相切的圆的方程是【答案】25XY【解析】将直线6化为60XY,圆的半径|21|5R,所以圆的方程为2251XYWWWKS5UCOM14（2009天津卷文）若圆42与圆062AYX的公共弦长为3，则A_【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为Y1，利用圆心（0，0）到直线的距离D1|A为1322，解得A1【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。15（2009四川卷文）抛物线24YX的焦点到准线的距离是【解析】焦点F（1，0），准线方程1，焦点到准线的距离是216（2009湖南卷文）过双曲线C2YAB0,B的一个焦点作圆22XYA的两条切线，切点分别为A，B，若0O（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为2解12063OAFCA,CE17（2009福建卷理）过抛物线2YPX的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则P_解析由题意可知过焦点的直线方程为2PYX，联立有222304YPXPX，又2221348PAB。18（2009辽宁卷理）以知F是双曲线214XY的左焦点，1,4AP是双曲线右支上的动点，则PF的最小值为。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F4,0,于是由双曲线性质|PF|PF|2A4而|PA|PF|AF|5两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立【答案】919（2009四川卷文）抛物线2YX的焦点到准线的距离是【解析】焦点F（1，0），准线方程1，焦点到准线的距离是220（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在X轴上，直线YX与抛物线C交于A，B两点，若2,P为AB的中点，则抛物线C的方程为。【解析】设抛物线为Y2KX，与YX联立方程组，消去Y，得X2KX0，21XK22，故24YX212009湖南卷理已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60O，则双曲线C的离心率为【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是,BC是虚半轴长，C是焦半距，且一个内角是30，即得TAN30BC，所以3CB，所以2A，离心率362EA22（2009年上海卷理）已知1F、2是椭圆12BYAXC（AB0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且21PF若21的面积为9，则B_【解析】依题意，有22124|8|CPF，可得4C2364A2，即A2C29，故有B3。23（2009上海卷文）已知、是椭圆210XYCAB的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且12PF。若12PF的面积为9，则B【解析】依题意，有22124|8|CPFA，可得4C2364A2，即A2C29，故有B3。三、解答题12009年广东卷文（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在X轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F和2,椭圆G上一点到1F和2F的距离之和为12圆KC01422YKYXRK的圆心为点KA1求椭圆G的方程2求21AK的面积3问是否存在圆K包围椭圆G请说明理由【解析】（1）设椭圆G的方程为21XYAB（0AB）半焦距为C则23AC,解得63C,223679C所求椭圆G的方程为2169XYWWWKS5UCOM2点KA的坐标为,121232FSV（3）若0K，由60150KKF可知点（6，0）在圆KC外，若，由2可知点（6，0）在圆外；不论K为何值圆KC都不能包围椭圆G2（2009全国卷理）（本小题满分12分）如图，已知抛物线2EYX与圆224MXYR相交于A、B、D四个点。（I）求R得取值范围；（II）当四边形ABD的面积最大时，求对角线AC、D的交点P坐标分析（I）这一问学生易下手。将抛物线2E与圆2240XYR的方程联立，消去2Y，整理得227160XR（）抛物线EY与圆240XYR相交于、B、四个点的充要条件是方程（）有两个不相等的正根即可易得15,2考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点设四个交点的坐标分别为1,AX、1,BX、2,CX、2,DX。则由（I）根据韦达定理有22276R，154则2112|SXXX2212122415R令6RT，则7STT下面求S的最大值。方法一利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。22172714STTTT33148当且仅当72TT，即6时取最大值。经检验此时15,42R满足题意。方法二利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。