江西省赣州市2016年高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年江西省赣州市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x 2 0， x R， B=x| 1 x 4， x Z，则 AB=（ ） A（ 0， 2） B 0， 2 C 0， 2 D 0， 1， 2 2已知复数 z=1+i，则 =（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 3给定命题 p：若 0（ x R），则 x 0；命题 q： x R， 2x 1 0下列命题中，假命题是（ ） A p q B（ p） q C（ p） q D（ p） （ q） 4 等比数列 前 n 项和，若 等差数列则 公比 q 的值为（ ） A B 2 C D 2 5离心率为 2 的双曲线 E 的一个焦点到一条渐近线的距离为 1，则 E 的标准方程可以是（ ） A 3 B =1 C 3 D 6执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 4，那么输出的 p 是（ ） A 24 B 120 C 720 D 1440 7平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积为（ ） A B 4 C 4 D 6 8设点（ x， y）在平面区域 E 内，记事件 A“对任意（ x， y） E，有 2x y 1”，则满足事件 A 发生的概率 P（ A） =1 的平面区域 E 可以是（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 9设 为第二象限角，若 ，则 ） A 1 B 1 C D 10函数 的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 11已知抛 物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线与 C 交于 A、 B 两点，与 l 交于点 P，若 |3|则 |（ ） A 7 C 8 12某几何体的主视图和左视图如图（ 1），它的俯视图的直观图是矩形 图（ 2），其中 ， ，则该几何体的侧面积为（ ） A 48 B 64 C 96 D 128 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 1， 3， 5 13如图，在边长为 2 的正六边 形 ，则 =_ 14函数 f（ x） =2x 1）在（ 0， f（ 0）处的切线方程为 _ 15在一组样本数据（ （ ，（ 散点图中，若所有样本点（ xi， i=1， 2， ， 6）都在曲线 y=附近波动经计算 1， 3， 1，则实数 b 的值为 _ 16设等差数列 前 n 项和为 ， 9， =14，则 m 的值为 _ 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 第 3 页（共 21 页） 17在 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，已知 2 （ ）求 值； （ ）若 ， 上的中线 ，求 面积 18某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长 势情况，从两块地各随机抽取了 10 株树苗，分别测出它们的高度如下（单位： 甲： 19 20 21 23 25 29 32 33 37 41 乙： 10 26 30 30 34 37 44 46 46 47 甲 乙 1 2 3 4 （ 1）用茎叶图表示上述两 组数据，并对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，写出两个统计结论； （ 2）绿化部门分配这 20 株树苗的栽种任务，小王在株高大于 40 5 株树苗中随机的选种 2 株，则小王没有选到甲苗圃树苗的概率是多少？ 19如图，在底面为梯形的四棱锥 P ，平面 平面 D=2， （ ）求证： （ ）若 B，且三棱锥 D 体积为 ，求 长 20若椭圆 （ a b 0）的左右焦点分别为 段 抛物线 内分成了 3： 1 的两段 （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）过点 C（ 1， 0）的直线 l 交椭圆于不同两点 A、 B，且 ，当 面积最大时，求直线 l 和椭圆的方程 第 4 页（共 21 页） 21设函数 f（ x） =（ 24 （ ）求函 数 f（ x）的单调区间； （ ）若任意 x 1， +）， f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22如图，在正 ，点 D、 E 分别在边 ，且 E 相交于点 P求证： （ ）四点 P、 D、 C、 E 共圆； （ ） 选修 4标 系与参数方程 （共 1 小题，满分 0 分） 23在平面直角坐标系中，已知曲线 =1（ 0 a 2），曲线 x2+x y=0，Q 是 的动点， P 是线段 长线上的一点，且 P 满足 |4 （ ）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化 方程为极坐标方程，并求点 P 的轨迹 方程； （ ）设 M、 N 分别是 的动点，若 |最小值为 ，求 a 的值 选修 4等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分） 24设 a、 b 为正实数，且 + =2 （ 1）求 a2+最小值； （ 2）若（ a b） 2 4（ 3，求 值 第 5 页（共 21 页） 2016 年江西省赣州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x 2 0， x R， B=x| 1 x 