2016年云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年云南省昆明市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题 1设集合 A=x|x（ x 3） 0， B=x|x 2 0，则 AB=（ ） A（ 0， 2 B（ 0， 2） C（ 0， 3） D 2， 3） 2设 z 满足 i（ 1+z） =2+i，则 |z|=（ ） A B C 2 D 1 3设命题 p： x 0， 0，则 p 为（ ） A x 0， 0 B 0， 0 C x 0， 0 D 0， 0 4从 3 名男生和 2 名女生中任意推选 2 名选手参加辩论赛，则推选出的 2 名选手恰好是 1男 1 女的概率是（ ） A B C D 5如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作数书九章，称为 “秦九韶算法 ”执行该程序 框图，若输入 x=2， n=5，则输出的 v=（ ） A 26 B 48 C 57 D 64 6一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（ ） A 39 B 48 C 57 D 63 7已知 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） 第 2 页（共 20 页） A 2 B 1 C D 2 8已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象与直线 y=b（ 0 b A）相交，其中一个交点 P 的横坐标为 4，若与 P 相邻的两个交点的横坐标为 2， 8，则函数 f（ x）（ ） A在 0， 3上是减函数 B在 3， 0上是减函数 C在 0， 上是减函数 D在 ， 0上是减函数 9设函数 f（ x） =ex+（ 0， +）上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ） A 1， +） B（ 1， +） C 0， +） D（ 0， +） 10正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A 4 B 8 C 12 D 16 11已知定义在 R 上的函数 f（ x）是奇函数，且 f（ x）在（ ， 0）上是减函数， f（ 2）=0， g（ x） =f（ x+2），则不等式 x） 0 的解集是（ ） A（ ， 2 2， +） B 4， 2 0， +） C（ ， 4 2， +）D（ ， 4 0， +） 12已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，点 A， B 在 C 上，且点 F 是 重心，则 （ ） A B C D 二、填空题 13若 和 是两个互相垂直的单位向量，则 | +2 |=_ 14已知 为锐角， ，则 ） =_ 15在 ， A， B， C 所对的边长分别是 x+1， x， x 1，且 A=2 C，则 周长为 _ 16已知圆 C：（ x a） 2+（ a 0），过直线 l： 2x+2y+3=0 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 点分别为 A， B，若 锐角，则 a 的取值范围为 _ 三、解答题 17设 数列 前 n 项和，且 1 （ 1）证明：数列 等比数列； （ 2）求数列 前 n 项和 18在四棱锥 P ，底面 菱形， ， 0， （ 1）证明： D； （ 2）若平面 平面 0，求点 B 到平面 距 离 19 指空气中直径小于或等于 米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大 2 月，中国发布了环境空气质量标准，开始大力治理空气污染用第 3 页（共 20 页） x=1， 2， 3， 4， 5 依次表示 2013 年到 2017 年这五年的年份代号，用 y 表示每年 3 数的平均值（单位： g/已知某市 2013 年到 2016 年每年 3 月份 数的平均值的折线图如图： （ 1） 根据折线图中的数据，完成表格： 年份 2013 2014 2015 2016 年份代号（ x） 1 2 3 4 数（ y） （ 2）建立 y 关于 x 的线性回归方程； （ 3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市 2017 年 3 月份的 数的平均值 附：回归直线方程 = x+ 中参数的最小二乘估计公式； = ， = 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为 6 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设过点 C 的左焦点 F 的直线 l 交 C 于 A， B 两点，是否存在常数 ，使 | |= 恒成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） = +b 在 x=1 处的切线 方程为 x+y 3=0 （ 1）求 a， b （ 2）证明：当 x 0，且 x 1 时， f（ x） 选修 4何证明选讲 22如图， E 为 O 上一点，点 A 在直径 延长线上，过点 B 作 O 的切线交 延长线于点 C， B （ 1）证明： D （ 2）若 ， ，求 O 的半径 第 4 页（共 20 页） 选修 4标系与参数方程选讲 23已知曲线 C 的极坐标方程是 8，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 直角坐标系中，倾斜角为 的直线 l 过点 P（ 2， 0） （ 1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （ 2）设点 Q 和点 G 的极坐标分别为（ 2， ），（ 2， ），若直线 l 经过点 Q，且与曲线 ， B 两点，求 面积 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的值 域； （ 2）若函数 f（ x）的值域是 m， n，且 a2+b2=m， c2+d2=n，求 