2016年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2016 年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合 A=x z| 2 x 3， B=x| 2 x 1，则 AB=（ ） A 2， 1， 0 B 2， 1， 0， 1 C x| 2 x 1 D x| 2 x 1 2已知向量 ，若 ，则 t=（ ） A 1 B 3 C 3 D 3 3某程序的框图如图所示，若输入的 z=i（其中 i 为虚数单位），则输出的 S 值为（ ）A 1 B 1 C i D i 4若 x， y 满足 ，则 z= x+y 的最大值为（ ） A B 3 C D 4 5某三棱锥的三视图 如图所示，则其体积为（ ） A B C D 6已知点 P（ 抛物线 W： x 上，且点 P 到 W 的准线的距离与点 P 到 x 轴的距离相等，则 值为（ ） 第 2 页（共 16 页） A B 1 C D 2 7已知函数 f（ x） = ，则 “= ”是 “函数 f（ x）是偶函数 “的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ） 工作 效益 机器 一 二 三 四 五 甲 15 17 14 17 15 乙 22 23 21 20 20 丙 9 13 14 12 10 丁 7 9 11 9 11 戊 13 15 14 15 11 A甲只能承担第四项工作 B乙不能承担第二项工作 C丙可以不承担第三项工作 D获得的效益值总和为 78 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9函数 f（ x） = 的定义域为 _ 10已知数列 前 n 项和为 ，则 _ 11已知 l 为双曲线 C： =1 的一条渐近线，其倾斜角为 ，且 C 的右焦点为（ 2，0），则 C 的右顶点为 _， C 的方程为 _ 12在 2 这三个数中，最小的数是 _ 13已知函数 f（ x） =2x+），若 ，则函数 f（ x）的单调增区间为 _ 14给定正整数 k 2，若从正方体 8 个顶点中任取 k 个顶点，组成一个集合 M=， 均满足 M， M，使得直线 k 的所有可能取值是 _ 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、 演算步骤或证明过程 15在 ， C= ， a=6 （ ）若 c=14，求 值； 第 3 页（共 16 页） （ ）若 面积为 3 ，求 c 的值 16已知数列 等比数列，其前 n 项和为 足 S2+， 2 （ ）求数列 通项公式； （ ）是否存在正整数 n，使得 2016？若存在，求出符合条件的 n 的最小值；若不存在，说明理由 17如图，在四棱锥 P ， 平面 边形 正方形，点 M， B， 的点， （ ）求证：平面 平面 （ ）求证：当点 M 不与点 P， B 重合时， 平面 （ ）当 ， 时，求点 A 到直线 离的最小值 18一所学校计划举办 “国学 ”系列讲座由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出 10 人参加活动，在活动前，对所选的 10 名同学进行了国学素养测试，这10 名同学的性别和测试成绩（百分制） 的茎叶图如图所示 （ ）根据这 10 名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩； （ ）这 10 名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为 ， ，试比较 与的大小（只需直接写出结果）； （ ）若从这 10 名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优 良的概率（注：成绩大于等于 75 分为优良） 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，椭圆 C 与 y 轴交于 A、 B 两点，|2 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知点 P 是椭圆 C 上的动点，且直线 直线 x=4 分别交于 M、 N 两点，是否存在点 P，使得以 直径的圆经过点（ 2， 0）？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由 20已知函数 f（ x） = 第 4 页（共 16 页） （ 1）求曲线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程； （ 2）求函数 f（ x）的零点和极值； （ 3）若对任意 a， +），都有 f（ f（ 成立，求实数 a 的最小值 第 5 页（共 16 页） 2016 年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合 A=x z| 2 x 3， B=x| 2 x 1，则 AB=（ ） A 2， 1， 0 B 2， 1， 0， 1 C x| 2 x 1 D x| 2 x 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解： A=x Z| 2 x 3= 2， 1， 0， 1， 2， B=x| 2 x 1， AB= 2， 1， 0， 故选： A 2已知向量 ，若 ，则 t=（ ） A 1 B 3 C 3 D 3 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 由向量共线可得 t 的方程，解方程可得 【解答】 解： 向量 ，且 ， 1 9 ，解得 t= 3 故选： C 3某程序的框图如图所示，若输入的 z=i（其中 i 为虚数单位），则输出的 S 值为（ ）A 1 B 1 C i D i 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图及已知中输入 z=i，可得：进入循环的条件为 n 5，即 n=1，2， ， 5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的 S 值 【解答】 解：模拟执行程序，可得 z=i， n=1 第 6 页（共 16 页） 不满足条件 n 5， S=n=2 不满足条件 n 5， S=n=3 不满足条件 n 5， S=n=4 不满足条件 n 5， S=n=5 不满足条件 n 5， S=n=6 满足条件 n 5，退出循环，输出 S=i5=i 故选： D 4若 x， y 满足 ，则 z= x+y 的最大值为（ ） A B 3 C D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z= x+y 