分类讨论思想

解决问题,例1如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把CDB旋转90，则旋转后点D的对应点D的坐标是多少？,C,B,A,D,D,某同学的解答如下：解：点D(5,3）在边AB上BC=5，BD=5-3=2如图，CDB旋转90后，点D在x轴上，OD=2，D(-2，0),问：该同学的解答是否正确，是否和你想的一样？如果不正确，错在什么地方？,该同学的解答过程，存在遗漏性错误，他只考虑了CDB的顺时针旋转，而遗漏了逆时针旋转的情况。,正确解答：1)当CDB顺时针旋转，点D在x轴上，OD=2，D(-2，0)2）当CDB逆时针旋转，则点D到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，D（2,10）综上所述，D的坐标为（-2,0）或（2,10）,B,D,(B),解决问题：例2关于x的方程（m4）x2（2m1)m=0，当m为何值时，方程有实数根？,问:你认为这是几元几次方程，如何求解？,解答：1）当m4=0，即m=4时，原方程化为7x4=0，此时方程为一元一次方程，有且只有一个实数根。2）当m40，即m4时，原方程为一元二次方程。=（2m1）24（m4）m0时，即m且m4时，方程有两个实数根。所以，综合1），2），当m时，原方程有实数根。,方程有实数根，即方程有两个或一个实数根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次数项的系数要分类讨论。,示例小结：通过上面两个问题的解决，我们明白了，在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解。,分类讨论思想,在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解。这种方法就是分类讨论法。,分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想与归类整理的方法。,分类的原则：1）分类中的每一部分是相互独立的；2）一次分类按一个标准；3）分类讨论应逐级进行。正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏。,1.点A、B、C在同一条数轴上，其中点A,B表示的数分别为3、1，若BC=2，则AC等于A.3B.2C.3或5D.2或6,练习巩固：,分析：要分情况讨论A,B,C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外两种情况。可以通过作图清晰地分析问题和解答问题。,2.已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则底面圆的面积为,4,2,分析：圆柱的形状如图,A.B.C.或4D.2或4,(),D,(),C,3.等腰三角形的一个角是80，则这个三角形的顶角的度数是,分析：问题中条件告知一个角，则这个角有可能就是顶角，也可能是底角。,4.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长是,分析：分别考虑当腰为3和6的两种情况，同时要考虑到三角形的三边关系。,15,解：1）当条件给出的角为顶角，则顶角为80；2）当三角形的底角为80，则顶角为180（802）=20所以，该三角形的顶角的度数为80或20。,解：1）当腰长为3时，则有33=6，不符合三角形的三边关系，该情况不成立。2）当腰长为6时，则663,636，符合三角形三边关系，成立。所以，该等腰三角形的周长为663=15,练习巩固：,80或20,5.若函数=mx22x1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是多少？,分析：题中给出函数=mx22x1，需要从m=0，该函数为一次函数；m0，该函数为二次函数，两种情况讨论。,解答：1）m=0，该函数为一次函数，即=2x1，常数m=02）m0，该函数为二次函数，如图，函数图象为抛物线与x轴只有一个公共点，改点为抛物线的顶点，其中顶点的纵坐标为0，所以可以用顶点坐标的纵坐标公式可得：a=m，b=2，c=1=0即4m122=0，m=1所以，m=0或m=1,x,y,x,y,0,0,y,练习巩固：,如图所示，O的半径OC=10CM,直线LCO,垂足为H,交O于A,B两点，AB=16cm，直线L平移多少厘米时能与O相切？,O,C,A,B,H,思路引导：在LCO的情况下，直线L和圆相切，有（）种情况。当L过点（）时与圆相切。,D,解答：连接O,A两点，O为O的圆心，COABAH=BH=8cm在RtAHO中，OH=6(cm）CH=4CM,DH=16CM所以直线L向左平移4cm或向右平移16cm时能与O相切。,思考巩固：,课堂总结：分类讨论是近年来中考命题