2016年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 A=x R|3x 0， B=0， 1， 2，则 AB=（ ） A x|0 x 3 B 1， 2 C 0， 1， 2 D 0， 1， 2， 3 2若 i 是虚数单位，复数 的虚部为（ ） A B C D 3某校高三年级共有学生 900 人，编号为 1， 2， 3， ， 900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为 45 的样本，则抽取的 45 人中，编号落在区间 481， 720的人数为（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 4已知实数 x， y 满足 ，若 z=2x y 的最小值为（ ） A 6 B 1 C 3 D 6 5已知不共线的两个向量 满足 ，且 ，则 =（ ） A B 2 C D 4 6某中学有 3 个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团， 则这两位同学参加不同社团的概率为（ ） A B C D 7已知等比数列 前 n 项和为 2， a3，则下列说法正确的是（ ） A 单调递减数列 B 单调递减数列 C 单调递减数列 D 单调递减数列 8执 行如图的程序框图，则输入的 n=8，则输出的 S=（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 9已知抛物线 p 0）上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 斜率为（ ） A B C 1 D 10由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 14 B C 22 D 11双曲线 的左，右焦点分别为 |2c，以坐标原点 O 为圆心， c 为半径的圆与双曲线 M 在第一象限的交点为 P，若 |c+2，则 P 点的横坐标为（ ） A B C D 12定义在 R 上的偶函数 f（ x）的导函数为 f（ x），若对任意的实数 x，都有 2f（ x） + x） 2 恒成立，则使 x） f（ 1） 1 成立的实数 x 的取值范围为（ ） 第 3 页（共 19 页） A x|x 1 B（ ， 1） （ 1， +） C（ 1， 1） D（ 1， 0） （ 0，1） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13若函数 f（ x） = ，则 f（ 5） =_ 14已知球 O 的内接圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则球 O 的表面积为 _ 15已知数列 n 项和为 2n，则 _ 16在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 b=1， c=2， C=60，若 D 是边 一点且 B= _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知 （ 1）若 ，求 值； （ 2）若函数 ，求 f（ x）的单调增区间 18某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并 在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（ 市场占有率（ y%）的几组相关对应数据； x 1 2 3 4 5 y 1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （ 2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过 精确到月） 附： 19如图， P 为正方体 一点， 平面 B=2， E 为 点 （ 1）求证： （ 2）求四棱锥 P 表面积 第 4 页（共 19 页） 20已知中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆 C，其上一点 P 到两个焦点 距离之和为 4，离心率为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 y= 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 积的取值范围 21已知函数 （ 1）当 a=0 时，记 f（ x）图象上动点 P 处的切线 斜率为 k，求 k 的最小值； （ 2）设函数 （ e 为自然对数的底数），若对 x 0， f（ x） g（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22如图， 四边形 接圆的切线， 延长线交 点 P， 交于点 M， 1）求证： （ 2）若 ， ， ，求 长 23在直角坐标系 ，曲线 （ 为参数），在以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l： m （ 1）若 m=0，判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； （ 2）若曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为 ，求实数 m 的取值范围 24已知函数 f（ x） =|x 4|+|x a|（ a R）的最小值为 a （ 1）求实数 a 的值； （ 2）解不等式 f（ x） 5 第 5 页（共 19 页） 2016 年安徽省合肥市高考 数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 A=x R|3x 0， B=0， 1， 2，则 AB=（ ） A x|0 x 3 B 1， 2 C 0， 1， 2 D 0， 1， 2， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： x（ x 3） 0， 解得： 0 x 3，即 A=x|0 x 3， B=0， 1， 2， AB=0， 1， 2， 故选： C 2若 i 是虚数单位，复数 的虚部为（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算法则计算即可 【解答】 解：复数 = = = + i， 复数 的虚部为 ， 故选： D 3某校高三年级共有学生 900 人，编号为 1， 2， 3， ， 900，现用系统抽样的方法抽取一个 容量为 45 的样本，则抽取的 45 人中，编号落在区间 481， 720的人数为（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 【考点】 频率分布直方图 【分析】 根据系统抽样的定义，求出对应的组距，再计算编号落在区间 