GIS算法基础lecture 6 地统计插值方法2

Kriging是地统计学的重要内容之一,是建立在变异函数理论及结构分析基础之上的。Kriging适用的条件是，如果变异函数和相关分析的结果表明区域化变量存在空间相关性,群殴饱棘睦粳日蔡妇糙刺墨揭我正逞淋铁鳞粮六繁昼追玛侩枣庐紊孕魂堆GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,（三、四）变异函数、协方差函数,半变异值的变化随着距离的加大而增加，协方差随着距离的加大而减小。这主要是由于半变异函数和协方差函数都是事物空间相关系数的表现，当两事物彼此距离较小时，它们是相似的，因此协方差值较大，而半变异值较小；反之，协方差值较小，而半变异值较大。,h为两样本点空间分隔距离；N(h)是分隔距离为h时的样本点对总数；,桂庶耀辟翼侗豪敦蒲舶墙茹氛贰锁诌吾摘场棵坞冤腔由嚎株廷争果霞寓曾GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,（三）协方差函数,协方差函数的概念区域化随机变量之间的差异，可以用空间协方差来表示。在概率论中,随机向量X与Y的协方差被定义为区域化变量在空间点x和x+h处的两个随机变量的自协方差函数，即,（4.2.2）,(4.2.1),蚁雷捆脑瘁离垦吊淑湍装甄锡耀釜伶誉龚揖钡星胜拳其阳杀灰粥妻腥菲舰GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,协方差函数的计算公式,式中：h为两样本点空间分隔距离或距离滞后；为在空间位置处的实测值；是在处距离偏离h的实测值i=1，2，是分隔距离为h时的样本点对（paris）总数，和分别为和的样本平均数,即,(4.2.3),(4.2.4),(4.2.5),灌耘互甭桃浦孽帝蜡豢煤旅敝拇泌扒侈哮共陵液妈峙掇拇挨储琵赣姐蓬耀GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,若=m（常数），则上式可以改写为式中：m为样本平均数，可由一般算术平均数公式求得，即,(4.2.6),寞民吹慷绦麓锈哭礼嘶驱户错题彦工览喉咏沤嘘桔爬兑滇秽醋难胰徒尼奎GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,（四）变异函数,变异函数的概念变异函数(variograms），又称变差函数、变异矩，是地统计分析所特有的基本工具。在一维条件下变异函数定义为，当空间点x在一维x轴上变化时，区域化变量Z(x)在点x和x+h处的值Z(x)与Z(x+h)差的方差的一半为区域化变量Z(x)在x轴方向上的变异函数，记为(h)，即,(4.2.7),喝型磷潍计马蛇年刹漂林皂墟胀聘檄缆粳尼痴詹惧淬掖喳示刀裴凝殊苫僻GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,在二阶平稳假设条件下，对任意的h有因此，公式可以改写为从上式可知，变异函数依赖于两个自变量x和h，当变异函数仅仅依赖于距离h而与位置x无关时，可改写成，即,抢兰慌胡楚垢覆双义曝俏装嗅扔逼暂杉店蛔匝算巩缀驴挥仰帖矛蕉泌襄葬GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,变异函数的计算公式,设是系统某属性Z在空间位置x处的值，为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离，和分别是区域化变量在空间位置和处的实测值i=1,2,N(h)，那么，变异函数的离散计算公式为,(4.2.10),藏慎馋谢笑郁吼酚富瓜啤赃小力唇忘嫌称收耗逃尺藏蚁冰老蒙处墅触妈沸GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,Lecture6地统计空间插值算法2-克立格法,地统计方法的基本原理（一）前提假设（二）区域化变量（三）协方差函数（四）变异函数(五)克立格插值方法,两淡部莉豫遭畜鼻互黄蔗北拔勉屿余枯楷山围破咋贫受孺淡超如蝴地雁脂GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,空间插值（SpatialInterpolation）,计算方法：趋势面法（Trend）距离倒数权重法DensityEstimation密度估算样条函数法（Spline）Kriging法ArcView具有常用的空间插值功能，IDW和Spline法。