泰勒公式和泰勒级数

一幂级数,定理1如果幂级数,的系数满足条件,|,则(1)当00,则,=f(x)g(x).,的收敛半径RminR1,R2.,2设幂级数的收敛半径R0,则在收敛区间(R,R)内,其和函数S(x)是连续函数.,若级数在端点收敛,则S(x)在端点单侧连续.,3幂级数的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可导,并可以逐项求导任意次,且求导后级数的收敛半径不变.,即f(x)=,x(R,R),4幂级数的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可积,并可逐项求积分,且积分后级数的收敛半径不变.,x(R,R),即,n=1,(anxn),注:常用已知和函数的幂级数,(1),(1x1),(2),(3),(4),(5),5,二、麦克劳林(Maclaurin)公式,三、泰勒级数,一、泰勒公式的建立,7.6泰勒(Taylor)公式与泰勒级数,一次多项式,在微分的应用中有近似计算公式:,若f(x0)存在,则在x0点附近有,f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0),f(x)f(x0)+f(x0)(xx0),+o(xx0),需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,不足:1.精确度不高;,2.误差不能定量的估计.,希望:在x0点附近,用适当的高次多项式,Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n,f(x),一、泰勒公式,猜想,2若有相同的切线,3若弯曲方向相同,近似程度越来越好,n次多项式系数的确定,1若在x0点相交,Pn(x0)=f(x0),Pn(x0)=f(x0),Pn(x0)=f(x0),y=f(x),假设Pn(k)(x0)=f(k)(x0),y=Pn(x),x0,即有,Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n,假设Pn(k)(x0)=f(k)(x0),Pn(n)(x)=n!an,Pn(x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+nan(xx0)n1,Pn(x)=2a2+32a2(xx0)+n(n1)an(xx0)n2,a0=f(x0),2a2=f(x0),n!an=f(n)(x0),k=0,1,2,3,n,令x=x0得,a1=f(x0),a0=f(x0),a1=f(x0),k=0,1,2,3,n,代入Pn(x)中得,Pn(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(xx0)2+,+(xx0)n,Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n,称为函数f(x)在x0处的泰勒多项式.,k=0,1,2,3,n,称为泰勒系数,f(x)=Pn(x)+o(xx0)n.,其中,定理1(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域UR(x0)内具有直到n+1阶连续导数,则当x取UR(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为,f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+,(在x0与x之间),+Rn(x),公式(1)称为函数f(x)在x0处的泰勒公式.,(1),Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.,泰勒系数,k=0,1,2,n,是唯一的.,设f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+,k,证,由于f(x)在UR(x0)内具有n+1阶连续导数,作辅助函数,(t)=f(x)f(t)+f(t)(xt)+,(x)=0,=(x0),不妨设x0 x时同理可证,其中,f(x)=f(0)+f(0)x+,1当x0=0时,(在0与x之间),或令=x,01,则,+Rn(x).,称为函数f(x)的麦克劳林(Maclaurin)公式.,2f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+,其误差为:Rn(x),解,例1*求f(x)=ex在x=0的n阶泰勒公式.,因为f(n)(x)=ex,n=1,2,3,所以f(n)(0)=e0=1,n=1,2,3,于是f(x)=ex在x=0的n阶泰勒公式为:,其中,01.,定义如果函数f(x)在x0的某邻域内是存在任意阶导数,则幂级数,称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.,=f(x0)+f(x0)(xx0),二、泰勒级数,称为函数f(x)的麦克劳林级数.,问题:泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,解,例2*求f(x)=sinx在x=0的泰勒级数.,当n=2k时,f(2k)(0)=sin(k)=0,k=0,1,2,当n=2k+1时,f(2k+1)(0)=sin(k+),=(1)k,得,因,=0,于是R=+,定理2f(x)在x0点的泰勒级数在UR(x0)内收敛于f(x)在UR(x0)内,Rn(x)0.,=0,所以sinx=,0,其中,收敛区间为:(,+).,x(,+).,即,麦克劳林多项式逼近sinx,y=sinx,y=x,7.7初等函数的幂级数展开式,一、直接法(泰勒级数法)二、间接法三、常见函数的幂级数展开式,步骤:,(1)求f(n)(x),n=0,1,2,(4)讨论,?,并求出其收敛区间.,(3)写出幂级数,利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数,若为0,则幂级数在此收敛区间内等于函数f(x);,若不为0,则幂级数虽然收敛,但它的和不是f(x).,一、直接法(泰勒级数法),(2)计算an=f(n)(x0),n=0,1,2,解,例1将f(x)=ex在展开成x的幂级数.,因f(n)(x)=ex,n=1,2,3,f(n)(0)=e0=1,于是f(x)=ex在x=0的麦克劳林级数为:,其中,01,=0,所以ex=1+x+,x+.,收敛区间为:(,+),二项展开式,+nxn1+xn,(1+x)n=1+nx+,(1+x)=1+x+,?,解,例2将f(x)=(1+x)展开成x的幂级数.,n=0,1,2,f(n)(0)=(1)(2)(n+1),=1,得,(1+x)(n)=(1)(2)(n+1)(1+x)(n),注意:当x=1时,级数的收敛性与的取值有关.,1,收敛区间为:(1,1).,10,收敛区间为:1,1.,所以(1