4， x Z，则 AB=（ ） A（ 0， 2） B 0， 2 C 0， 2 D 0， 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出两个集合，然后求解交集即可 【解答】 解：集合 A=x|x 2 0， x R= 1， 2， B=x| 1 x 4， x Z=0， 1， 2， 3， AB=0， 1， 2， 故选： D 2已知复数 z=1+i，则 =（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解： 复数 z=1+i， = = = 2， 故选： B 3给定命题 p：若 0（ x R），则 x 0；命题 q： x R， 2x 1 0下列命题中，假命题是（ ） A p q B（ p） q C（ p） q D（ p） （ q） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 先判定命题 p， q 的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出 【解答】 解：命题 p：若 0（ x R），则 x R，因此是假命题； 命题 q： x R， 2x 1 0，是真命题 下列命题中，假命题是（ p） （ q） 故选： D 4 等比数列 前 n 项和，若 等差数列则 公比 q 的值为（ ） A B 2 C D 2 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 先判断 q=1 时，不满足题意；然后当 q 1 时，利用等比数列的前 n 项和公式及等差中项的定义列出方程，求出 q 的值 第 6 页（共 21 页） 【解答】 解：等比数列 前 n 项和为 等差数列， 当 q=1 时， 此时 25，不满足题意； 当 q 1 时，有 2 = + ， 即 q2+q 2=0 解得 q= 2 或 q=1（舍） 故选： D 5离心率为 2 的双曲线 E 的一个焦点到一条渐近线的距离为 1，则 E 的标准方程可以是（ ） A 3 B =1 C 3 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 对照选项，可设双曲线的方程为 =1（ a， b 0），运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得 a， b，进而得到双曲线的方程 【解答】 解：可设双曲线的方程为 =1（ a， b 0）， 由题意可得 e= =2， 一个焦点（ c， 0）到一条渐近线 y= x 的距离为 1， 可得 =b=1， 又 c2=，解得 a= ， 即有双曲线的方程为 故选： A 6执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 4，那么输出的 p 是（ ） 第 7 页（共 21 页） A 24 B 120 C 720 D 1440 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 p 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各 变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体， k=1， p=1，满足继续循环的条件， k=2； 第二次执行循环体， k=2， p=2，满足继续循环的条件， k=3； 第三次执行循环体， k=3， p=6，满足继续循环的条件， k=4； 第四次执行循环体， k=4， p=24，满足继续循环的条件， k=5； 第五次执行循环体， k=5， p=120，不满足继续循环的条件， 故输出的 p 值为 120， 故选： B 7平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积为（ ） A B 4 C 4 D 6 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 利用平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，求出球的半径，然后求解球的体积 【解答】 解：因为平面 截球 O 的 球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ， 所以球的半径为： = 所以球的体积为： =4 故选 B 8设点（ x， y）在平面区域 E 内，记事件 A“对任意（ x， y） E，有 2x y 1”，则满足事件 A 发生的概率 P（ A） =1 的平面区域 E 可以是（ ） A B C D 第 8 页（共 21 页） 【考点】 几何概型 【分析】 根据条件若事件 A 发生的概率 P（ A） =1，则等价为面区域 E 都在直线 2x y=1的下方区域即可 【解答】 解：若满足事件 A 发生的概率 P（ A） =1， 则 2x y 1 对应的平面区域在平面区域 E 内， A平面区域 E 不都 在直线 2x y=1 的下方区域，不满足条件 B平面区域 E 都在直线 2x y=1 的下方区域，满足条件 C 平面区域 E 不都在直线 2x y=1 的下方区域，不满足条件 第 9 页（共 21 页） D平面区域 E 不都在直线 2x y=1 的下方区域，不满足条件 故选： B 9设 为第二象限角，若 ，则 ） A 1 B 1 C D 【考点】 两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数 【分析】 由题意可得 + 为第三象限角，利用同角三角函数的基本关系求得 + ）的值，可得 + ）的值 【解答】 解： 为第二象限角，若 0， + 为第三象限角， + ） = = ， + =1， + ） 0， 求得 + ） = ，故 + ） = ， 故选： C 10函数 的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 