得 y= x+y， 平移 y= x+y， 由图象知当直线 y= x+y 经过点 A 直线的截距最大， 此时 z 最大， 由 得 ，即 A（ 1， 3）， 则 z= +3= ， 故选： C 5某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ） 第 7 页（共 16 页） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视 图知该几何体是一个三棱锥，由三视图之间的关系求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥， 底面是一个三角形：即俯视图：底是 2、高是侧视图的底边 ， 三棱锥的高是侧视图和正视图的高 1， 几何体的体积 V= = ， 故选： A 6已知点 P（ 抛物线 W： x 上，且点 P 到 W 的 准线的距离与点 P 到 x 轴的距离相等，则 值为（ ） A B 1 C D 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得点 P 到 W 的准线的距离即为 P 到 W 的焦点 F 的距离，由题意可得 |即可得到 【解答】 解：抛物线 W： x 的焦点为（ 1， 0），准线方程为 x= 1， 由抛物线的定义可得点 P 到 W 的准线的距离即为 P 到 W 的焦点 F 的距离 ， 由题意可得 | 则 x 轴，可得 ， 故选： B 7已知函数 f（ x） = ，则 “= ”是 “函数 f（ x）是偶函数 “的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 函数 f（ x）是偶函数，则 x+） = x+），可得 x+） = ，化简解出即可判断出结论 【解答】 解：函数 f（ x）是偶函数，则 x+） = x+），可得 x+） = ， 第 8 页（共 16 页） x+2+x ，或 （ x+） +2+x ， 解得 ，（ k Z） = ”是 “函数 f（ x）是偶函数 ”的充分不必要条件 故选： A 8某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ） 工作 效益 机器 一 二 三 四 五 甲 15 17 14 17 15 乙 22 23 21 20 20 丙 9 13 14 12 10 丁 7 9 11 9 11 戊 13 15 14 15 11 A甲只能承担第四项工作 B乙不能承担第二项工作 C丙可以不承担第三项工作 D获得的效益值总和为 78 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为 17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，即可得出结论 【解答】 解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为 17+23+14+11+15=80，但不能同时取得 要使总和最大，甲可以承 担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第三项工作， 所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作， 此时效益值总和为 17+23+14+11+13=78； 乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作， 此时效益值总和为 17+22+14+11+15=79，所以乙不承担第二项工作， 故选： B 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9函数 f（ x） = 的定义域为 1， +） 【考点】 函数 的定义域及其求法 【分析】 根据函数 f（ x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， 2x 2 0， 即 2x 2； 第 9 页（共 16 页） 解得 x 1， f（ x）的定义域为 1， +） 故答案为： 1， +） 10已知数列 前 n 项和为 ，则 2 【考点】 数列递推式 【分析】 通过 ，利用 2 2算即得结论 【解答】 解： ， a1+ 22（ 4 8） 2（ 1 4） =2， 故答案为： 2 11已知 l 为双曲线 C： =1 的一条渐近线，其倾斜角为 ，且 C 的右焦点为（ 2，0），则 C 的右顶点为 （ ， 0） ， C 的方程为 =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可得 c=2，求出渐近线方程，解方程可得 a， b，即可得到右顶点和双曲线的方程 【解答】 解：由题意可得 c=2，即 a2+， 一条渐近线的斜率为 k= =1， 解得 a=b= ， 则双曲线的右顶点为（ ， 0）， C 的方程为 =1 故答案为：（ ， 0）， =1 12在 2 这三个数中，最小的数是 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 第 10 页（共 16 页） 【解答】 解： = 1， = ， 在 2 这三个数中，最小的数是 故答案为： 13已知函数 f（ x） =2x+），若 ，则函数 f（ x）的单调增区间为 ， ， k Z 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件可得 +=2，且 +=2， k Z，求得 的值，可得 f（ x）的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+），若 ， 则函数的周期为 ， f（ ） =+） =1， f（ ） = +） = 1， 故 +=2，且 +=2， k Z，即 =2， k Z 故取 = ， f（ x） =2x+ ） 令 2 2x+ 2，求得 x ， 故答案为： ， ， k Z 14给定正整数 k 2，若从正方体 8 个顶点中任取 k 个顶点，组成一个集合 M=， 均满足 M， M，使得直线 k 的所有可能取值是 6， 7， 8 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 由题意， M， M，使得直线 k 至少要取 6，可以保证由四点共面，即可得出结论 【解答】 解：由题意， M， M，使得直线 则 k 至少要取 6，即可保证有四点共面， 由正方形的性质，四点共面时， M，使得直线 k 的所有可能取值是 6， 7， 8 故答案为： 6， 7， 8 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 第 11 页（共 16 页） 15在 ， C= ， a=6 （ ）若 c=14，求 值； （ ）若 面积为 3 ，求 c 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）利用正弦定理解出； （ 据面积计算 b，再利用余弦定理解出 c 【解答】 解：（ ） 在 ，由正弦定理得： ，即 ， （ ） = b=2 由余弦定理得： c2=a2+2ab+36 2 =52 16已知数列 等比数列，其前 n 项和为 足 S2+， 2 （ ）求数列 通项公式； （ ）是否存在正整数 n，使得 2016？