2016年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合 M=x|x 0， x R， N=x|1， x R，则 MN=（ ） A 0， 1 B（ 0， 1） C（ 0， 1 D 0， 1） 2设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A y=x+1 B y= D y=x|x| 4如图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A i 5 B i 5 C i 6 D i 6 5某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ） A 8 B C 10 D 6在数列 ， “| “数列 递增数列 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 2 页（共 18 页） C充要条件 D既不充分也不必要条件 7函数 的部分图象如图所示，则将 y=f（ x）的图象向右平移 个单位后，得到的函数图象的解析式为（ ） A y= C D y=德国数学家科拉茨 1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半（即 ）；如果 n 是奇数，则将它乘 3 加 1（即 3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 1对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你 研究：如果对正整数 n（首项）按照上述规则施行变换后的第 8 项为 1（注： 1 可以多次出现），则 n 的所有不同值的个数为（ ） A 4 B 6 C 32 D 128 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9双曲线 =1 的焦距是 _，渐近线方程是 _ 10若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值 _ 11如图， 半圆 O 直径， 0， 半圆的切线，且 ，则点 O 到距离 _ 12在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为 （ s 为参数），曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数），若直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，则 |_ 13已知函数 f（ x） = ，且关于 x 的方程 f（ x） +x a=0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是 _ 第 3 页（共 18 页） 14某次考试的第二大题由 8 道判断题构成，要求考生用画 “”和画 “ ”表示对各题的正误判断，每题判断正确得 1 分，判断错误不得分请根据如下甲，乙，丙 3 名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题 得分 甲 5 乙 5 丙 6 丁 ？ 丁得了 _分 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 b=3， 别求 a 和 c 的值 16我市某苹果手机专卖店针对苹果 6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果 6S 手机的 100 人进行统计（注：每人仅购买一部手机 ），统计结果如下表所示： 付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期 频数 35 25 a 10 b 已知分 3 期付款的频率为 以此 100 人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题： （ ）求 a， b 的值； （ ）求 “购买手机的 3 名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有 1 名顾客分 4 期付款 ”的概率； （ ）若专卖店销售一部苹果 6S 手机，顾客分 1 期付款（即全款），其利润为 1000 元；分2 期或 3 期付款，其利润为 1500 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 2000 元用 X 表示销售一部苹果 6S 手机的利润，求 X 的分布列及数学期望 17如图，三棱柱 ， 平面 C=2， ， C 的中点 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 C 的余弦值； （ ）在侧棱 是否存在点 P，使得 平面 存在，求出 长；若不存在，说明理由 18已知函数 f（ x） = （ ）求曲线 y=f（ x）在点（ ， f（ ）处的切线方程； （ ）求证：当 时， ； （ ）若 f（ x） 恒成立，求实数 k 的最大值 第 4 页（共 18 页） 19已知椭圆 的短轴长为 2，离心率为 ，直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 交于 A， B 两点，且线段 垂直平分线通过点 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）求 O 为坐标原点）面积的最大值 20若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得数列 前 n 项和 Sn=称 “回归数列 ” （ ） 前 n 项和为 的数列 否是 “回归数列 ”？