当 x 0 时， f（ x） =3x+1，利用函数零点的判定定理可得函数有 2 个零点；当x 0 时， f（ x） =2x 4，利用函数零点的判定定理可得函数有 1 个零点，综合可得结论 【解答】 解： 函数 ， 当 x 0 时， f（ x） =3x+1， f（ x） =33=3（ x+1）（ x 1）， 第 10 页（共 21 页） 令 f（ x） =0，求得 x=1，在 0， 1）上， f（ x） 0， f（ x）为减函数； 在（ 1， +）上， f（ x） 0， f（ x）为增函数 f（ 0） f（ 1） =1（ 1） = 1 0，故函数 f（ x）在（ 0， 1）有唯一零点 f（ 1） f（ 2） =（ 1） 3= 3 0， 故函数 f（ x）在（ 1， 2）有唯一零点，故函数 f（ x）在（ 1， +）有唯一零点 当 x 0 时， f（ x） =2x 4，它的图象的对称轴为直线 x=1， 故函数 f（ x）在（ ， 0）上单调递减， f（ 0） = 4， f（ 2） =4， f（ 0） f（ 2） = 16 0， 故函数 f（ x）在（ 2， 0）有唯一零点，故函数 f（ x）在（ ， 0）有唯一零点 综上可得， f（ x）在 R 上零点的个数为 3， 故选： C 11已知抛物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线与 C 交于 A、 B 两点，与 l 交于点 P，若 |3|则 |（ ） A 7 C 8 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设直线 方程为： y=k（ x 2），与抛物线方程联立化为： 4） x+4，由 |3|可得 =3（ ），再利用根与系数的关系可得 k，即可得出 【解答】 解：设直线 方程为： y=k（ x 2）， 联立 ，化为： 4） x+4， xA+， |3| =3（ ）， 联立解得： k= P | =8 故选： D 12某几何体的主视图和左视图如图（ 1），它的俯视图的直观图是矩形 图（ 2），其中 ， ，则该几何体的侧面积为（ ） 第 11 页（共 21 页） A 48 B 64 C 96 D 128 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高， 进而可得几何体的侧面积 【解答】 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱， 它的俯视图的直观图是矩形 ， ， 它的俯视图的直观图面积为 12， 它的俯视图的面积为： 24 ， 它的俯视图 的俯视图是边长为： 6 的菱形， 棱柱的高为 4 故该几何体的侧面积为： 4 6 4=96， 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 1， 3， 5 13如图，在边长为 2 的正六边形 ，则 = 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据正六边形的性质得出 的模长和夹角，代入向量的数量积定义式计算 【解答】 解： 六边形 边长为 2 的正六边形， ， ， 0， =4 2 4 故答案为： 4 14函数 f（ x） =2x 1）在（ 0， f（ 0）处的切线方程为 y=x 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由斜截式方程即可得到所求方程 【解答】 解： f（ x） =2x 1）的导数为 f（ x） =（ 2x+1） 可得在（ 0， f（ 0）处的切线斜率为 k=1， 切点为（ 0， 1）， 函数 f（ x） =2x 1）在（ 0， f（ 0）处的切线方程为 y=x 1 故答案为： y=x 1 第 12 页（共 21 页） 15在一组样本数据（ （ ，（ 散点图中 ，若所有样本点（ xi， i=1， 2， ， 6）都在曲线 y=附近波动经计算 1， 3， 1，则实数 b 的值为 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出各对应点的坐标，代人曲线方程，可以求出实数 b 的 值 【解答】 解：根据题意，把对应点的坐标代人曲线 y=的方程， 即 y1=b ， y2=b ， ， y6=b ， y1+y6=b（ + + ） 6； 又 3， 1， 13=b 21 6 ， 解得 b= 故答案为： 16设等差数列 前 n 项和为 ， 9， =14，则 m 的值为 9 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 法一：设等差数列 公差为 d，由等差数列通项公式和前 n 项公式列出方程组能求出 m 法二：由 ，求出 而得到 ，由此能求出 m 【解答】 解法一：设等差数列 公差为 d， 则 由已知得 （从上往下依为 ， ， ） 得 ； 得 得 ，解得 m=9 第 13 页（共 21 页） 解法二：由 得 ， 于是 ， 所以 ， 而 ， 解得 m=9 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17在 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，已知 2 （ ）求 值； （ ）若 ， 上的中线 ，求 面积 【考点】 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ ）由题意和和差角的 三角函数公式可得 ，再由同角三角函数基本关系可得； （ ）在 ，由余弦定理可得 4b+3=0，解方程分别由三角形的面积公式可得 【解答】 解：（ ）在 A+C） = 又 2， 2， 0， 2， ，由同角三角函数基本关系可得 ； （ ）在 ，由余弦定理得 2 代入数据可得 4b+3=0，解得 b=1 或 b=3， 当 b=1 时， 面积 ； 当 b=3 时， 面积 18某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长 势情况，从两块地各随机抽取了 10 株树苗，分别测出它们的高度如下（单位： 甲： 19 20 21 23 25 29 32 33 37 41 乙： 10 26 30 30 34 37 44 46 46 47 甲 乙 1 2 3 4 第 14 页（共 21 页） （ 1）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，写出两个统计结论； （ 2）绿化部门分配这 20 株树苗的栽种任务，小王在株高大于 40 5 株树苗中随机的选种 2 株，则小王没有选到甲苗圃树苗的概率是多少？ 