下面来处理点P的坐标。设点P的坐标为,0PX由AC、三点共线，则121PX得1276T。以下略。3（2009浙江理）（本题满分15分）已知椭圆1C210YXAB的右顶点为1,0A，过1C的焦点且垂直长轴的弦长为1（I）求椭圆C的方程；（II）设点P在抛物线22YXHR上，2在点P处的切线与1交于点,MN当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求的最小值解析（I）由题意得2,1BA所求的椭圆方程为214YX，WWWKS5UCOM（II）不妨设212,XYNPTH则抛物线2C在点P处的切线斜率为2XTY，直线MN的方程为2YTH，将上式代入椭圆1C的方程中，得20XTH，即4140TT，因为直线MN与椭圆1有两个不同的交点，所以有426，设线段MN的中点的横坐标是3X，则21XT，WWWKS5UCOM设线段PA的中点的横坐标是4，则T，由题意得34X，即有210THT，其中的22140,1H或H；当3时有20，因此不等式216THT不成立；因此1H，当时代入方程2TT得T，将,H代入不等式421640TT成立，因此的最小值为14（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线C20XPY上一点,AM到其焦点的距离为7（I）求P与M的值；（II）设抛物线C上一点P的横坐标为0T，过P的直线交于另一点Q，交X轴于点M，过点Q作PQ的垂线交于另一点N若M是的切线，求T的最小值解析（）由抛物线方程得其准线方程2PY，根据抛物线定义点4,A到焦点的距离等于它到准线的距离，即417，解得21P抛物线方程为YX2，将4,MA代入抛物线方程，解得M（）由题意知，过点,2TP的直线Q斜率存在且不为0，设其为K。则2KTYLPQ，当,02KTX则,2TM。联立方程YXT2，整理得2T即TKT，解得,TX或,2，而QPN，直线N斜率为K1WWWKS5UCOM12TKXTKYLNQ，联立方程YXTKTY2整理得022TTX，即012TTK01TKXTKX，解得KTX1，或TKX,2TTN，1122TKTKTKNM而抛物线在点N处切线斜率YKKTX1切MN是抛物线的切线，T22，整理得0212TTK02142TT，解得3（舍去），或3T，MINT5（2009北京文）（本小题共14分）WWWKS5UCOM已知双曲线2,XYCAB的离心率为，右准线方程为3X。（）求双曲线C的方程；（）已知直线0M与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆25XY上，求M的值【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得23AC，解得1,3AC，22BC，所求双曲线C的方程为21YX（）设A、B两点的坐标分别为12,XY，线段AB的中点为0,MX，由210YXM得20M（判别式0）,120,YX,点0MX在圆25上，225，16（2009北京理）（本小题共14分）已知双曲线2,0XYCAB的离心率为3，右准线方程为3X（）求双曲线的方程；（）设直线L是圆2O上动点00,PXY处的切线，L与双曲线C交于不同的两点,AB，证明的大小为定值【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得23AC，解得1,3AC，22BCA，所求双曲线C的方程为21YX（）点00,PXY在圆2XY上，圆在点处的切线方程为0，化简得0由201YX及20XY得22000348XX，切线L与双曲线C交于不同的两点A、B，且，2034X，且222000168XX，设A、B两点的坐标分别为1,Y，则20012128,34XX，COSO，且12120102ABXYXXY，20422002200088334XX22004XAOB的大小为9【解法2】（）同解法1（）点00,PY在圆2XY上，圆在点X处的切线方程为0X，化简得02Y由201XY及20Y得2348X2000YX切线L与双曲线C交于不同的两点A、B，且20X，20X，设A、B两点的坐标分别为1,Y，则22001188,3434XY，2OX，O的大小为90（20且0，220,Y，从而当2034X时，方程和方程的判别式均大于零）7（2009江苏卷）（本题满分10分）在平面直角坐标系XOY中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点,0MM的直线交抛物线C于D、E两点，ME2DM，记D和E两点间的距离为FM，求F关于的表达式。【解析】必做题本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。82009山东卷理（本小题满分14分）设椭圆E21XYAB（A,B0）过M（2，），N6,1两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAB若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。