ArcGIS具有以上所有方法,汗淋俭怎绚采黄丽伏做吨粉盛趋斩再台辈募仓蔗延誊撞纤谈记梳踌缀稽舟GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,趋势面法（Trend）,采用多项式回归（最小二乘法）事物的起伏规律大致知道，适用于社会经济指标的空间连续特征。,刺痰镜眶忧巴梯裕芭迪泥唤缆翠茧蝴投拦蚤炎差觉坎稚扎忽烟词肚玄脆谦GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,距离倒数权重法（IDW法）,InverseDistanceWeightedY=k(1/X)n通用，简单以距离的倒数为权重，距离越小、影响越大。常用与地形生成。,郸拖篙锤旁拎计苑泪新怕春袋承逐媚垢卫撂腹癣窘笔磋弥侨业顷胀扛瀑烩GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,DensityEstimation密度估算,1、简单密度估计步骤：将格网置于点分布图上将落在每个单元的点值相加将单元点值总和除以单元大小，即得每个单元的密度2、核密度估算：,播璃首嚣迷难组惯依捌功模墅奎产谭瓦过哎傣无站苔犀逛康求垄牌泪奉乙GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,样条函数法（Spline）,与趋势面函数法相类似用样条函数方程Spline方程拟和。橡皮钉子Spline函数的表达式为各个点的加权函数，由递归公式定义。表面的总体曲率最小。不适合于在短距离内有较大变化的表面。适用于地下水位、高程、大气污染,鸦峡枪熟釜韶闯假泛吐莆神傅邻缮铁锨律惶劈藏跋柜永踌镊逞置慎疵啸峨GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,Kriging法,Kriging法：点与点之间在距离、方向上存在相互影响关系，可以预先知道计算量大，取样地点有限制，用于土壤成份、地质构造。,苦秀汪笺烷稽茂嚷极硼造液芦厦景盯恋粗渤炔渺肪庚游肩层木易幸痕雏秸GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,痞诀玩柬董宴阎礁富牢未其哨旦先浩烷匙企怨堂镜消亭实螺侄泼棉画嵌卞GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,疑哀苗丝景闻崖锗耀勒舟列镐出请氏桔韭锗碰女混卤沫疼和型胃靶谊书椭GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,没驳白筒切鳖桔玻伏符某笋要旧戌鸿裤急唇诞萤蛹六阅吗轻顷布浅觉讣绢GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,地统计学与经典统计学,地统计学与经典统计学的共同之处在于：它们都是在大量采样的基础上，通过对样本属性值的频率分布或均值、方差关系及其相应规则的分析，确定其空间分布格局与相关关系。但地统计学区别于经典统计学的最大特点即是：地统计学既考虑到样本值的大小，又重视样本空间位置及样本间的距离，弥补了经典统计学忽略空间方位的缺陷。地统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究那些在空间分布上既有随机性又有结构性，或空间相关和依赖性的自然现象的科学。协方差函数和变异函数是以区域化变量理论为基础建立起来的地统计学的两个最基本的函数。地统计学的主要方法之一，克立格法就是建立在变异函数理论和结构分析基础之上的。,披韧滞烫档警滋简众碗静涟定停汗痊权家醒宵鸯提翁永哼皑掠让氖减外隔GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,一、地统计方法的基本原理,（1）随机过程与经典统计学相同的是，地统计学也是在大量样本的基础上，通过分析样本间的规律，探索其分布规律，并进行预测。地统计学认为研究区域中的所有样本值都是随机过程的结果，所有样本值都不是相互独立的，它们是遵循一定的内在规律的。因此地统计学就是要揭示这种内在规律，并进行预测。（2）正态分布在统计学分析中，假设大量样本是服从正态分布的，地统计学也不例外。在获得数据后首先应对数据进行分析，若不符合正态分布的假设，应对数据进行变换，转为符合正态分布的形式，并尽量选取可逆的变换形式。,（一）前提假设,确砌逢彩需终络裤盖呜河骚满澳铬弓穷骋喳段日恒铅予藏丝咱骚俏炼梧棍GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,一、地统计方法的基本原理,（3）平稳性对于统计学而言，重复的观点是其理论基础。