并请说明理由； 通项公式为 n 的数列 否是 “回归数列 ”？并请说明理由； （ ）设 等差数列，首项 ，公差 d 0，若 “回归数列 ”，求 d 的值； （ ）是否对任意的等差数列 总存 在两个 “回归数列 ” 使得 an=bn+nN*）成立，请给出你的结论，并说明理由 第 5 页（共 18 页） 2016 年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合 M=x|x 0， x R， N=x|1， x R，则 MN=（ ） A 0， 1 B（ 0， 1） C（ 0， 1 D 0， 1） 【考点】 交集及其运算 【分析】 先解出集合 N，再求两集合的交即可得出正确选项 【解答】 解： M=x|x 0， x R， N=x|1， x R=x| 1 x 1， x R， MN=0， 1） 故选 D 2设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论 【解答】 解： =i（ 1+i） = 1+i，对应复平面 上的点为（ 1， 1），在第二象限， 故选： B 3下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A y=x+1 B y= D y=x|x| 【考点】 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 【分析】 逐个分析函数的单调性与奇偶性判断 【解答】 解： y=x+1 不是奇函数， y= R 上是减函数， y= 在定义域上不是增函数， y=x|x|= ，故 y=x|x|是增函数且为奇函数 故选： D 4如图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） 第 6 页（共 18 页） A i 5 B i 5 C i 6 D i 6 【考点】 程序框图 【分析】 由本程序的功能是计算 的值，由 S=S+ ，故我们知道最后一次进行循环 时的条件为 i=5，当 i 5 应退出循环输出 S 的值，由此不难得到判断框中的条件 【解答】 解： S= ， 并由流程图中 S=S+ ，故循环的初值为 1，终值为 5，步长为 1， 故经过 5 次循环才能算出 S= 的值， 故 i 5，应不满足条件，继续循环， 应 i 5，应满足条件，退出循环， 填入 “i 5” 故选： A 5某四面体的三视图如图所示，该四面体四个 面的面积中，最大的是（ ） A 8 B C 10 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值 第 7 页（共 18 页） 【解答】 解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为： 8， 6， ，10， 显然面积的最大值， 10 故选 C 6在数列 ， “| “数列 递增数列 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 数列的函数特性 【分析】 由 “| 数列 递增数列 | 可判断出结论 【解答】 解：由 “| 或 分性不成立， 由数列 递增数列 | 立 ，必要性成立， “| “数列 递增数列 ”的必要不充分条件 故选： B 7函数 的部分图象如图所示，则将 y=f（ x）的图象向右平移 个单位后，得到的函数图象的解析式为（ ） A y= C D y=考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式再根据函数 y=x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】 解：由函数的图象可得 A=1， T= = ， =2 再根据五点法作图可得 2 += ， = ， 第 8 页（共 18 页） 函数 f（ x） =2x+ ） 将 y=f（ x）的图象向右平移 个单位后，得到的函数图象的解析式为 y=（ x ）+ =2x ） 故选： C 8德国数学家科拉茨 1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半（即 ）；如果 n 是奇数，则将它乘 3 加 1（即 3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 1对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数 n（首项）按照上述规则施行变换后的第 8 项为 1（注： 1 可以多次出现），则 n 的所有不同值的个数为（ ） A 4 B 6 C 32 D 128 【考点】 分析法和综合法；归纳推理 【分析】 利用第八项为 1 出发，按照规则，逆向逐项即可求出 n 的所有可能的取值 【解答】 解：如果正整数 n 按照上述规则施行变换后的第八项为 1， 则变换中的第 7 项一定是 2， 变换中的第 6 项一定是 4； 变换中的第 5 项可能 是 1，也可能是 8； 变换中的第 4 项可能是 2，也可是 16， 变换中的第 4 项是 2 时，变换中的第 3 项是 4，变换中的第 2 项是 1 或 8，变换中的第 1 项是 2 或 16 变换中的第 4 项是 16 时，变换中的第 3 项是 32 或 5，变换中的第 2 项是 64 或 108，变换中的第 1 项是 128， 21 或 20， 3 则 n 的所有可能的取值为 2， 3， 16， 20， 21， 128 共 6 个， 故选： B 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9双曲线 =1 的焦距是 2 ，渐近线方程是 y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程 【解答】 解：双曲线 =1 中， a= ， b=1， c= ， 焦距是 2c=2 ，渐近线方程是 y= x 故答案为： 2 ； y= x 10若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值 10 第 9 页（共 18 页） 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z=2x+y 为 y= 2x+z， 由图可知，当直线过 B（ 4， 2）时直线在 y 轴上的截距最大， z 最大， 为 z=2 4+2=10 故答案为： 10 11如图， 半圆 O 直径， 0， 半圆的切线，且 ，则点 O 到距离 【考点】 相似三角形的性质；相似三角形的判定 【分析】 首先过 O 作 垂线段 利用两个角对应相等得到三角形相似，利用三角形相似的性质得到比例式，根据直角三角形中特殊角的三角函数，求出 O 到 距离 【解答】 解：过 O 做 垂线，垂足是 D， O 的切线， 0， 在 ， 0， A= A， ； 在 ， 0， ， 第 10 页（共 18 页） =12， = 故答案为： 3 12在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为 （ s 为参数），曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数），若直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，则 | 【考点】 参数 方程化成普通方程 【分析】 直线 l 的参数方程为 （ s 为参数），消去参数 s 可得普通方程曲线 t 为参数），消去参数化为普通方程联立解得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出 【解答】 解：直线 l 的参数方程为 （ s 为参数），消去参数 s 可得普通方程： x+y 2=0 曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数），消去参数化为： y=（ x 2） 2， 联立 ，解得 ，或 取 A（ 2， 0）， B（ 1， 1）， 则 | = 故答案为： 13已知函数 f（ x） = ，且关于 x 的方程 f（ x） +x a=0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是（ 1， +） 【考点】 函数的零点 【分析】 由 f（ x） +x a=0 得 f（ x） = x+a，作出函数 f（ x）和 y= x+a 的图象，由数形结合即可得到结论 【解答】 解：由 f（ x） +x a=0 得 f（ x） = x+a， 第 11 页（共 18 页） f（ x） = ， 作出函数 f（ x）和 y= x+a 的图象， 则由图象可知，要使方程 f（ x） +x a=0 有且只有一个实根， 则 a 1， 故答案为：（ 1， +） 14某次考试的第二大题由 8 道判断题构成，要求考生用画 “”和画 “ ”表示对各题的正误判断，每题判断正确得 1 分，判断错误不得分请根据如下甲，乙，丙 3 名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题 得分 甲 5 乙 5 丙 6 丁 ？ 丁得了 6 分 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 由已知得第 3、 4 题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，即可得出结论 【解答】 解：因为由已知得第 3、 4 题应为一对一错，所以丙和丁得分相同， 所以，丁的得分也是 6 分 故答案为： 6 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 b=3， 别求 a 和 c 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）由 a正弦定理可得： 简整理即可得出 （ 2）由 得 c=2a，由余弦定理可得： b2=a2+2入计算即可得出 【解答】 解：（ 1） a正弦定理可得： 0， B （ 0， ）， 可知： 0，否则矛盾 第 12 页（共 18 页） ， B= （ 2） c=2a， 由余弦定理可得： b2=a2+2 9=a2+ 把 c=2a 代入上式化为： ，解得 a= ， 16我市某苹果手机专卖店针对苹果 6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果 6S 手机的 100 人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示： 付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期 频数 35 25 a 10 b 已知分 3 期付款的频率为 以此 100 人作为样本估计消费人群总体，并解决以下 问题： （ ）求 a， b 的值； （ ）求 “购买手机的 3 名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有 1 名顾客分 4 期付款 ”的概率； （ ）若专卖店销售一部苹果 6S 手机，顾客分 1 期付款（即全款），其利润为 1000 元；分2 期或 3 期付款，其利润为 1500 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 2000 元用 X 表示销售一部苹果 6S 手机的利润，求 X 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由题意得 ，由此能求出 a， b （ ）设 事件 A 为 “购买一部手机的说名顾客中，恰好有 1 名顾客分 4 期付款 ”，由题意得：随机抽取一位购买者，分 4 期付款的概率为 此能求出 “购买手机的 3 名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有 1 名顾客分 4 期付款 ”的概率 （ ）记分期付款的期数为 ，依题意得 P（ =1） =P（ =2） =P（ =3） =（ =4） =P（ =5） =X 的可能取值为 1000 元， 1500 元， 2000 元，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ ）由题意得 ， a=15， 又 35+25+a+10+b=100， 解得 b=15 （ ）设事件 A 为 “购买一部手机的说名顾客中，恰好有 1 名顾客分 4 期付款 ”， 由题意得：随机抽取一位购买者，分 4 期付款的概率为 P（ A） = = （ ）记分期付款的期数为 ，依题意得 P（ =1） = P（ =2） =P（ =3） =P（ =4） =P（ =5） = X 的可能取值为 1000 元， 1500 元， 2000 元， P（ X=1000） =P（ =1） = P（ X=1500） =P（ =2） +P（ =3） = P（ X=2000） =P（ =4） +P（ =5） = X 的分布列为： X 1000 1500 2000 第 13 页（共 18 页） P 000 500 000 450 17如图，三棱柱 ， 平面 C=2， ， C 的中点 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 C 的余弦值； （ ）在侧棱 是否存在点 P，使得 平面 存在，求出 长；若不存在，说明理由 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）根据线面平行的判定定理即可证明 平面 （ ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角 C 的余弦值； （ ）根据线面垂直的性质定理，建立方程关系进行求解即可 【解答】 （ ）证明：连接 交于 O，连接 矩形， O 是 中点， 又 D 是 中点， 面 面 平面 （ ）建立如图所示的空间直角坐标系如图， 则 0， 0， 0）， B（ 0， 3， 2）， C（ 0， 3， 0）， A（ 2， 3， 0）， D（ 1， 3， 0）， 设 =（ x， y， z）是平面 一个法向量， 则 ，令 x=1，则 =（ 1， ， ）， 则 =（ 0， 3， 0）是平面 一个法向量， 则 ， = = = ，由题意知二面角 C 是锐二面角， 二面角 C 的余弦值为 假设侧棱 存在一点 P（ 2， y， 0），（ 0 y 3）使 平面 则 ，即 ，即 ，此时方程组无解， 假设不成立， 即侧棱 是不存在点 P，使得 平面 第 14 页（共 18 页） 18已知函数 f（ x） = （ ）求曲线 y=f（ x）在点（ ， f（ ）处的切线方程； （ ）求证：当 时， ； （ ）若 f（ x） 恒成立，求实数 k 的最大值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出函数的导数，计算 f（ ）， f（ ），求出切线方程即可； （ ）令 g（ x） =f（ x） ，求出 g（ x）的单调性，从而证出结论； （ ）问题转化为 k 对 恒成立，令 m（ x） = ， ，根据函数的单调性求出 k 的最大值即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =f（ x） = f（ ） =0， f（ ） =， 故切线方程是 y =0； （ ）证明：令 g（ x） =f（ x） ， g（ x） =x（ x），令 h（ x） =x， h（ x） =1 0， h（ x）在 递 减，故 h（ x） h（ 0） =0， g（ x） 0， g（ x）递减， g（ x） g（ ） = 0， 故当 时， 成立； （ ）若 f（ x） 恒成立， 即 k 对 恒成立， 令 m（ x） = ， ， 第 15 页（共 18 页） m（ x） = 0， m（ x）在（ 0， ）递减， m（ x） m（ ） = ， 故 k k 的最大值是 19已知椭圆 的短轴长为 2，离心率为 ，直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 交于 A， B 两点，且线段 垂直平分线通过点 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）求 O 为坐标原点）面积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由椭圆短 轴长为 2，离心率为 ，列出方程组求出 a， b，由此能求出椭圆 （ ）联立方程 ，得（ 1+22=0由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式能求出 S 最大值 【解答】 解：（ ） 椭圆 的短轴长为 2，离心率为 ， 由已知可得 ， 解得 ， 故椭圆 C 的标准方程 =1 （ ）联立方程 ，消 y 得：（ 1+22=0 当 =8（ 2） 0，即 2 ， x1+， x1 第 16 页（共 18 页） = ， = 又 = ，化简整理得： 2=2m 代 入 得： 0 m 2 又原点 O 到直线 距离为 d= | |2 S |AB|d= ，且 0 m 2， 所以当 m=1，即 时， S 得最大值 20若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得数列 前 n 项和 Sn=称 “回归数列 ” （ ） 前 n 项和为 的数列 否是 “回归数列 ”？并请说明理由； 通项公式为 n 的数列 否是 “回归数列 ”？并请说明理由； （ ）设 等差数列，首项 ，公差 d 0，若