481， 720的人数 【解答】 解： 900 人中抽取样本容量为 45 的样本，则样本组距为： 900 45=20； 则编号落在区间 481， 720的人数为 20=12 故选： C 4已知实数 x， y 满足 ，若 z=2x y 的最小值为（ ） 第 6 页（共 19 页） A 6 B 1 C 3 D 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z=2x y 为 y=2x z， 由图可知，当直线 y=2x z 过 A（ 3， 0）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为6 故选： A 5已知不共线的两个 向量 满足 ，且 ，则 =（ ） A B 2 C D 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可由 得到 ，从而对 两边平方便可得到，这样便可得出 的值 【解答】 解： ； ； ； 故选： B 6某中学有 3 个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 第 7 页（共 19 页） 【分析】 由于每位同学参加各个社团的可能性相同，求出这两位同学同时参加 同一个社团的概率，利用对立事件的概率即可求出结果 【解答】 解： 每位同学参加各个社团的可能性相同， 这两位同学同时参加一个社团的概率为： P=3 = ； 那么这两位同学参加不同社团的概率为 P=1 P=1 = 故选： C 7已知等比数列 前 n 项和为 2， a3，则下列说法正确的是（ ） A 单调递减数列 B 单调递减数列 C 单调递减数列 D 单调递减数列 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列通项公式及其前 n 项和公式、单调性即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， 2， a3， 2， =4， 解得： ， ， ，或 ， 或 ， 因此数列 单调递减数 列 故选： C 8执行如图的程序框图，则输入的 n=8，则输出的 S=（ ） 第 8 页（共 19 页） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分 析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 i=2 时，满足进行循环的条件， S= ， i=3； 当 i=3 时，满足进行循环的条件， S= ， i=4； 当 i=4 时，满足进行循环的条件， S= ， i=5； 当 i=5 时，满足进行循环的条件， S= ， i=6； 当 i=6 时，满足进行循环的条件， S= ， i=7； 当 i=7 时，满足进行循环的条件， S= ， i=8； 当 i=8 时，不满足进行循环的条件， 故输出的 S 值为： ， 故选： B 9已知抛物线 p 0）上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 斜率为（ ） A B C 1 D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 根据抛物线的性质可求出 M 的横坐标，带诶抛物线方程解出 M 的纵坐标，代入斜率公式计算斜率 第 9 页（共 19 页） 【解答】 解：抛物线的焦点为 F（ ， 0），准线方程为 x= 点 M 到焦点 F 的距离等于 2p， M 到准线 x= 的距离等于 2p ，代入抛物线方程解得 p = 故选： D 10由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 14 B C 22 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体的体积 V= 4+ 2=14 故选： A 11双曲线 的左，右焦点分别为 |2c，以坐标原点 O 为圆心， c 为半径的圆与双曲线 M 在第一象限的交点为 P，若 |c+2，则 P 点的横坐标为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得圆 O 的方程，联立双曲线的方程，求得 P 的横坐标，再由双曲线的定义，和直角三角形的勾股定理，可得 c， b，化简整理可得所求横坐标的值 【解答】 解：坐标原点 O 为圆心， c 为半径的圆的方程为 x2+y2= 第 10 页（共 19 页） 由 ，解得 ， 由 |c+2， 由双曲线的定义可得 | 2a=c+2 2=c， 在直角三角形 ，可得 c+2） 2=4 解得 c=1+ ， 由 c2=a2+得 +2 ， 可得 P 的横坐标为 = 故选： A 12定义在 R 上的偶函数 f（ x）的导函数为 f（ x），若对任意的实数 x，都有 2f（ x） + x） 2 恒成立，则使 x） f（ 1） 1 成立的实数 x 的取值范围为（ ） A x|x 1 B（ ， 1） （ 1， +） C（ 1， 1） D（ 1， 0） （ 0，1） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据 偶函数的性质的对称性，求出 x 0 的取值范围 【解答】 解：当 x 0 时，由 2f（ x） + x） 2 0 可知：两边同乘以 x 得： 2x） x） 2x 0 设： g（ x） =x） g（ x） =2x） + x） 2x 0，恒成立： g（ x）在（ 0， +）单调递减， 由 x） f（ 1） 1 x） f（ 1） 1 即 g（ x） g（ 1） 即 x 1； 当 x 0 时，函数是偶函数，同理得： x 1 综上可知：实数 x 的取值范围为（ ， 1） （ 1， +）， 故选： B 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13若函数 f（ x） = ，则 f（ 5） = 1 【考点】 函数的值 【分析】 由函数 f（ x） = ，将 x=5 代入可得答案 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， 第 11 页（共 19 页） f（ 5） =f（ 3） =f（ 1） =|12 2|=1， 故答案为： 1 14已知球 O 的内接圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则 球 O 的表面积为 8 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 圆柱底面直径为 2，根据球 O 的内接圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，确定球的半径，进而可得球的表面积 【解答】 解：由题意得，圆柱底面直径为 2，球的半径为 R， 由于球 O 