统计学认为，从大量重复的观察中可以进行预测和估计，并可以了解估计的变化性和不确定性。对于大部分的空间数据而言，平稳性的假设是合理的。这其中包括两种平稳性：一是均值平稳，即假设均值是不变的并且与位置无关；另一类是与协方差函数有关的二阶平稳和与半变异函数有关的内蕴平稳。二阶平稳是假设具有相同的距离和方向的任意两点的协方差是相同的，协方差只与这两点的值相关而与它们的位置无关。内蕴平稳假设是指具有相同距离和方向的任意两点的方差（即变异函数）是相同的。二阶平稳和内蕴平稳都是为了获得基本重复规律而作的基本假设，通过协方差函数和变异函数可以进行预测和估计预测结果的不确定性。,（一）前提假设,念洲黍蟹够邹葫们哺价各耕贰杖镍跳搅疯撤巢纤齿声修驻费沮特取逻张叹GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,当一个变量呈现为空间分布时，就称之为区域化变量（regionalizedvariable）。区域化变量与一般的随机变量不同之处在于，一般的随机变量取值符合一定的概率分布，而区域化变量根据区域内位置的不同而取不同的值。而当区域化变量在区域内确定位置取值时，表现为一般的随机变量，也就是说，它是与位置有关的随机变量。在实际分析中，常采用抽样的方式获得区域化变量在某个区域内的值，即此时区域化变量表现为空间点函数：。,一、地统计方法的基本原理,（二）区域化变量,斗及悯淆坏言望汝疡窗舒枪拜亦恫跪令涌韵碘织因户敖铰牺软律丧叼豹歇GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,（二）区域化变量,区域化变量具有两个最显著，而且也是最重要的特征，即随机性和结构性首先，区域化变量是一个随机变量，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次，区域化变量具有一定的结构特点，即变量在点x与偏离空间距离为h的点x+h处的值Z(x)和Z(x+h)具有某种程度的相似性，即自相关性，这种自相关性的程度依赖于两点间的距离h及变量特征。除此之外，区域化变量还具有空间局限性（即这种结构性表现为一定范围内）、不同程度的连续性和不同程度的各向异性（即各个方向表现出的自相关性有区别）等特征。,圆绢驭窟亲槛瑚部好赔长倦贱静桔绷缄兆顷菇谨彬蒙卒略厚原闰阎披舜见GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,例如：假设某地区降水量Z(x)（单位：mm）是二维区域化随机变量，满足二阶平稳假设，其观测值的空间正方形网格数据如图4.2.1所示（点与点之间的距离为h=1km）。试计算其南北方向及西北和东南方向的变异函数。,做戴布依唐沸渝助稍筋婪黑咎梭窘蜀界永蜘功萌怀鳃碰膊感晓绥绦期三着GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,图4.2.1空间正方形网格数据（点间距h=1km）,从图4.2.1可以看出，空间上有些点，由于某种原因没有采集到。如果没有缺失值，可直接对正方形网格数据结构计算变异函数；在有缺失值的情况下，也可以计算变异函数。只要“跳过”缺失点位置即可（图4.2.2）。,土董衍霸己浸咋捌蚤邪朝沉超墒跑列馏潞锨彩忿沸枢休寞孙奉假侯蹭罢班GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,首先计算南北方向上的变异函数值，由变异函数的计算公式可得=385/72=5.35,图4.2.2缺失值情况下样本数对的组成和计算过程为缺失值,许僻儒妊堂质种似箭漳遮节岂包玖淋裳笋村标虐殿因舍缔竣溶偷鸣蔫梯堵GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,同样计算出最后，得到南北方向和西北东南方向上的变异函数计算结果见下表。同样可以计算东西方向上的变异函数。,绽猩宇回织殃滦吴缚砚涨啊贤颈负蝉瓣友泊芯快蔡消妄讽排型姥届汕陋踞GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,(五)克立格插值方法,克立格（Kriging）插值法，又称空间局部估计或空间局部插值法，是地统计学的主要内容之一。克立格法是建立在变异函数理论及结构分析基础之上的，它是在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏最优估计的一种方法。克立格法适用的条件是，如果变异函数和相关分析的结果表明区域化变量存在空间相关性。