解（1）因为椭圆E21XYAB（A,B0）过M（2，），N6,1两点,所以2416AB解得284所以284A椭圆E的方程为2184XY（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAB,设该圆的切线方程为YKXM解方程组2184XYKM得228XK,即221480KXM,WWWKS5UCOM则2221640KK,即284012248KMX,2222121211284811KMKMKYKXKXMX要使OAB,需使0,即280,所以230,所以230又240,所以238M,所以3,即6或6,因为直线YKX为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21RK,22831MRK,263R,所求的圆为283Y,此时圆的切线YKXM都满足63或6,而当切线的斜率不存在时切线为6X与椭圆2184XY的两个交点为2,或2,3满足OAB,综上,存在圆心在原点的圆23，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且因为12248KXM,所以2222211148411KMKMXX,222122|ABYX42243513KK,当0时2|K因为2148K所以21084,所以23K,所以46|33AB当且仅当2K时取”WWWKS5UCOM当0K时,|当AB的斜率不存在时,两个交点为26,3或26,3,所以此时46|3AB,综上,|AB|的取值范围为46|3AB即4|【命题立意】本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系92009山东卷文（本小题满分14分）设MR,在平面直角坐标系中,已知向量,1AMXY,向量,1BXY,AB,动点,MXY的轨迹为E（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状WWWKS5UCOM（2）已知41,证明存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OABO为坐标原点,并求出该圆的方程3已知,设直线L与圆C22XYR10）与X轴的左、右两个交点，直线L过点B,且与X轴垂直，S为L上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T1若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问是否存在A,使得O,M,S三点共线若存在，求出A的值，若不存在，请说明理由。解法一当曲线C为半圆时，1,A如图，由点T为圆弧AB的三等分点得BOT60或1201当BOT60时,SAE30又AB2,故在SAE中,有TAN30,SBAST2当BOT120时,同理可求得点S的坐标为123,综上,231,S或假设存在0A,使得O,M,S三点共线由于点M在以SB为直线的圆上,故BTO显然,直线AS的斜率K存在且K0,可设直线AS的方程为YKXA由2224210XYAXAKAK得设点2,1TTKX故21AK,从而2TAKYX亦即22,A2,0,1KBAT由XYK得,SAOSA由OS,可得22401KB即2240AK0A经检验,当2时,O,M,S三点共线故存在,使得O,M,S三点共线解法二同解法一假设存在A,使得O,M,S三点共线由于点M在以SO为直径的圆上,故SMBT显然,直线AS的斜率K存在且K0,可设直线AS的方程为YKXA由222210XYABXAKAK得设点,TX,则有421T故2222,1AAKAKYKXTK从而亦即2,0,TBSMA故由XAYK得S,所直线SM的方程为2YAKXO,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即0,2K故存在A,使得O,M,S三点共线23（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）已知，椭圆C以过点A（1，32），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。22解（）由题意，C1,可设椭圆方程为2114XYB。因为A在椭圆上，所以2194B，解得23，23（舍去）。所以椭圆方程为243XY4分（）设直线方程得12K，代入2143XY得23420KXX（）设（E，Y），（F，Y）因为点（1，2）在椭圆上，所以2134KX，EY。8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代，可得2413FKX，Y。所以直线EF的斜率21FEFEEYKXKKX。即直线EF的斜率为定值，其值为12。12分24（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A31,2，两个焦点为（1，0），（1，0）。（3）求椭圆C的方程；（4）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（20）解（）由题意，C1,可设椭圆方程为2194B，解得23B，24（舍去）所以椭圆方程为2143XY。4分（）设直线AE方程为32KX，代入2143XY得232410KX设,YE,F,因为点,A在椭圆上，所以23X4K32EYKX8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得241X3FKEY所以直线EF的斜率21FEFEYKXKKX即直线EF的斜率为定值，其值为12。