应变分量与协调方程演示幻灯片

由于外部因素（载荷或温度），物体内部各点空间位置发生变化。各点位置变化量称为位移。位移形式刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。,应变,M(x,y,z),M(x,y,z),刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。,M(x,y,z),M(x,y,z),变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。,位移u，v，w是单值连续函数，进一步分析位移函数具有连续的3阶导数。,物体内部各点空间位置发生变化。各点位置变化量称为位移。物体上各点位置发生变化变形一点的变形通过微分六面体单元描述微分单元体的变形，分为两部分讨论。正应变棱边的伸长和缩短；切应变棱边之间夹角（直角）改变。,正应变,切应变,坐标，,A(x,y)点位移u，v，,B(x+dx,y)点位移，,C(x,y+dy)点位移，,位移u，v，w是单值连续函数，进一步分析位移函数具有连续的3阶导数。,坐标，,坐标,坐标,坐标,按幂级数展开，并略去dx、dy二次以上项：,几何意义,根据小变形假设，是微量，故,几何方程位移分量和应变分量之间的关系,几何方程又称柯西方程微分线段伸长正应变大于零微分线段夹角缩小切应变分量大于零,微小应变的几何解释,几何方程位移导数表示的应变；应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形；原因是没有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体转动刚性位移可以分解为平动与转动刚性转动变形位移的一部分，但是不产生变形。,变形通过应变描述坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化。应变分量的转轴公式应变张量,主应变与主应变方向,应变状态,应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。,体积应变：仅与线应变有关与角应变无关。弹性体一点体积的改变量引入体积应变有助于简化公式解释,协调方程,数学意义：几何方程6个应变分量通过3个位移分量描述力学意义变形连续弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束，不得出现“撕裂”和“重叠”。,例1设ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。解：,显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。,要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和x求二阶偏导数，然后相加可得,同理：,对x求一阶偏导数，则,分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式,将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，消去w、v则,应变协调方程圣维南（SaintVenant）方程,变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。,证明应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。目标如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。利用位移和转动分量的全微分，则,轮换x,y,z，可得du，dv和dwy，dwz,如通过积分，计算出,是单值连续的，则问题可证。,保证单值连续的条件是积分与积分路径无关,根据格林公式,回代,回代到第四式,wx单值连续的必要与充分条件是,同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式变形协调方程。由此