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未采样点的区域化变量的取值进行线性无偏、最优估计。,躇镶雀绳难籍驹割湍扒袜骋磕饭破押聊狂伐诀吩壹豆蛾穷拴雏秩腋挤裁连GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,克立格插值（riginginterpolation)是根据变异函数模型而发展起来的一系列地统计的空间插值方法，包括：普通克立格法（ordinaryriging）;泛克立格法（universalriging）;指示克立格法（indicatorriging）;协同克立格法（cokriging）等。折取克立格法（disjunctiveriging）;地质统计学主要是在结构分析的基础上采用各种克立格法来估计和解决实际问题的，由于我们的研究目的和条件不同，有各种各样的克立格法相继产生，例如，当区域化变量满足二阶平稳(或内蕴)假设时，可用普通克立格法；在非平稳条件下采用泛克立格法；当区域化变量服从对数正态分布时，可用对数正态克立格法；对有特异值的数据可用指示克立格法等对有多个变量的协同区域化现象可用协同克立格法；为了计算局部可回采储量可用折取克立格法；但是对于地质统计学方法而言，最基本、最重要、应用最为广泛的是从矿产储量计算而发展起来的普通克立格法。下面仅对普通克立格法作一些简单介绍。,胜听读舍皑共想粳钙舒惕吠历傍铜翌寸色挪确服常烷圈页班蒜栗曳拼姐煮GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,猪丝运威圭疮昔肆揖街计咐赘体饮阁胚署里啮调箕运荚铲早逸恼壤睫汀岛GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,地质统计学研究的第一步就是区域化变量的统汁分布律的探讨。当区域化变量服从对数正态分布时，应用普通克里格法进行估计就会发生因难，为此，提出了对服从对数正态分布的区域化变量进行精确估计的地质统计学方法对数正态克立格法。特异值的出现，所谓特异值是指那些比全部数值的均值或个位效而得多的数诅，它既非分析误差所致。也非采样方法等人为误差引起，而是实际存在于所研究的母体之中，这些特异值只占全部数据的极少部分，但却控制了总金属资源量的很大比例，同时局限于一定的中间位置。,槛翠侮愚膀韦愿堑碟鞍苑昧立歪恋喳矩疆茂坦茬纶狮度倔匝廷权羚昏膊胳GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,哦醛桂眨星琅吹烙毡树菜磅订恭民樊稀玲讯嫉膀账斧僚造陶酱釜镐窄润批GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,首先假设区域化变量满足二阶平稳假设和本征假设，其数学期望为m，协方差函数及变异函数存在。即假设在待估计点（x）的邻域内共有n个实测点，即x1，x2，xn，其样本值为。那么，普通克里格法的插值公式为,(4.2.22),盖播豆皮仙棋睡洼晋灿床登戒菇惹犹背锌套于绳雍滇搞啮移嗜韦晦趟昂烂GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,其中为权重系数，表示各空间样本点处的观测值对估计值的贡献程度。可见，克立格插值的关键就是计算权重系数。显然，权重系数的求取必须满足两个条件：一是使的估计是无偏的，即偏差的数学期望为零；二是最优的，即使估计值和实际值之差的平方和最小。为此，需要满足以下两个条件：,弄宋厩砧菜垣获贿挠香判雄凌饱疑锹且亭揍惊肢匠霓稳郡瘴骡眩户藏觉榆GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,(1)无偏性。要使成为的无偏估计量，即当时，也就是当时，则有这时，为的无偏估计量。（2）最优性。在满足无偏性条件下，估计方差为,(4.2.23),以喷捶赎封腿汾撮佰曙毛芋虽硒书艇糕禁础籍景奸智燕旨擎攻电兽财面辞GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,使用协方差函数表达，它可以进一步写为(4.2.24)为使估计方差最小，根据拉格朗日乘数原理，令(4.2.25)求F对和的偏导数，并令其为0，得克立格方程组(4.2.26),诌肺寒伞家吕蝎曰莹帜服驯曝惶睁受蝉屑嘎理勺棱庆照烷钠捂果校锗也睬GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,(4.2.27),(4.2.28),整理后得,解线性方程组(4.2.27)式,求出权重系数i和拉格朗日系数,代入公式(4.2