12分25（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系XOY的原点，焦点在S轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于X轴的直线上的点，OPM，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解设椭圆长半轴长及半焦距分别为AC，由已知得1,4,37ACAC解得，所以椭圆C的标准方程为2167XY（）设,MXY，其中4,。由已知2OPM及点在椭圆C上可得22916。整理得2916XY，其中4,X。（I）34时。化简得所以点M的轨迹方程为473YX，轨迹是两条平行于X轴的线段。（II）34时，方程变形为221169Y，其中4,X当0时，点的轨迹为中心在原点、实轴在Y轴上的双曲线满足4X的部分。当314时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在X轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；26（2009陕西卷文）（本小题满分12分）已知双曲线C的方程为210,YXAB，离心率52E，顶点到渐近线的距离为25。WWWKS5UCOM（I）求双曲线C的方程；II如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,23APB，求AOB面积的取值范围。解析解法1（）由题意知，双曲线C的顶点（0，A）到渐近线250AXBY的距离为，所以25AB所以25ABC由22515CBAC得所以曲线C的方程是2Y41X（）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为2YX设,2,0,AMBN（由,PURMN2得点的坐标为（1将P点的坐标代入22,44YX化简得因为,AOBTAN,TAN,SI225又5M所以11SIAOBSM记1,223则21由0S得又S（1）2，89,34S当时，AOB面积取到最小值2，当当13时，AOB面积取到最大值83所以面积范围是,解答2（）由题意知，双曲线C的顶点（0，A）到渐近线250AXBY的距离为，252ABABC即由2251ABCABC得所以曲线C的方程是2Y41X（）设直线AB的方程为,KM由题意知,0KM由2,2YXA得点的坐标为（由,BK得点的坐标为（121,2MAPK得点的坐标为（UR将P点的坐标代入2XY4得4K设Q为直线AB与Y轴的交点，则Q点的坐标为（0，M）AOBSBOQS2112412ABXXXMKKGG以下同解答1272009陕西卷理（本小题满分12分）已知双曲线C的方程为210,YXAB，离心率52E，顶点到渐近线的距离为25。（I）求双曲线C的方程；II如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,23AB，求O面积的取值范围。28（本小题满分14分）已知双曲线C的方程为210,YXABWWWKS5UCOM离心率5,2E顶点到渐近线的距离为25（）求双曲线C的方程；（）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限若1,3AB求AOB面积的取值范围解答一（）由题意知，双曲线C的顶点,OA到渐近线0XBY25的距离为，2525,ABABC即由22,5,CAB得,15,C双曲线C的方程为214YX（）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为2YX设,0,AMBN由P得P点的坐标为2,1MN将P点坐标代入2,4YX化简得24设AOB14,TANTAN,SI,IN5又4|5|511|SIN22AOBMSMA记,3由8901,2,4SS1得又当时，AOB的面积取得最小值2，当13时，AOB的面积取得最大值83AOB面积的取值范围是82,3解答二（）同解答一（）设直线AB的方程为,YKXM由题意知|2,0KMWWWKS5UCOM由2YKXM得A点的坐标为,2由得B点的坐标为,K由P得P点的坐标为121,2K将P点坐标代入244YMXK得设Q为直线AB与Y轴的交点，则Q点的坐标为（0，M）111|8222AOBBOQSSXAOXAXBA4MKK以下同解答一29（2009四川卷文）（本小题满分12分）已知椭圆210XYAB的左、右焦点分别为12F、，离心率2E，右准线方程为2X。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点1F的直线L与该椭圆交于MN、两点，且263N，求直线L的方程。【解析】（I）由已知得2CA，解得,1AC21BAC所求椭圆的方程为21XY4分（II）由（I）得1,0F、2,若直线L的斜率不存在，则直线L的方程为1X，由21XY得2设21,M、21,N，2,4,0F，这与已知相矛盾。若直线L的斜率存在，设直线直线L的斜率为K，则直线L的方程为1YKX，设1,XY、2,XY，联立2K，消元得22140KX212124,XXK，WWWKS5UCOM2KY，又212,FMXYFNXY12222218613KK化