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；众数、中位数、平均数 【分析】 （ 1）根据题意，做出茎叶图，计算甲、乙的平均数与 中位数，比较可得答案； （ 2）由题意可得，在甲苗圃中有 1 棵株高大于 40苗圃中有 4 棵株高大于 40举可得在这 5 株中任取 2 棵的情况，可得其情况数目与其中不含 a 的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案 【解答】 解：（ 1）画出茎叶图如下： 甲地树苗高度的平均数为 28 乙地树苗高度的平均数为 35 甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数； 甲地树苗高度的中位数为 27地树苗高度的中位数为 甲地树苗高度的中位数小于乙地树苗的高度的中位数； （ 2）根据题意，分 析可得，在甲苗圃中有 1 棵株高大于 40苗圃中有 4 棵株高大于40 记甲苗圃这株苗为 a，乙苗圃中 4 株苗分别为 b、 c、 d、 e， 则任取两株共有 10 种情况， 其中不含 a 的有 6 种 小王没有选择到甲苗圃树苗的概率为 = 19如图，在底面 为梯形的四棱锥 P ，平面 平面 D=2， （ ）求证： （ ）若 B，且三棱锥 D 体积为 ，求 长 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 第 15 页（共 21 页） 【分析】 （ I）连结 等腰直角三角形可得 ， 5，利用余弦定理解出 据勾股定理的逆定理得出 面面垂直的性质得出 平面 （ ，连接 平面 是 ，解出 用勾股定理计算 【解答】 证明：（ ）连接 为 C=2，所以 ， 因为 以 5， 在 ， ， ， 所以 28，即 ， 所以 以 因为平面 平面 面 面 B， 所以 平面 面 所以 解：（ ）取 点 G，连接 为 B，所以 又平面 平面 面 面 B， 平面 所以 平面 所以 ，得 ， 所以 20若椭圆 （ a b 0）的左右焦点分别为 段 抛物线 内分成了 3： 1 的两段 （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）过点 C（ 1， 0）的直线 l 交椭圆于不同两点 A、 B，且 ，当 面积最大时，求直线 l 和椭圆的方程 第 16 页（共 21 页） 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由 c+ =3（ c ），能够求出椭圆的离心率 （ 2）设直线 l： x=1， A（ B（ 由 ，知 2y2+，由 ，得（ ） 2 2，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程 【解答】 解：（ 1）由题意知， c+ =3（ c ）， b=c， e= = = （ 2）设直线 l： x=1， A（ B（ ， （ 1 =2（ ， 即 2y2+， 由（ 1）知， 椭圆方程为 由 ，消去 x，得（ ） 2 2， ， ， 由 知， ， ， = ， S=3 =3 3 = ， 当且仅当 |k|2=2，即 k= 时取等号， 此时直线的方程为 x= 或 x= 又当 |k|2=2 时， = = 1， 由 ，得 ， 椭圆方程为 第 17 页（共 21 页） 21设函数 f（ x） =（ 24 （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若任意 x 1， +）， f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）由（ ）知，当 a 1 时， f（ x）在 1， +）上单调递增，当 a 1 时， f（ x）在 1，a）上单调递减，在（ a， +）上 单调递增，所以 ，由此即可求实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ ） f（ x） =（ 4x 4a） 2x 4a） +2x =4（ x a）（ ）（ x 0） 当 a 0 时， f（ x）在 上单调递减， 上单调递增 当 时， f（ x）在（ 0， a）、 上单调递增，在 上单调递减 当 时， f（ x）在（ 0， +）单调递增 当 时， f（ x）在 ，（ a， +）上单调递增，在 上单调递减 （ ）由（ ）知，当 a 1 时， f（ x）在 1， +）上单调递增， 所以，对任意 x 1，有 f（ x） f（ 1） =1 0 符合题意 当 a 1 时， f（ x）在 1， a）上单调递减，在（ a， +）上单调递增， 所以 由条件知， 1 2 0，解得 综上可知， 选修 4何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22如图，在正 ，点 D、 E 分别在边 ，且 E 相交于点 P求证： （ ）四点 P、 D、 C、 E 共圆； （ ） 第 18 页（共 21 页） 【考点】 圆內接多边形的性质与判定 【分析】 （ I）由已知条件推导出 此能证明四点 P， D， C， E 共圆 （ 结 正弦定理知 0，由四点 P， D， C， E 共圆知， 此能证明 【解答】 证明：（ I）在 ，由 ， ，知： 所以四点 P