ac+取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年云南省昆明市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1设集合 A=x|x（ x 3） 0， B=x|x 2 0，则 AB=（ ） A（ 0， 2 B（ 0， 2） C（ 0， 3） D 2， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式解得： 0 x 3，即 A=（ 0， 3）， 由 B 中 不等式解得： x 2，即 B=（ ， 2， 则 AB=（ 0， 2， 故选： A 2设 z 满足 i（ 1+z） =2+i，则 |z|=（ ） A B C 2 D 1 【考点】 复数求模 【分析】 根据复数的四则运算求出 z，然后利用复数的模长公式进行求解即可 【解答】 解：由 i（ 1+z） =2+i，得 1+z= =1 2i， 则 z= 2i， 则 |z|=2， 故选： C 3设命题 p： x 0， 0，则 p 为（ ） A x 0， 0 B 0， 0 C x 0， 0 D 0， 0 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行判断 【解答】 解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 则 p： 0， 0， 故选： D 4从 3 名男生和 2 名女生中任意推选 2 名选手参加辩论赛，则推选出的 2 名选手恰好是 1男 1 女的概率是（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是 结果，满足条件的事件是抽到的 2 名学生恰好是 1 男 1 女，有 而得到概率 【解答】 解：从 3 名男生和 2 名女生中任意推选 2 名选手参加辩论赛，共有 0 种选法， 选出的 2 名选手恰好是 1 男 1 女有 种， 第 6 页（共 20 页） 故推选出的 2 名选手恰好是 1 男 1 女的概率是 = ， 故选： C 5如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作数书九章，称为 “秦九韶算法 ”执行该程序框图，若输入 x=2， n=5，则输出的 v=（ ） A 26 B 48 C 57 D 64 【考点】 程序框图 【分析】 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环 结构计算并输出变量 v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 x=2， n=5， v=1， k=2 执行循环体， v=4， k=3 满足条件 k 5，执行循环体， v=11， k=4 满足条件 k 5，执行循环体， v=26， k=5 不满足条件 k 5，退出循环，输出 v 的值为 26 故选： A 6一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（ ） A 39 B 48 C 57 D 63 【考点】 由三视 图求面积、体积 【分析】 根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积 第 7 页（共 20 页） 【解答】 解：根据三视图可知该几何体是： 一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥， 且圆柱底面圆的半径为 3，母线长是 4， 则圆锥的母线长是 =5， 剩余部分的表面积 S= 32+2 3 4+ 3 5=48， 故选： B 7已知 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A 2 B 1 C D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图， 则 的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 由图象知 斜率最大， 由 得 ，即 A（ 2， 4）， 此时 的最大值是 ， 故选： D 8已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象与直线 y=b（ 0 b A）相交，其中一个交点 P 的横坐标为 4，若与 P 相邻的两个交点的横坐标为 2， 8，则函数 f（ x）（ ） A在 0， 3上是减函数 B在 3， 0上是减函数 C在 0， 上是减函数 D在 ， 0上是减函数 【考点】 正弦函数的图象 第 8 页（共 20 页） 【分析】 先根据正弦函数的图象的对称性可得函数 f（ x）的图象的相邻的两条对称轴分别为 x=3 和 x=6，且函数 f（ x）在 3， 6上单调递减，故 f（ x）在 0， 3上是增函数，在 3，0上是减函数，从而得出结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0）的图象与直线 y=b（ 0 b A）相交，其中一个交点 P 的横坐标为 4， 若与 P 相邻的两个交点的横坐标为 2， 8，则函数 f（ x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3 和 x=6， 且函数 f（ x）在 3， 6上单调递减，故 f（ x）在 0， 3上是增函数，在 3， 0上是减函数， 故选： B 9设函数 f（ x） =ex+（ 0， +）上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ） A 1， +） B（ 1， +） C 0， +） D（ 0， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 函数 f（ x） =ex+区间（ 0， +）上单调递增 函数 f（ x） =ex+a 0 在区间（ 0，+）上恒成立 a ex区间（ 0， +）上成立 【解答】 解： f（ x） =ex+a， 函数 f（ x） =ex+区间（ 0， +）上单调递增， 函数 f（ x） =ex+a 0 在区间（ 0， +）上恒成立， a ex区间（ 0， +）上成立， 在区间（ 