若存在，求出符合条件的 n 的最小值；若不存在，说 明理由 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ ）通过设数列 公比为 q，利用 2a1+ 及 0 可知 q= 2，进而通过2 可知首项 ，计算即得结论； （ ）通过（ I）、利用等比数列的求和公式计算可知 2016 等价于（ 2） n 2015，分 n 为奇数、偶数两种情况讨论即可 【解答】 解：（ ）设数列 公比为 q， 因为 S2+，所以 2a1+， 因为 0，所以 q= 2， 又因为 ，所以 ， 所以 ； （ ）结论：符合条件的 n 的最小值为 11 理由如下： 由（ I）可知 ， 令 2016，即 1（ 2） n 2016，整理得（ 2） n 2015， 当 n 为偶数时，原不等式无解； 当 n 为奇数时，原不等式等价于 2n 2015，解得 n 11； 第 12 页（共 16 页） 综上所述，所以满足 2016 的正整数 n 的最小值为 11 17如图，在四棱锥 P ， 平面 边形 正方形 ，点 M， B， 的点， （ ）求证：平面 平面 （ ）求证：当点 M 不与点 P， B 重合时， 平面 （ ）当 ， 时，求点 A 到直线 离的最小值 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）通过证明 平面 可证明平面 平面 （ ）在 ， 以 用线面平行的判定定理， 证明平面 （ ） 长就是点 A 到 距离， A 到直线 离的最小值就是 A 到线段 距离 【解答】 证明：（ ）在正方形 ， 因为 平面 面 所以 又 A=A， 面 所以 平面 因为 平面 所以平面 平面 （ ）由（ ）知， 平面 平面 所以 在 ， 所以 又 面 面 所以 平面 解：（ ）因为 所以 平面 而 面 所以 所以 长就是点 A 到 距离， 而点 M 在线段 所以 A 到直线 离的最小值就是 A 到线段 距离， 在 ， ， ， 所以 A 到直线 最小值为 第 13 页（共 16 页） 18一所学校计划举办 “国学 ”系列讲座由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法 ，从某班选出 10 人参加活动，在活动前，对所选的 10 名同学进行了国学素养测试，这10 名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示 （ ）根据这 10 名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩； （ ）这 10 名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为 ， ，试比较 与的 大小（只需直接写出结果）； （ ）若从这 10 名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率（注：成绩大于等于 75 分为优良） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差 【分析】 （ ）设这 10 名同学中男女生的平均成绩分别为 利用茎叶图能求出该班男、女生国学素养测试的平均成绩 （ ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差 （ ）设 “两名同学的成绩均为优良 ”为事件 A，男生按成绩由低到高依次编号为 a3，生按成绩由低到高依次编号为 此利用列举法能求出这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率 【解答】 解：（ ）设这 10 名同学中男女生的平均成绩分别为 则 该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为 76 （ ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差 （ ）设 “两名同学的成绩均为优良 ”为事件 A， 男生按成绩由低到高依次编号为 女生按成绩由低到高依次编号为 则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有 24 种取法 （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ ，（ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 其中两名同学均为优良的取法有 12 种取法 （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 第 14 页（共 16 页） 所以 ， 即两名同学成绩均为优良的概率为 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，椭圆 C 与 y 轴交于 A、 B 两点，|2 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知点 P 是椭圆 C 上的动点，且直线 直线 x=4 分别交于 M、 N 两点，是否存在点 P，使得以 直径的圆经过 点（ 2， 0）？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）运用椭圆的离心率公式，以及 a， b， c 的关系，计算即可得到所求椭圆方程； （ ）设 P（ m， n），可得 +，可得 A（ 0， 1）， B（ 0， 1），设 M（ 4， s）， N（ 4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得 M， N 的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为 1，计算即可求得 m，检验即可判断是否存在 【解答】 解：（ ）由题意可得 e= = ， 2b=2，即 b=1， 又 ，解得 a=2， c= ， 即有椭圆的方程为 +； （ ）设 P（ m， n），可得 +， 即有 ， 由题意可得 A（ 0， 1）， B（ 0， 1），设 M（ 4， s）， N（ 4， t）， 由 P， A， M 共线可得， 为 = ， 可