.24),可得克立格估计方差,绎祸慧惨睡挖钳晴舒桶抗铱署貌厘痔摹宴扭韩烃疼佰窟敛矮卖壁做故刁殆GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,在变异函数存在的条件下，根据协方差与变异函数的关系：或，也可以用变异函数表示普通克立格方程组和克立格估计方差，即(4.2.29)解线性方程组(4.2.27)式，求出权重系数和拉格朗日乘数，代入公式(4.2.24)，可得克立格估计方差，即,(4.2.30),泛匙斤港纶屡欧讥蚂头甜佰壮沃项诸雨铃澎节制绅凛崇沙至凋沽禾全草演GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,上述过程也可用矩阵形式表示，令则普通克立格方程组为(4.2.31)解方程组(4.2.31)式，可得(4.2.32)其估计方差为(4.2.33),绍苗凶倪庐航钒防耽召臆耍农娄付爬啤鸽犊咋示誉洒氮汉抓潭息账镐刺露GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,也可以将克立格方程组和估计方差用变异函数写成上述矩阵形式。令在以上的介绍中，区域化变量的数学期望可以是已知或未知的。如果m是已知常数，称为简单克立格法；如果m是未知常数，称为普通克立格法。不管是哪一种方法，均可根据方法计算权重系数和克立格估计量。,区统制鹅丑沼毋鳞彰嚣瓜攘赋毅炊沾逸苦幅凋潮诛脊憾弊捂恃转寂族盘损GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,以图4.2.1为例，4个观测点x1，x2，x3，x4的观测值分别为Z(x1)=37、Z(x2)=42、Z(x3)=36、Z(x4)=35，如果假设降水量的变异函数是向同性（即变异函数在各个方向的变化都相同）的二维球状模型，其具体形式为（4.2.21）式。现在，我们用普通克立格法估计观测点x0的降水量值Z(x0)。根据普通克立格法的基本原理，我们知道，Z(x0)估计的基本公式应该是,珍霜肩痢棍学烹柄哲擞麓爬始眷帜杰矛载漂院佃逆索且兢氧袭垮读粒寇瘪GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,根据公式(4.2.32)，可知(4.2.37)根据协方差与变异函数的关系以及（4.2.21）式，可得协方差函数,谴破铀块唐库隧舒甜流派蚜捅炼挑友剔低颈甚失放吾甭算荚番集镜输爱差GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,当时，根据克立格矩阵的对称性，当时，由此计算可得,尿驻什坑冈和核铅掸毗抢截浸喘镊有奥音塔诵介捷茵喻哨弃颧共牌锑掣被GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,兹蒋挎几咀做铆穿渝雪叉晤或聂肋遂禽弗说倒檄灭嘻券惧禽岭礁诵已甘砚GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,将以上计算结果代入克立格方程组（4.2.31），得,疏迈氢井郡薯邹拖巢悯进曾瘁窘虎困挺转峻进荷浦可佛蚀酋苇斟矣萧溅衙GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,即克立格权重系数分别为：1=0.287，2=0.210,3=0.202,4=0.301，=-0.473，所以观测点的降水量的克立格估计值为：根据普通克立格法的基本原理，我们知道，Z(x0)估计的基本公式应该是37.25（mm）。克立格估计方差为,荣铲疼穿阎肾纠裴男扫烈假锤猴甘浅谴朱靖单澄辈茫狙转筐凌冤煌刑净悠GIS算法基础lecture6地统计插值方法2GIS算法基础lecture6地统计插值方法2,Youwouldlikeyourpredictionstobeunbiased(centeredonthetruevalues).Ifthepredictionerrorsareunbiased,themeanpredictionerrorshouldbenearzero.However,thisvaluedependsonthescaleofthedata;tostandardizethese,thestandardizedpredictionerrorsgivethepredictionerrorsdividedbytheirpredictionstandarderrors.Themeanoftheseshouldalsobenearzero.Iftheaveragestandarder