0， +）上 1， a 1， 故选： A 10正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A 4 B 8 C 12 D 16 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积 【解答】 解：设三棱柱 ABC的上、下底面的中心分别为 O、 O， 根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段 点 ， 1 因此，正三棱柱的外接球半径 R= ，可得该球的表面积为 S=4 故选： B 11已知定义在 R 上的函数 f（ x）是奇函数，且 f（ x）在（ ， 0）上是减函数， f（ 2）=0， g（ x） =f（ x+2），则不等式 x） 0 的解集是（ ） A（ ， 2 2， +） B 4， 2 0， +） C（ ， 4 2， +）D（ ， 4 0， +） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 第 9 页（共 20 页） 【分析】 由题意可得 g（ x）关于 点（ 2， 0）对称， g（ 0） =f（ 2） =0， g（ 4） =f（ 2）=0，画出 g（ x）的单调性示意图，数形结合求得不等式 x） 0 的解集 【解答】 解：由题意可得 g（ x）的图象是把 f（ x）的图象向左平移 2 个单位得到的， 故 g（ x）关于点（ 2， 0）对称， g（ 0） =f（ 2） =0， g（ 4） =f（ 2） =0， 它的单调性示意图，如图所示： 根据不等式 x） 0 可得， x 的符号和 g（ x）的符号相反， x） 0 的解集为（ ， 4 2， +）， 故选： C 12已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，点 A， B 在 C 上，且点 F 是 重心，则 （ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 A（ m， ）、 B（ m， ），则 = ， p= ，可得 A 的坐标，求出 用二倍角公式可求 【解答】 解：由抛物线的对称性知， A、 B 关于 x 轴对称 设 A（ m， ）、 B（ m， ），则 = ， p= A（ m， m）， m， = ， 1= 故选： D 二、填空题 13若 和 是两个互相垂直的单位向量，则 | +2 |= 【考点 】 平面向量数量积的运算 第 10 页（共 20 页） 【分析】 计算（ ） 2，然后开方即可 【解答】 解： 和 是两个互相垂直的单位向量， ， （ ） 2= =5， | |= 故答案为： 14已知 为锐角， ，则 ） = 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解 【解答】 解： 为锐角， ， = ， ） = = 故答案为： 15在 ， A， B， C 所对的边长分别是 x+1， x， x 1，且 A=2 C，则 周长为 15 【考点】 余弦定理 【分析】 由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得： ，又由余弦定理可得： ，从而可得 = ，解得 x，即可得解三角形的周长 【解答】 解： A， B， C 所对的边长分别是 x+1， x， x 1，且 A=2 C， 由正弦定理可 得： ， ，可得： ， 又 由余弦定理可得： ， = ，整理即可解得 x=5， 周长为：（ x+1） +x+（ x 1） =3x=15 第 11 页（共 20 页） 故答案为： 15 16已知圆 C：（ x a） 2+（ a 0），过直线 l： 2x+2y+3=0 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 点分别为 A， B，若 锐角，则 a 的取值范围为 （ ， +） 【考点】 圆的切线方程 【分析】 作出直线 l 和圆 C， 圆的两条切线，连接 锐角，可得 0 ，运用解直角三角形可得可得 1 成立，由勾股定理可得1，求得 最小值，可得 最小值，解不等式即可得到所求 a 的范围 【解答】 解：作出直线 l 和圆 C， 圆的两条切线， 连接 由圆心 C（ a， 0）到直线 l 的距离为 d= 1， 可得直线和圆相离 由 锐角，可得 0 ， 即 0 1， 在 ， = ， 可得 1 成立， 由勾股定理可得 1， 当 l 时， 得最小值，且为 ， 即有 1 ， 解得 a 故答案为：（ ， +） 三、解答题 17设 数列 前 n 项和，且 1 第 12 页（共 20 页） （ 1）证明：数列 等比数列； （ 2）求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ 1）由 1可得当 n=1 时， 1，解得 n 2 时， n 1，化为： 1利用等比数列的通项公式即可得出 （ 2）由（ 1）可得： n 1 n2n 1利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 （ 1）证明： 1 当 n=1 时， 1，解得 当 n 2 时， n 1=21（ 21 1），化为： 1 数列 等比数列，首项为 1，公比为 2 （ 2）解：由（ 1）可得： n 1 n2n 1 数列 前 n 项和 +2 2+3 22+n2n 1， 2+2 22+（ n 1） 2n 1+n2n， +2+22+2n 1 n2n= n2n=（ 1 n） 2n 1， n 1） 2n+1 18在四棱锥 P ，底面 菱形， ， 0， （ 1）证明： D； （ 2）若平面 平面 0，求点 B 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 （ 1）如图所示，连接 点 O，连接 用菱形的性质可得 用线面垂直的判定与性质定理可证明 O 是 中点，可 得 D （ 2）底面 菱形， ， 0，可得 是等边三角形由平面 平面 面 面 D， 得 平面 此 建立如图所示的空间直角坐标系设平面 法向量 =（ x， y， z），则 ，利用点 B 到平面 距离 d= 即可得 出 【解答】 （ 1）证明：如图所示，连接 点 O，连接 四边形 菱形， C=C， 平面 又 O 是 中点， D （ 2）解：底面 菱形， ， 0， 