高二竞赛班第14讲 简谐振动的判定和相位计算
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高二竞赛班第14讲
简谐振动的判定和相位计算
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第14讲简谐振动的判定和相位计算 导读1、 判定简谐振动的定义是说，一个量随着时间变化规律满足如果是由动力学因素引起的，则可以归结为方程：两边同时乘以，然后消去，得到也就说，本质上是需要寻找正比于平方的势能项和正比于平方的动能项。这也就形成了判定简协振动的两种常见思路：受力分析和能量分析。要注意的是，受力分析要精确到一阶小量，而能量分析要到第二阶（复习在平衡点的势能展开）。比较好的运算习惯是在平衡点，设无量纲数作为展开变量。简谐振动是广泛存在于物理世界中的，乃们好好学习遇到两个自由度运动的时候，如果猜想其中一个是简谐振动，可以考虑用守恒量消去一个。如果两个自由度看起来都在振动而且相互有关系，就要考虑是否要换元到独立变量了。2、 相位计算这个是竞赛为了增加计算量而独有的一坨题目。特点是包含不止一个运动过程，每次切换过程，需要用速度和位移，以及平衡点的位置，确定下一个过程的振幅的相位。常见的办法是直接对比运动方程：；或者比较能量方程。这个计算过程相对来说较长，每个状态结束的时候，振幅、相位、位移、速度之类的一般会作为采分点出现。例题精讲【例1】 如图，在半径为的光滑碗底，有两个质点，质量为均为，之间用一根长为的轻杆连接。在平衡点上给一个小扰动，求简谐振动周期。比较能量和受力两种做法。【例2】 如图四根杆铰接，长度比为3：3：1：1。短杆长度为，两边吊着质量为的重物，中间放着原长为的弹簧，弹簧下端和短杆一起铰接在地面上，平衡的时候杆和水平角度为。始终保持左右对称，求微小振动的时候系统的周期。重力加速度为。比较受力分析和能量两种办法。【例3】 在光滑平面上放有一个质量为的匀质圆环，内径为。从圆环的三个三等分点上各连出一根轻质弹簧，原长几乎为0，劲度系数为，三根弹簧连到一个质量为的质点上。用一个恒力沿着方向作用于圆环，若质点与圆环保持相对静止，则相对圆心位移为多少？初态圆环和质点保持静止，沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量，使得速度为，求之后圆环和质点的运动方程。【例4】 讲一个密度为水的一半的均匀的，横截面为的矩形的长木条浮在水面上。a) 证明上下振动和左右摆动是两个独立的振动。b) 要求木条能稳定的浮在水面上，的取值范围。【例5】 在一个光滑顶角为的漏斗中，一个小球以速度在水平面内做圆周运动。求有微小扰动的时候，小球的轨道有什么样的变化。【例6】 （选讲）质量为M的中心星体周边有一堆密度为的尘埃，求这个体系中半径为R的圆轨道周期，并算出有扰动的时候对应的轨道进动周期。【例7】 如图两个质量为，直径为的圆盘之间用一个质量为，长度为的套筒固定相连，套筒中方有一个质量为，长度为的木棒。找两根原长为，劲度系数为的弹簧绳套，绕过直径把木棒两端各自套在圆盘上。（1） 让装置下端距离地面，静止释放木棒与地面发生完全非弹性碰撞，要求圆盘与地面不相碰，求的最大值。（2） 不考虑重力，把木棒拉开平衡位置一定距离，求体系振动周期。 【例8】 设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好接触。已知湖水密度为；物块边长为，密度为，且。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。 【例9】 如图所示，一块长为的光滑平板PQ固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期。一小球B放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为。平板静止在其平衡位置。水球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度，使它从水平台面抛出。已知小球B与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，的值应在什么范围内？取【例10】 从北极向北纬30度某地之间挖一条直线的光滑轨道。将两个质量为和的刚性小球从两个轨道洞口同时释放，在中间，发生完全弹性碰撞，然后发现从洞口飞出后，又能从轨道另洞口进入。a) 求两个球的质量比b) 求进入洞口到进入另一洞口之间经历的时间。（地球半径）7 高二物理竞赛秋季班第13讲学生版 讲述高端的，真正的物理学第14讲简谐振动的判定和相位计算 导读1、 判定简谐振动的定义是说，一个量随着时间变化规律满足如果是由动力学因素引起的，则可以归结为方程：两边同时乘以，然后消去，得到也就说，本质上是需要寻找正比于平方的势能项和正比于平方的动能项。这也就形成了判定简协振动的两种常见思路：受力分析和能量分析。要注意的是，受力分析要精确到一阶小量，而能量分析要到第二阶（复习在平衡点的势能展开）。比较好的运算习惯是在平衡点，设无量纲数作为展开变量。简谐振动是广泛存在于物理世界中的，乃们好好学习遇到两个自由度运动的时候，如果猜想其中一个是简谐振动，可以考虑用守恒量消去一个。如果两个自由度看起来都在振动而且相互有关系，就要考虑是否要换元到独立变量了。2、 相位计算这个是竞赛为了增加计算量而独有的一坨题目。特点是包含不止一个运动过程，每次切换过程，需要用速度和位移，以及平衡点的位置，确定下一个过程的振幅的相位。常见的办法是直接对比运动方程：；或者比较能量方程。这个计算过程相对来说较长，每个状态结束的时候，振幅、相位、位移、速度之类的一般会作为采分点出现。例题精讲【例1】 如图，在半径为的光滑碗底，有两个质点，质量为均为，之间用一根长为的轻杆连接。在平衡点上给一个小扰动，求简谐振动周期。比较能量和受力两种做法。【例2】 如图四根杆铰接，长度比为3：3：1：1。短杆长度为，两边吊着质量为的重物，中间放着原长为的弹簧，弹簧下端和短杆一起铰接在地面上，平衡的时候杆和水平角度为。始终保持左右对称，求微小振动的时候系统的周期。重力加速度为。比较受力分析和能量两种办法。【例3】 在光滑平面上放有一个质量为的匀质圆环，内径为。从圆环的三个三等分点上各连出一根轻质弹簧，原长几乎为0，劲度系数为，三根弹簧连到一个质量为的质点上。用一个恒力沿着方向作用于圆环，若质点与圆环保持相对静止，则相对圆心位移为多少？初态圆环和质点保持静止，沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量，使得速度为，求之后圆环和质点的运动方程。【例4】 讲一个密度为水的一半的均匀的，横截面为的矩形的长木条浮在水面上。a) 证明上下振动和左右摆动是两个独立的振动。b) 要求木条能稳定的浮在水面上，的取值范围。【例5】 在一个光滑顶角为的漏斗中，一个小球以速度在水平面内做圆周运动。求有微小扰动的时候，小球的轨道有什么样的变化。