的内接圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形， 则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径， 即 2=2R， R= 球的表面积 =4， 故答案为： 8 15已知数列 n 项和为 2n，则 n2n 【考点】 数列的求和 【分析】 由已知求出 ， = ， ，从而得到 n+1） 2n 1，由此利用错位相减法能求出结果 【解答】 解： 数列 n 项和为 ， n=1 时， S1=2，解得 ， 当 n 2 时， n 1=（ ）（ 21 2n 1）， 整理，得： =21 2n 1， ， = ， ， =1+（ n 1） = ， n+1） 2n 1， 20+3 2+4 22+（ n+1） 2n 1， 2 2+3 22+4 23+（ n+1） 2n， ，得： +2+22+2n 1（ n+1） 2n =2+ （ n+1） 2n =2 2+2n（ n+1） 2n 第 12 页（共 19 页） = n2n 故答案为： n2n 16在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 b=1， c=2， C=60，若 D 是边 一点且 B= 【考点】 解三角形 【分析】 在 使用正弦定理解出 B，得出 使用正弦定理解出 【解答】 解：在 ，由正弦定理得 ，即 ， 解得 B+C） = B= B+ 在 ，由正弦定理得 ，即 ， 解得 故答案为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知 （ 1）若 ，求 值； （ 2）若函数 ，求 f（ x）的单调增区间 第 13 页（共 19 页） 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）根据平面向量的共线定理，列出方程求出 值； （ 2）根据平面向量的数量积求出 f（ x），再利用正弦函数的单调性求出 f（ x）的单调增区间 【解答】 解：（ 1）由 得： x ） ， 展开变形可得： 即 ； （ 2） f（ x） = = 2x ） + ， 由 +22x +2k Z 得： ； 又因为 x 0， ， 所以 x 0， 时， f（ x）的单调增区间为 0， 和 ， 18某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（ 市场占有率（ y%）的几组相关对应数据； x 1 2 3 4 5 y 1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线 性回归方程； （ 2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过 精确到月） 附： 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）根据表中数据，计算 、 ，求出 和 ，写 出线性回归方程； （ 2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果 【解答】 解：（ 1）根据表中数据，计算 = （ 1+2+3+4+5） =3， = （ = = = 第 14 页（共 19 页） =3= 所以线性回归方程为 ； （ 2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关， 即上市时间每增加 1 个月，市场占有率都增加 百分点； 由 ，解得 x 13； 预计上市 13 个月时，市场占有率能超过 19如图， P 为正方体 一点， 平面 B=2， E 为 点 （ 1）求证： （ 2）求四棱锥 P 表面积 【考点】 球的体积和表面积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）取 点 F，连接 明 平面 可证明 （ 2）求出侧面积与底面积，即可求四棱锥 P 表面积 【解答】 （ 1）证明：取 点 F，连接 则 面 因为 平面 以 又因为 B=B， 所以 平面 以 由于 B，所以 又由于 F=B， 所以 平面 为 平面 以 （ 2）解：设四棱锥 P 表面积为 S， 由于 平面 以 又 C=B 所以 平面 以 直角三角形， 由（ 1）知 平面 而 所以 平面 为直角三角形 综上， 第 15 页（共 19 页） 20已知中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆 C，其上一点 P 到两个焦点 距离之和为 4，离心率为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 y= 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 积的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由点 P 到两个焦点 距离之和为 4，离心率为 ，求出 a， b， c，由此能求出椭圆 C 的方程 （ 2）由 ，得（ ） 3=0，由此利用韦达定理、弦长公式、导数性质，结合已知条件能求出 积的取值范围 【解答】 解：（ 1）设椭圆的标准方程为 ， 点 P 到两个焦点 距离之和为 4，离心率为 ， 由条件得 ， 所以椭圆 C 的方程 （ 2）设 A（ B（ 由 ，得（ ） 3=0， 故 设 面积为 S，由 ， 第 16 页（共 19 页） 知 令 =t，则 t 3，因此， ， 对函数 ，知 因此函数 在 t 3， +）上单增， ， ， 积的取值范围 j 是（ 0， 21已知函数 （ 1）当 a=0 时，记 f（ x）图象上动点 P 处的切线斜率为 k，求 k 的最小值； （ 2）设函数 （ e 为自然对数的底数），若对 x 0， f（ x） g（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，得到 k=2x+1 0，从而求出 k 的最小值即可； （ 2）设 ，得到函数的单调区间，得到 g（ x） g（ 1） =0，可得 a 0 即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） = a+2） x+1 设 P（ x， y），由于 a=0， 所以 k=2x+1 0， 即 ； （ 2）设 ， 则 ， 易知 g（ x）在（ 0， 1）单调递增，（ 1， +）单调递减， 所以 g（ x） g（ 1） =0， 由条件知 f（ 1） g（ 1），可得 a 0 当 a 0 时， f（ x） = a+2） x+1=（ x 1） 2 （ x 1） 2 0， f（ x） g（ x）对 x 0 成立， 综上， a 0 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 第 17 页（共 19 页） 22如图， 四边形 接圆的切线， 延长线交 点 P， 交于点 M， 1）求证： （ 2）若