是等边三角形 平面 平面 面 面 D， 平面 建立如图所示的空间直角坐标系 0， D， ， 第 13 页（共 20 页） ， P（ 0， 0， 1）， B（ 1， 0， 0）， D（ 1， 0， 0）， C（ 0， ， 0）， =（ 1， 0， 1）， =（ 0， ， 1）， =（ 1， ， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z），则 ， ， 取 = ， 则点 B 到平面 距离 d= = = 19 指空气中直径小于或等于 米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大 2 月，中国发布了环境空气质量标准，开始大力治理空气污染用x=1， 2， 3， 4， 5 依次表示 2013 年到 2017 年这五年的年份代号，用 y 表示每年 3 数的平均值（单位： g/已知某市 2013 年到 2016 年每年 3 月份 数的平均值的折线图如图： （ 1）根据折线 图中的数据，完成表格： 年份 2013 2014 2015 2016 年份代号（ x） 1 2 3 4 数（ y） （ 2）建立 y 关于 x 的线性回归方程； （ 3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市 2017 年 3 月份的 数的平均值 附：回归直线方程 = x+ 中参数的最小二乘估计公式； 第 14 页（共 20 页） = ， = 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（ 2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（ 3） x=5 代入线性回归方程，可得结论 【解答】 解：（ 1） 年份 2013 2014 2015 2016 年份代号（ x） 1 2 3 4 数（ y） 90 88 70 64 （ 2） = =78， （ ）（ ） = 48， =5， = = = =102， y 关于 x 的线性回归方程是： = 02； （ 3） 2017 年的年份代号是 5，当 x=5 时， = 5+102=54， 该市 2017 年 3 月份的 数的平均值的预测值是 54g/ 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周 长为 6 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设过点 C 的左焦点 F 的直线 l 交 C 于 A， B 两点，是否存在常数 ，使 | |= 恒成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由 = ， 2a+2c=6， a2=b2+立解出即可得出椭圆 C 的方程 （ 2） F（ 1， 0），设 A（ B（ 当直线 l 的斜率不存在时， 1，不妨取 ，可得 = = 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k（ x+1），代入椭圆方程整理为：（ 4） 12=0， 0，利用根与系数的关系可得= ， =（ ）（ ） +算 即可得出 第 15 页（共 20 页） 【解答】 解：（ 1） = ， 2a+2c=6， a2=b2+得 a=2， c=1， 椭圆 C 的方程为 =1 （ 2） F（ 1， 0），设 A（ B（ 当直线 l 的斜率不存在时， 1， 不妨取 ， | |=3， = ， = . = ， 则 = = = 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k（ x+1）， 则 ，整理为：（ 4） 12=0， =644（ 4）（ 412） =122（ 1+ 0， x1+， . = = ， =（ ， =（ ， . =（ ）（ ） + ） x1+1= ， 则 = = 综上所述：可得存在常数 = ，使 | |= 恒成立 21已知函数 f（ x） = +b 在 x=1 处的切线方程为 x+y 3=0 （ 1）求 a， b （ 2）证明：当 x 0，且 x 1 时， f（ x） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，根据 f（ 1） =2， f（ 1） = 1，求出 a， b 的值即可； 第 16 页（共 20 页） （ 2）问题转化为 （ x 2 0，令 g（ x） =x 2 x 0），求出 g（ x）的单调区间，从而证出结论即可 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定义域是（ 0， +）， f（ x） = +b，切点是（ 1， 2）， f（ 1） =b=2， f（ x） = ， f（ 1） =a= 1， 故 a= 1， b=2； （ 2）证明：由（ 1）得： f（ x） = +2， f（ x） ， （ x 2 0， 令 g（ x） =x 2 x 0）， 则 g（ x） = （ x 1） 2 0， g（ x）在（ 0， 1）递增，在（ 1， +）递增， g（ 1） =0， g（ x） 0x 1， g（ x） 00 x 1， x 1 时， g（ x） 0， 0 x 1 时， g（ x） 0， x 0 且 x 1 时， （ x 2 0， 当 x 0，且 x 1 时， f（ x） 选修 4何证明选讲 22如图， E 为 O 上一点，点 A 在直径 延长线上，过点 B 作 O 的切线交 延长线于点 C， B （ 1）证明： D （ 2）若 ， ，求 O 的半径 第 17 页（共 20 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）证明 O 的切线，根据切割线定理可得： D （ 2）根据切割线定理求出 可求 O 的半径 【解答】 （ 1）证明： 过点 B 作 O 的切线交 延长线于点 C， 0 B， B， 0， O 的半径， O 的切线， 根据切割线定理可得 D （ 2）解： B=6， ， 0， D， 42=， ， 2=6， O 的半径为 3 选修 4标系与参数方程选讲 23已知曲线 C 的极坐标方程是 8，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建