【例6】 （选讲）质量为M的中心星体周边有一堆密度为的尘埃，求这个体系中半径为R的圆轨道周期，并算出有扰动的时候对应的轨道进动周期。【例7】 如图两个质量为，直径为的圆盘之间用一个质量为，长度为的套筒固定相连，套筒中方有一个质量为，长度为的木棒。找两根原长为，劲度系数为的弹簧绳套，绕过直径把木棒两端各自套在圆盘上。（1） 让装置下端距离地面，静止释放木棒与地面发生完全非弹性碰撞，要求圆盘与地面不相碰，求的最大值。（2） 不考虑重力，把木棒拉开平衡位置一定距离，求体系振动周期。【例8】 设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好接触。已知湖水密度为；物块边长为，密度为，且。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称系. 设物块下底面的坐标为，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为 () (1)式中为重力加速度.物块的重力为 (2) 设物块的加速度为，根据牛顿第二定律有 (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得 (4)将系坐标原点向下移动 而建立新坐标系，简称系. 新旧坐标的关系为 (5) 把(5)式代入(4)式得 (6)(6)式表示物块的运动是简谐振动. 若，则，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在系中的坐标为 (7) 物块运动方程在系中可写为 (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为 (9) 式中为振动的圆频率 (10) 在(8)和(9)式中和分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即时刻有，由(5)式得 (11) (12)由(8)至(12)式可求得 (13) (14)将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得 (15) (16)由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在系中看，物块下底面坐标为时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在系中这一临界坐标值为 （17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下处. 注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠，下面分两种情况讨论：I. 由(13)和(17)两式得 (18)在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期 (19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间 (20) II. 由(13)和(17)两式得 (21)在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从初始位置起，经过时间物块刚好全部浸入湖水中，这时. 由(15)和(17)式得 (22)取合理值，有 (23) 由上式和(16)式可求得这时物块的速度为 (24) 此后，物块在液体内作匀减速运动，以表示加速度的大小，由牛顿定律有 (25)设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为，有 (26)由(24)-(26)得 (27)物块从初始位置出发往返一次所需的时间为 (28)评分标准：本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分. 【例9】 如图所示，一块长为的光滑平板PQ固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期。一小球B放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为。平板静止在其平衡位置。水球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度，使它从水平台面抛出。已知小球B与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，的值应在什么范围内？取如果小球的水平速度比较大，它与平板的第一次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，这时的值便是满足题中条件的最大值；如果小球的水平速度较小，在它与平板发生第一次碰撞后再次接近平板时，刚好从平板的边缘Q处越过而不与平板接触，这时的值便是满足题中条件的最小值设小球从台面水平抛出到与平板发生第一次碰撞经历的时间为，有 （1）若碰撞正好发生在Q处，则有（2）从（1）、（2）两式解得的值便是满足题中条件的最大值，即（3） 代入有关数据得（4）如果，小球与平板的碰撞处将不在Q点设小球第一次刚要与平板碰撞时在竖直方向的速度为，则有（5）以、分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向的速度，由于碰撞时间极短，在碰撞过程中，小球和平板在竖直方向的动量守恒设小球和平板的质量都是m，则有（6）因为碰撞是弹性的，且平板是光滑的，由能量守恒可得（7）解（6）、（7）两式，得（8）（9）碰撞后，平板从其平衡位置以为初速度开始作简谐振动取固定坐标，其原点O与平板处于平衡位置时板的上表面中点重合，x轴的方向竖直向下，若以小球和平板发生碰撞的时刻作为，则平板在t时刻离开平衡位置的位移（10）式中（11）A和是两个待定的常量，利用参考圆方法，在t时刻平板振动的速度（12）因时，由（9）、（11）、（12）式可求得（13）（14）把（13）、（14）式代入（10）式，得（15）碰撞后，小球开始作平抛运动如果第一次碰撞后，小球再经过时间与平板发生第二次碰撞且发生在Q处，则在发生第二次碰撞时，小球的x座标为（16）平板的x座标为（17）在碰撞时，有（18）由（16）、（17）、（18）式，代入有关数据得（19）这便是满足的方程式，通过数值计算法求解方程可得（参见数值列表）（20） 如果第二次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，则有（21）由（1）、（20）和（21）式得（22）而满足题中要求的的最小值应大于（22）式给出的值综合以上讨论，的取值范围是（23）附：（19）式的数值求解用数值解法则要代入不同数值，逐步逼近所求值，列表如下：0.7300.7500.7600.7650.7700.7710.7720.7750.7800.7900.81
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